Symmetric Polynomial

约定：本文中的多项式（polynomial）都指整式，即包括单项式。

对称多项式 Symmetric polynomial

\(P(x_1, x_2, \cdots, x_n)\) 是一个 \(n\) 元多项式，如果任意交换两个变量 \(x_i, x_j\) 多项式不变，则 \(P\) 是对称多项式。

等价定义：对于任意变量的置换，多项式都不变，则是对称多项式。

基本对称多项式 Elementary symmetric polynomial

对于 \(n\) 个变量 \(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，它们的 \(n\) 个基本对称多项式 \(\sigma_1, \sigma_2, \cdots, \sigma_n\) 为：

\[\sigma_k = \sum\limits_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} x_{i_1} x_{i_2} \cdots x_{i_k} \]

不难发现 \(\sigma_1\) 就是所有变量之和，\(\sigma_n\) 就是所有变量之积。

为方便后文一些公式形式好看，定义 \(\sigma_0 = 1\)，以及 \(k > n\) 时 \(\sigma_k = 0\)。

对称多项式基本定理 Fundamental theorem of symmetric polynomials

Theorem. 任何 \(n\) 元对称多项式 \(P\) 都能表示成关于 \(\sigma_1, \sigma_2, \cdots, \sigma_n\) 的多项式。

证明不会 哈哈哈。

韦达定理 Vieta's formulas

令 \(f(x) = \sum\limits_{i=0}^n a_i x^i\)（\(a_n = 1\)），其 \(n\) 个根为 \(x_1, x_2, \cdots, x_n\)。

\[\sigma_k = (-1)^k a_{n-k} \]

特别地，\(\sigma_1 = - a_{n-1}\)，\(\sigma_n = (-1)^n a_0\)。

Proof

根据代数基本定理：

\[\begin{aligned} \sum\limits_{i=0}^n a_i x^i &= \prod\limits_{i=1}^n (x - x_i) \\ &= \sum\limits_{i=0}^n (-1)^{n-i} \sigma_{n-i} x^i \\ \end{aligned}\]

对比左右两边系数即可。

牛顿恒等式 Newton's Sums / Newton's identities

令 \(f(x) = \sum\limits_{i=0}^n a_i x^i\)（\(a_n = 1\)），其 \(n\) 个根为 \(x_1, x_2, \cdots, x_n\)。

令 \(P_k\) 为这 \(n\) 个根的 \(k\) 次方和 \(\sum\limits_{i=1}^n x_i^k\)。

\[\sum\limits_{i=0}^k a_{n-k+i} P_i = 0 \]

\[P_k = - \sum\limits_{i=0}^{k-1} a_{n-k+i} P_i = \boxed{\sum\limits_{i=0}^{k-1} (-1)^{k-i-1} \sigma_{k-i} P_i} \]

由于 \(\sigma_{k-i}\) 仅在 \(0 \le k-i \le n\) 不为 \(0\)，因此对于 \(k > n\)：

\[P_k = - \sum\limits_{i=k-n}^{k-1} a_{n-k+i} P_i = \boxed{\sum\limits_{i=k-n}^{k-1} (-1)^{k-i-1} \sigma_{k-i} P_i} \]

也可写成

\[P_k = \boxed{\sum\limits_{i=1}^n (-1)^{i-1} \sigma_i P_{k-i}} \]

这个柿子建立了 \(P\) 与 \(a\) 以及 \(P\) 与 \(\sigma\) 的关系。

Newton's Sums 告诉我们，\(P_k\) 满足一个 \(n\) 阶常系数齐次线性递推，可以用数列中的办法处理。

Proof

https://brilliant.org/wiki/newtons-identities/

Example 1: 一个 OI 题

UVA10655 已知 \(a+b\) 与 \(ab\)，求 \(a^n + b^n\)。

【识别 Pattern】 对称多项式 + 高次之和，用 Newton's Sums。

\[P_n = \sigma_1 P_{n-1} - \sigma_2 P_{n-2} = (a+b) P_{n-1} - ab \times P_{n-2} \]

