AoPS - Chapter 15 Combinatorics

这一章主要讲解各种组合恒等式。

但是事实上，有很大一部分都能用有限微积分、OGF、EGF 之类的武器轻松搞定。

• 关于有限微积分：有限微积分与数列求和 - warzone
• 关于 OGF 与 EGF：铃悬的数学小讲堂——生成函数初步

组合恒等式

组合数定义

朴素定义：

\[\binom n m = \dfrac {n!} {m! (n-m)!} \]

下降幂定义：

\[\binom n m = \dfrac {n^{\underline m}} {m!} \]

组合数递推式（Pascal's Identity）

\[\binom n m = \binom {n-1} m + \binom {n-1} {m-1} \]

组合意义

从 \(n\) 个元素中选 \(m\) 个：

• 若最后一个元素不选，则方案数为 \(\binom {n-1} m\)。
• 若最后一个元素选，则方案数为 \(\binom {n-1} {m-1}\)。

二项式定理（The Binomial Theorem）

\[(x+y)^n = \sum\limits_{i=0}^n \binom n i x^i y^{n-i} \]

组合意义

\(x\) 的次数为 \(i\) 的项，\(y\) 的次数必为 \(n-i\)。

从 \(n\) 个 \((x+y)\) 中选出 \(i\) 个 \(x\) 的方案数为 \(\binom n i\)。

代数证明

用数学归纳法。EGF 也可行有一种儿子推出爸爸的美。

补充

有利用多重组合数的多项式定理（The Multinomial Theorem）。

三项式版恒等式

\[\binom n k \binom k m = \binom n m \binom {n-m} {k-m} = \binom n {n-k,k-m,m} \]

平行求和

\[\sum\limits_{i=0}^n \binom {m+i} i = \sum\limits_{i=0}^n \binom {m+i} m = \binom {n+m+1} n \]

代数证明

利用 \(\binom {n+x} n = \Delta \binom {n+x} {n+1}\)：

\[\begin{aligned} & \sum\limits_{i=0}^n \binom {m+i} m \\ =& \sum\limits_{0}^{n+1} \binom {m+x} m \delta x \\ =& \binom {n+m+1} {m+1} - \binom m {m+1} \\ =& \binom {n+m+1} n \end{aligned}\]

上指标求和公式

\[\sum\limits_{i=0}^n \binom i m = \binom {n+1} {m+1} \]

这个公式利用的是 \(\binom x n = \Delta \binom x {n+1}\)，证明同平行求和。

范德蒙德卷积（Vandermonde's Identity）

\[\sum\limits_{i=0}^n \binom a i \binom b {n-i} = \binom {a+b} n \]

组合意义

两侧均为从 \(a+b\) 个元素中取出 \(n\) 个元素的方案数。

代数证明

使用 OGF：

\[\begin{aligned} & \sum\limits_{i=0}^n \binom a i \binom b {n-i} \\ =& \sum\limits_{i=0}^n \left([x^i](x+1)^a\right) \left([x^{n-i}](x+1)^b\right) \\ =& [x^n](x+1)^{a+b} \\ =& \binom {a+b} n \end{aligned}\]

特殊情况

\[\sum\limits_{i=0}^n \binom n i ^2 = \binom {2n} n \]

上指标反转

\[\binom n m = (-1)^m \binom {n-m-1} m \]

杂项

\[ab = \binom {a+b} 2 - \binom a 2 - \binom b 2 \]

\[abc = \binom {a+b+c} 3 - \binom {a+b} 3 - \binom {a+c} 3 - \binom {b+c} 3 + \binom a 3 + \binom b 3 + \binom c 3 \]

课后习题

No. 248

Problem

For fixed \(n\), maximize the quantity \(\binom {2n+k} n \binom {2n-k} n\)。

Solution

提出两个 \(\frac 1 {n!}\)，问题化为最小化 \((2n+k)^{\underline n} (2n-k)^{\underline n}\)。

\[\begin{aligned} & (2n+k)^{\underline n} (2n-k)^{\underline n} \\ =& \prod\limits_{i=0}^{n-1} (2n+k-i)(2n-k-i) \end{aligned}\]

根据均值不等式（the AM-GM inequality）在 \(k=0\) 时，原式取到最大值 \(\boxed{\binom {2n} {n} ^2}\)。