AoPS - Chapter 24.5 The Pell Equation

\[\Large{施工未完成，日后会补上。目前有一些错误。} \]

\[\Large{施工未完成，日后会补上。目前有一些错误。} \]

\[\Large{施工未完成，日后会补上。目前有一些错误。} \]

本来这篇应该包含在 Chapter 24 中，但是篇幅太长故单独分离出来。

The Pell Equation

重量级人物登场。

关于 \(x,y\) 的形如 \(x^2 - D y^2 = \pm 1\) 的方程称为佩尔方程（Pell equation）。其中 \(D\) 是正整数，不是完全平方数。

求解

凑出一组特解 \((x_0, y_0)\)。

则所有的解满足以下递推关系：

\[\begin{bmatrix} x_n \\ y_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_0 & D y_0 \\ y_0 & x_0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{n-1} \\ y_{n-1} \end{bmatrix} \]

即

\[\begin{bmatrix} x_n \\ y_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_0 & D y_0 \\ y_0 & x_0 \end{bmatrix}^n \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \end{bmatrix} \]

如何凑出特解

连分数

任何一个有理数都可以表示为唯一的连分数，例如：

\[\dfrac {114} {514} = 0 + \frac 1 {4 + \frac 1 {1 + \frac 1 {1 + \frac 1 {28}}}} \]

记为 \(\dfrac {114} {514} = [0;4,1,1,28]\)。

\(\sqrt n\) 也能表示为连分数，不过是无限连分数。进一步，任何 \(\sqrt n\) 的无限连分数都是无限循环连分数，例如：

\[\sqrt 3 = 1 + \frac 1 {1 + \frac 1 {2 + \frac 1 {1 + \frac 1 {2 + \cdots}}}} \]

循环节为 \(1,2\)。

特解

计算 \(\sqrt D\) 的连分数展开。每次往下多计算一层，得到序列 \(A\)（这个序列称为 convergents）。设 \(\sqrt D\) 的循环节长度为 \(p\)，则序列中的第 \(pi\) 个数的分子分母为一组解。第 \(p\) 个数的分子分母即为一组特解。

以 \(x^2 - 3y^2 = 1\) 为例，计算 \(\sqrt 3\) 的连分数展开，每次往下多计算一层，得到序列 \(\{\frac 1 1, \frac 2 1, \frac 5 3, \frac 7 4, \cdots\}\)。\(\sqrt 3\) 的循环节长度为 \(2\)，则序列中的第 \(2i\) 个数的分子分母为一组解，\((2,1), (7,4), \cdots\)。

为什么这样是对的？

TODO:

引理 Suppose we have two solutions \((x,y)\) and \((w,z)\) to the Pell equation. Prove that if \((x + \sqrt D y)(w + \sqrt D z) = u + \sqrt D v\), then \((u,v)\) is also a solution.

证明

\[\begin{aligned} u^2 - D v^2 &= (u + \sqrt D v) (u - \sqrt D v) \\ &= (x + \sqrt D y) (w + \sqrt D z) (x - \sqrt D y) (w - \sqrt D z) \\ &= (x^2 - D y^2) (w^2 - D z^2) \\ &= \pm 1 \end{aligned}\]