取模小技巧

问题

求 \(\frac a b \bmod m\) 的值。\(b\) 在模 \(m\) 下没有逆元，但是保证 \(a\) 是 \(b\) 的倍数。

结论

\[\boxed{\frac a b \bmod m = \frac {a \bmod (b \times m)} b} \]

即，先把模数变成 \(b\) 倍，最后要答案的时候直接除以 \(b\) 即可。

证明

设 \(\frac a b = k \times m + r\)，其中 \(0 \le r < m\)。

\[\begin{aligned} \frac a b &= k \times m + r \\ a &= k \times (b \times m) + b \times r \\ a \bmod (b \times m) &= b \times r \\ r &= \frac {a \bmod (b \times m)} b \\ \end{aligned}\]

得证。

例题

P3015 [USACO11FEB] Best Parenthesis S

建出表达式树后，从根节点往下递归，得到一个答案，为最终答案的 \(2\) 倍。而模数是 \(12345678910\)，不存在逆元。

因此，将模数设为 \(12345678910 \times 2\) 计算，将得到的答案答案直接除以 \(2\) 即可。