Contest7516 - 平面图

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笔记

欧拉定理

• 欧拉定理
  • 连通平面图满足 \(V - E + F = 2\)。
  • 有 \(C\) 个连通块的平面图满足 \(V - E + F = C + 1\)。
• 简单连通平面图满足 \(E \le 3V - 6\)。
  • 重要：平面图满足 \(E = O(V)\)。
  • 可以用于证明 \(K_5\) 不是平面图。
• 一个 \(V \ge 3\) 的简单连通平面图，如果它不含有 \(K_3\)（三元环），那么 \(E \le 2V-4\)。
  • 可以用于证明 \(K_{3,3}\) 不是平面图。

图同胚

• 图的同胚操作：（能通过同胚操作转换成同构图的两张图称为同胚的两张图）
  • 切割（Wiki 上称其为细分变换）：把边 \(A \leftrightarrow C\) 更改为 \(A \leftrightarrow B \leftrightarrow C\)。
  • 节点贯通（Wiki 上称其为平滑变换）：对于一个度数为 \(2\) 的点 \(B\)，把 \(A \leftrightarrow B \leftrightarrow C\) 更改为 \(A \leftrightarrow C\)。
• Kuratowski's theorem：一张图是平面图的充要条件是不存在子图同胚于 \(K_5\) 或 \(K_{3,3}\)。
  • 推论：一张图不是平面图的充要条件是存在子图同胚于 \(K_5\) 或 \(K_{3,3}\)。

对偶图

严谨定义不想写了，放一张 Wiki 上的图：

其中蓝图为原图，红图为其对偶图（dual graph）。

• 连通平面图的对偶图是连通平面图。
• 同构图的对偶图不一定同构。
• 平面图最大流 = 平面图最小割 = 对偶图最短路。
  • \(S \rightarrow T\) 的最大流，可以多连一条边 \(S \leftrightarrow T\)，这条边会把无限面分为两半 \(S^*\) 和 \(T^*\)，在对偶图上做 \(S^* \rightarrow T^*\) 的最短路即可。

A 平面图判定

P3209 [HNOI2010] 平面图判定

B 防鼠工程

P4001 [ICPC-Beijing 2006] 狼抓兔子

平面图最小割 = 对偶图最短路 板子。虽然 Dinic 能过

C 团购

P10665 [AMPPZ2013] Bytehattan 好新的题

D 海拔

P2046 [NOI2010] 海拔

注意到「存在至少一组最优方案使得每个交叉路口海拔都为 \(0\) 或 \(1\)，且海拔都为 \(0\) 和 \(1\) 的交叉路口分别仅构成一个极大四连通块」。证明比较困难，见洛谷题解区第一篇

然后直接按 B 题做就行了。

（太恶心了代码懒得写）