Contest5386 - NTT

Contest

A FFT/NTT快速傅立叶

首先要会 FFT。

注意到 \(\bmod 998244353\) 意义下，\((3^{\frac {p-1} n})^k\) 和 \(\omega_n^k\) 的性质非常相似，其中 \(3\) 是 \(998244353\) 的一个原根。（\(998244353 - 1 = 2^{23} \times 7 \times 17\)）

所以把所有单位根改成这个就好了。

void NTT(ll a[], int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++)
        if (rev[i] > i)
            swap(a[i], a[rev[i]]);
    for (int len = 2, m = 1; len <= n; len <<= 1, m <<= 1) {
        ll W = qpow(g, (MOD - 1) / len); // 最大的改动
        for (int l = 0, r = len-1; r < n; l += len, r += len) {
            ll w = 1;
            for (int i = l; i < l + m; i++) {
                auto x = a[i] + w * a[i + m], y = a[i] - w * a[i + m];
                a[i] = x % MOD, a[i + m] = (y % MOD + MOD) % MOD;
                w = w * W % MOD;
            }
        }
    }
}
void INTT(ll a[], int n) {
    NTT(a, n);
    reverse(a+1, a+n);
    ll invn = inv(n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        a[i] = a[i] * invn % MOD;
}

B 力

P3338 [ZJOI2014] 力

\[E_j = \left( \sum\limits_{i=1} q_i \times \frac 1 {(j-i)^2} \right) - \left( \sum\limits_{i=j+1}^n q_i \times \frac 1 {(i-j)^2} \right) \]

左边的 \(\sum\) 是一个卷积，FFT 秒了。

右边的 \(\sum\) 是一个差卷积：

\[\begin{aligned} & \sum\limits_{i=j+1}^n q_i \times \frac 1 {(i-j)^2} \\ =& \sum\limits_{i=1}^{n-j} \hat{q}_i \times \frac 1 {(n-j+1 - i)^2} \end{aligned}\]

其中 \(\hat{q}\) 是 reverse 了的 \(q\)。

现在是卷积了，FFT 秒了。

整道题总共调用 \(5\) 次 FFT 函数。