P8116 「Wdoi-1.5」魔理沙的计算器 题解

P8116 「Wdoi-1.5」魔理沙的计算器 题解

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题意简述

使用 \(b\) 进制、屏幕能显示 \(k\) 个数字、使用去尾法保留小数的计算器，计算了 \(1\div n=n'\)，再计算 \(1\div n'=n''\)。求有多少个正整数 \(n\) 使得 \(n=n''\)。

答案对 \(998,244,353\) 取模。

\(2\le b\le 10^5\)，\(1\le k\le 500\)。

解法

\(\div\) 是题目中的除法。有 \(1 \div n = \dfrac 1 {b^{k-1}} \left\lfloor \dfrac {b^{k-1}} n \right\rfloor\)。

设 \(a = b^{k-1}\)：

\[\begin{aligned} & 1 \div (1 \div n) \\ =& \dfrac 1 a \left\lfloor \dfrac a {\frac 1 a \left\lfloor \frac a n \right\rfloor} \right\rfloor \\ =& \dfrac 1 a \left\lfloor \dfrac {a^2} {\left\lfloor \frac a n \right\rfloor} \right\rfloor \end{aligned}\]

问题变为解方程：\(\left\lfloor \dfrac {a^2} {\left\lfloor \frac a n \right\rfloor} \right\rfloor = a \times n\)。

事情进行到这里似乎卡住了，这时不妨用 Python 打个表找下规律。

a = int(input())
print(f"a={a}")
ans = 0
for n in range(1, a+1):
    if (a * a) // (a // n) == a * n:
        ans += 1
        print(f"n={n}")
print(ans)

当输入 \(a = 114514\) 时，输出为：

a=114514
n=1
n=2
n=31
n=62
n=1847
n=3694
n=57257
n=114514
8

不难发现，方程的解似乎就是全部 \(a\) 的因数，即 \(n | a\)。解的个数即为 \(d(a) = d(b^{k-1})\)。

发现这个结论之后就可以开始写代码了。

对结论的证明

证明命题：\(\left\lfloor \dfrac {a^2} {\left\lfloor \frac a n \right\rfloor} \right\rfloor = a \times n\) 的充要条件是 \(n | a\)。

右推左简单。接下来证明左推右：

设 \(a = kn+b\)，其中 \(k = \left\lfloor \dfrac a n \right\rfloor\)。（\(b,k\) 不是题目中的 \(b,k\)，撞变量名了）

把 \(a = kn+b\) 代入 \(\left\lfloor \dfrac {a^2} {\left\lfloor \frac a n \right\rfloor} \right\rfloor = a \times n\)：

\[\left\lfloor kn^2 + 2bn + \dfrac {b^2} k \right\rfloor = kn^2 + bn \]

由于 \(kn^2 + bn\) 是整数，可以把它从左边提出来：

\[\left\lfloor bn + \dfrac {b^2} k \right\rfloor = 0 \]

由于 \(bn\) 为自然数，要使得它为 \(0\) 只能 \(b = 0\)。即 \(n | a\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const ll MOD = 998'244'353;

int main() { ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
    int T; cin >> T; while (T--) {
        ll b, k; cin >> b >> k;
        ll ans = 1;
        for (ll d = 2; d * d <= b; d++)
            if (b % d == 0) {
                ll e = 0;
                while (b % d == 0) {
                    e++;
                    b /= d;
                }
                (ans *= (e * (k-1) + 1)) %= MOD;
            }
        if (b != 1)
            (ans *= k) %= MOD;
        cout << ans << '\n';
    }
    return 0;
}