计算几何

全文仅关于平面计算几何。

参考资料

点 / 向量的基本运算

每个点 / 向量可以被表示为 \((x,y)\) 这样一个二元组。这说明点和向量的本质相同，所以代码中也用同一个结构体表示。

    struct Pt {
        double x, y;
        Pt(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}
    };
    typedef Pt Vec;

点 / 向量的加减法

设 \(A = (x_1, y_1), B = (x_2, y_2)\)。

加法：\(A+B = (x_1 + y_1, x_2 + y_2)\)。
减法：\(A-B = (x_1 - y_1, x_2 - y_2)\)。

即对应位置相加减。

点 / 向量的（绕原点）旋转

将 \((x,y)\) 绕原点逆时针旋转 \(\alpha\)，得到 \((x',y')\)，满足：

\[\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \]

向量单位化

记 \(\text{unit} A\) 为与 \(A\) 方向相同的单位向量。

TODO:

\(\bigstar\) 向量的点积

（\(\langle A,B \rangle\) 代表 \(A,B\) 的夹角，当 \(B\) 在 \(A\) 的逆时针方向时为正，顺时针方向为负）

向量 \(A\) 与 \(B\) 的点积 \(A \cdot B\) 定义为 \(|A||B| \cos\langle A,B \rangle\)。两个向量的点积是一个数。

点积的几何意义：将 \(A\) 投影到 \(B\) 上得到的投影长（可以为负）乘 \(B\) 的长度。

点积具有交换律：\(A \cdot B = B \cdot A\)。

点积很容易计算：\(A \cdot B = |A||B| \cos\langle A,B \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2\)。（~~公式推导留作习题~~）

    double dot(const Vec &a, const Vec &b) {
        return a.x * b.x + a.y * b.y;
    }

这个运算定义得很奇怪！在后面的部分会介绍其用途。

\(\bigstar\) 向量的叉积

（两个向量的叉积应该是一个向量，但是 OI 中一般只会用到这个向量的模长，而不会用到其作为向量的性质，故略去不写。）

向量 \(A\) 与 \(B\) 的叉积为一个数 \(A \times B = |A||B| \sin\langle A,B \rangle\)。在 OI 中，两个向量的叉积是一个数。

叉积的几何意义：\(A\) 与 \(B\) 构成的平行四边形的有向面积。

叉积具有类似交换律的性质：\(A \times B = - B \times A\)。

叉积很容易计算：\(A \times B = |A||B| \sin\langle A,B \rangle = x_1 y_2 - x_2 y_1 = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix}\)。（~~公式推导留作习题~~）

    double cross(const Vec &a, const Vec &b) {
        return a.x * b.y - a.y * b.x;
    }

这个运算定义得也很奇怪！在后面的部分会介绍其用途。

点和向量的应用

向量夹角

\[\cos \langle A,B \rangle = \frac {A \cdot B} {|A| |B|} \]

点在直线上的投影

即已知 \(A,B,C\) 三点，\(CH \perp AB\) 且 \(H\) 在 \(AB\) 上，求 \(H\)。

设 \(AB,AC\) 夹角为 \(\theta\)。

\[AH = \cos\theta \times |AC| = \frac {\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}} {|AB|} \]

\[H = A + \text{unit}(B-A) \times AH \]

计算几何经典问题

三点共线判断

\(A,B,C\) 三点共线，当且仅当 \((A-C) \times (B-C) = 0\)。

例题：P1142 轰炸、[ABC248E] K-colinear Line。

（注：平面上给定 \(n\) 个点求是否有三点共线出现，此问题的多项式次数为 \(2\)。即 \(\forall \varepsilon>0, T(n) = o(n^{2+\varepsilon}), T(n) = \omega(n^{2-\varepsilon})\)。好像可以归约到 3SUM 问题）

点在多边形内判断

求 \(O\) 是否在多边形 \(Poly\) 的形内。

（光线投射算法）随机从 \(O\) 引一射线 \(OA\)，若 \(OA\) 与奇数条边相交则 \(O\) 在形内，否则在形外。（正好在边界上的情况直接特判）

例题：P1355 神秘大三角。

平面最近点对