Contest7506 - 莫队 分块

Contest

A 至少重复三次的数字

莫队板子。

B 小明的习题集

洛谷原题 P1494 [国家集训队] 小 Z 的袜子。

C 棋子的颜色

洛谷原题 P1903 [国家集训队] 数颜色 / 维护队列。

带修莫队：

普通莫队是二维问题，现在加上一维时间轴，做法基本上同普通莫队。

对询问 \((l,r,t)\) 排序时，第一关键字 \(pos_l\)，第二关键字 \(pos_r\)，第三关键字 \(t\)。

在时间轴上移动时，注意：

• 只有移动出现在 \([l,r]\) 才能造成贡献
• 执行过操作之后，要把操作改成撤回的样子

// u 是修改序列，q 是查询序列
void upd(int x /*当前查询操作的索引*/, int t /*当前时间*/) {
    if (q[x].l <= u[t].x && u[t].x <= q[x].r) { // 在 [l, r] 内才有贡献
        del(a[u[t].x]);
        add(u[t].k);
    }
    swap(a[u[t].x], u[t].k); // 改造成撤回
}

时间复杂度

令各种东西同阶。

TODO: 一通分析

取块长 \(B = \Theta(n^{\frac 2 3})\) 可得时间复杂度 \(O(n^{\frac 5 3})\)。

D 数列分块入门-1

LOJ 原题 #6277. 数列分块入门 1

简要题意：区间加、单点查询。

分块板子。

区间加：散块暴力，整块打加法标记，\(O(\frac n B + B)\)。

单点查询：直接查，\(O(1)\)。

令 \(B \in \Theta(\sqrt n)\) 可得最优复杂度 \(O(q \sqrt n)\)。

E 数列分块入门-2

LOJ 原题 #6278. 数列分块入门 2

简要题意：区间加、区间查询 \(\sum\limits_{i=l}^r [a_i < k]\)（\(k\) 不固定，随询问给出）。

预处理：将每块内部排序。

区间查询：散块暴力，整块二分，\(O(\frac {n \log B} B + B)\)。

区间加：整块打加法标记，散块暴力后暴力重新整块排序，\(O(\frac n B + B \log B)\)。

令 \(B \in \Theta(\sqrt n)\) 可得最优复杂度 \(O(q \sqrt n \log n)\)。

区间加精细一点：散块暴力后，没加的和加过的分别是两个有序序列，归并，\(O(\frac n B + B)\)。

令 \(B \in \Theta(\sqrt {n \log n})\) 可得最优查询复杂度 \(O(q \sqrt {n \log n})\)。

据说可以用分散层叠进一步优化，但是我不会。。。

💡为什么取 \(B \in \Theta(\sqrt {n \log n})\)？

为了使时间复杂度最优，注意到区间加优于区间查询的复杂度，只要使得区间查询的 \(O(\frac {n \log B} B + B)\) 最小。

即：

\[\frac {n \log B} B \approx B \]

（用 \(f(n) \approx g(n)\) 代表 \(f(n) \in \Theta(g(n))\)）

注意到 \(\log B \approx \log n\)，因此：

\[\frac {n \log n} B \approx B \]

\[B \approx \sqrt {n \log n} \]

F 数列分块入门-3

LOJ 原题 #6279. 数列分块入门 3

简要题意：区间加、区间查询 \(\max\limits_{l \le i \le r, a_i < k} a_i\)（\(k\) 不固定，随询问给出），若答案不存在输出 \(-1\)。

借用上题做法即可，查询时间复杂度 \(O(q \sqrt {n \log n})\)。