Example 2: 2019 AIME I Problem 8

\(\sin^{10} x + \cos^{10} x = \frac {11} {36}\)，求 \(\sin^{12} x + \cos^{12}\)。

【识别 Pattern】 高次之和用 Newton's Sums。

注意力再差都能发现柿子是关于 \(\sin^2 x\) 和 \(\cos^2 x\) 的。相当于已知 \(P_5 = \frac {11} {36}\)。

把 Example 1 的式子直接拿来用：（设 \(C = \sin^2 x \cos^2\)）

\[\begin{aligned} P_n &= (\sin^2 x + \cos^2 x) P_{n-1} - \sin^2 x \cos^2 x \times P_{n-2} \\ &= P_{n-1} - C \times P_{n-2} \end{aligned}\]

\(P_0 = 2, P_1 = 1\)。

递推上去，\(P_5\) 是一个关于 \(C\) 的二次多项式，可以解得 \(C\) 的值为 \(\frac 1 6\)。

递推上去知 \(P_6 = \boxed{\frac {13} {54}}\)。

Example 3：三角函数综合题

求 \(\cos^5 \frac 1 9 \pi + \cos^5 \frac 5 9 \pi + \cos^5 \frac 7 9 \pi\)。

因为和出题人对脑电波非常无聊，所以：

【Hint】 注意到原式相当于 \(\cos^5 \frac 1 9 \pi + \cos^5 \frac 7 9 \pi + \cos^5 \frac {13} 9 \pi\)，三个角度的特征为角度之差为 \(\frac 2 3 \pi\)。

令 \(a = \cos \frac 1 9 \pi, b = \cos \frac 7 9 \pi, c = \cos \frac {13} 9 \pi\)。原式即为 \(a^5 + b^5 + c^5\)。

【识别 Pattern】 五次方和，用 Newton's Sums。

为了递推到 \(P_5\)，我们需要 \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\) 的值。

（下面三角函数知识与主题无关）

\(\sigma_1\)

【识别 Pattern】 三个角画到单位圆上，是夹角为 \(\frac 2 3 \pi\) 的三个单位根，和为 \(0\)。因此实部和也为 \(0\)，于是原来的三个 \(\cos\) 和也为 \(0\)。即 \(P_1 = \sigma_1 = 0\)。

注意不到的话可以积化和差。

\(\sigma_2\)

\(P_2 = \sigma_1^2 - 2 \sigma_2\)，因此算 \(\sigma_2\) 和 \(P_2\) 的难度一样，算 \(P_2\)。

【识别 Pattern】 \(\cos^2\) 用二倍角公式，转成一次。

\[\cos^2 \theta = \frac {\cos 2 \theta + 1} 2 \]

然后发现这三个角的两倍依然满足夹角为 \(\frac 2 3 \pi\)，\(\cos\) 和为 \(0\)。因此 \(P_2 = \frac 3 2\)。

\(\sigma_2 = \frac 1 2 (\sigma_1^2 - P_2) = - \frac 3 4\)。

\(\sigma_3\)

【识别 Pattern】 三元对称多项式的 \(\sigma_3\) 或 \(P_3\)，用公式

\[\boxed{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 -ab - ac - bc)} \]

即

\[P_3 - 3\sigma_3 = \sigma_1 (P_2 - \sigma_2) \]

因此和 \(\sigma_2\) 转成 \(P_2\) 一样，将问题转化为 \(P_3\)。

【识别 Pattern】 \(\cos^3\) 用三倍角公式，转成一次。

\[\cos^3 \theta = \frac {\cos 3 \theta + 3 \cos \theta} 4 \]

然后发现这三个角的三倍都是 \(\frac 1 3 \pi\)，好算。

最终得到 \(\sigma_3 = \frac 1 8\)。

得到三阶递推式：

\[P_k = \frac 3 4 P_{k-2} + \frac 1 8 P_{k-3} \]

初值 \(P_0 = 3, P_1 = 0, P_2 = \frac 3 2\)。

递推得到 \(P_5 = \boxed{\frac {15} {32}}\)。