自主探究：Modular Geometry

前言

全文中的 \(p\) 为奇素数。

我们希望研究"平面" \(\mathbb F_p^2\) 中几何形状的性质。

直线

满足 \(ax+by+c=0\) 的形状称为直线（其中 \(a,b\) 不全为 \(0\)）。

Theorem 1. 直线有 \(p\) 个点。

证明：不妨设 \(b \ne 0\)。可以解出 \(y = - \frac a b x - \frac c b\)。对于每一个 \(x\) 都有一个对应的 \(y\)。\(\square\)

两条直线的 \((a_1, b_1)\) 与 \((a_2, b_2)\) 若线性相关，称这两条直线平行，否则称不平行。

Theorem 2. 平行的直线没有交点，不平行的直线有且仅有一个交点。

证明：两条直线的交点 \((x,y)\) 应满足：

\[\begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -c_1 \\ -c_2 \\ \end{bmatrix} \]

令 \(A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{bmatrix}\)，\(\det A = 0\) 当且仅当两直线平行，两直线不平行时原方程的解唯一。\(\square\)

Theorem 3. \(\mathbb F_p^2\) 中最多可以取出 \(p+1\) 个点使得其中不存在三点共线。（2025 CTST 6）

不妨设原点被取。

所有 \(y=kx\) 与 \(x=0\) 共 \(p+1\) 条直线刚好完美覆盖整个平面（除了 \((0,0)\)），因此每条直线上最多再有一个点，最多有 \(p+2\)。

但是经过尝试，发现最多似乎只能 \(p+1\)。我们尝试证明 \(p+2\) 不行。

每个点都应该符合刚才原点处那个性质。我们可以把任意点都移动到原点处，观察 \(x=0\) 上有两个点，因此原平面每条竖线上都有 \(2\) 个或 \(0\) 个点，总点数只能为偶数。但是 \(p+2\) 是奇数，矛盾。

因此最多只有 \(p+1\)，接下来证明必能取到。

构造：（思路：圆锥曲线不存在三点共线）

构造圆锥曲线 \(\Gamma: y^2 = r x^2 + 1\)。接下来证明 \(r\) 为非二次剩余时 \(|\Gamma| = p+1\)。

\[\begin{aligned} & |\Gamma| \\ =& \sum\limits_{x \in \mathbb F_p} \left(1 + \left( \frac {rx^2 + 1} p \right) \right) \\ =& p + \sum\limits_{x \in \mathbb F_p} \left( \frac {rx^2 + 1} p \right) \\ \end{aligned}\]

令 \(A = \sum\limits_{x \in \mathbb F_p} \left( \frac {rx^2 + 1} p \right)\)。

\[\begin{aligned} & A \\ \equiv& \sum\limits_{x} (rx^2 + 1)^{\frac {p-1} 2} \\ \equiv& \sum\limits_{x} \sum\limits_{i=0}^{\frac {p-1} 2} \binom {\frac {p-1} 2} i r^i x^{2i} \\ \equiv& \sum\limits_{i=0}^{\frac {p-1} 2} \binom {\frac {p-1} 2} i r^i \sum\limits_{x} x^{2i} \\ \end{aligned}\]

分析一下 \(S \equiv \sum\limits_{x \in \mathbb F_p} x^k\) 的性质。

  • 当 \(k>0\) 且 \((p-1) \nmid k\)，令 \(g\) 为一原根，\(x = g^j\)，求和化为等比数列求和：\(\frac {(g^k)^{p-1} - 1} {g^k - 1} \equiv 0\)。
  • 当 \(k=0\)，\(S\) 为 \(0\)。
  • 当 \(k>0\) 且 \((p-1) \mid k\)，\(S \equiv -1\)。

继续推导：

\[\begin{aligned} & A \\ \equiv& - r^{\frac {p-1} 2} \\ \equiv& - \left( \frac r p \right) \pmod p \\ \end{aligned}\]

令 \(r\) 为一个非二次剩余，即可满足 \(A \equiv 1\) 即 \(|\Gamma| \equiv 1\)，不难得到 \(|\Gamma| = p+1\)。\(\square\)

References

posted @ 2025-04-24 13:15  August_Light  阅读(22)  评论(0)    收藏  举报