AoPS - Chapter 7 Functions

这一章主要讲解函数的运算与函数方程求解。

函数的运算

对于函数 \(f\)，若函数 \(g\) 满足对任意 \(x\) 有 \(g(f(x)) = x\)，则 \(g\) 为 \(f\) 的反函数（inverse）。

若函数 \(h\) 满足对于任意 \(x\) 有 \(h(x) = g(f(x))\)，则 \(h\) 为 \(f\) 与 \(g\) 的复合（composition），记为 \(h = g \circ f\)。复合运算不具有交换律。

函数方程

（本节中，没有特殊说明，默认在实数中进行计算。）

解函数方程需要大量人类智慧。

函数方程解完要注意验算。

方法 1：Isolation

分离变量。

Example 解函数方程

\[y f(x) = x f(y) \]

Solution

\[\dfrac {f(x)} x = \dfrac {f(y)} y \]

因此 \(\dfrac {f(x)} x\) 只能为一个常数 \(C\)。

因此 \(f(x)\) 只能为 \(Cx\)。经检验，对于任意 \(C \in \mathbb R\) 都符合。

答案：\(\boxed{f(x) = Cx, C \in \mathbb R}\)。

方法 2：Substituting in Values

以人类智慧，代入各种特殊值。

Example 解函数方程

\[f(xy) = x f(y) \]

Solution

代入 \(y=1\)，可得 \(f(x) = f(1) x\)。由于 \(f(1)\) 为一常数 \(C\)，则 \(f(x) = Cx\)。经检验，对于任意 \(C \in \mathbb R\) 都符合。

答案：\(\boxed{f(x) = Cx, C \in \mathbb R}\)。

方法 3：Using Cyclic Functions

对于不断复合之后形成周期的函数，可以不断代入值直到循环，此时组成一个方程组。

Example 解函数方程

\[f(x) + 2 f\left(\dfrac 1 x\right) = x \]

Solution

代入 \(\dfrac 1 x\)，可得 \(f\left(\dfrac 1 x\right) + 2 f(x) = \dfrac 1 x\)。

解二元一次方程组，经检验，可得 \(\boxed{f(x) = \dfrac 2 {3x} - \dfrac x 3}\)。

课后习题

No. 120

Problem

Solve the functional equation

\[f(x+t) - f(x-t) = 4xt \]

Solution

注意到 \(4xt = (x+t)^2 - (x-t)^2\)：

\[f(x+t) - (x+t)^2 = f(x-t) - (x-t)^2 \]

定义 \(g(x) = f(x) - x^2\)：

\[g(x+t) = g(x-t) \]

这意味着 \(g\) 为常值函数 \(g(x) = C\)。

经检验，答案为 \(\boxed{f(x) = x^2 + C, C \in \mathbb R}\)。

No. 125

Problem

Given a function \(f(x)\) satisfying

\[f(x) + 2 f\left(\dfrac 1 {1-x} \right) = x \]

Find \(f(2)\)。

Solution

利用方法 3 Using Cyclic Functions，代入 \(x=2,x=-1,x=\frac 1 2\)，形成三元一次方程组，求解可得 \(\boxed{f(2) = \dfrac 2 3}\)。

No. 127

Problem

Find all solutions to the functional equation

\[f(x+y) - f(y) = \dfrac x {y (x+y)} \]

Solution

（这题官方答案写的好烂啊，我自己写一个）

设 \(g(x) = x f(x)\) 并去分母：

\[y \times g(x+y) + (x+y) \times g(y) = x \]

设 \(a=y, b=x+y\)：

\[a \times g(b) + b \times g(a) = b-a \]

\[a (g(b) + 1) = b (g(a) + 1) \]

\[\dfrac {g(a) + 1} a = \dfrac {g(b) + 1} b = C \]

故 \(f(x) = C - \dfrac 1 x\)。

注意 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 无定义，我们随便给它定个常数 \(C_2\)。

经检验，答案为 \(\boxed{f(x) = \begin{cases} C_1 - \dfrac 1 x & x \ne 0 \\ C_2 & x = 0 \end{cases}}\)。

No. 130

Problem

Let \(g: \mathbb C \rightarrow \mathbb C\), \(\omega \in \mathbb C\), \(a \in \mathbb C\), \(\omega^3 = 1\), and \(\omega \ne 1\).

Show that there is one and only one function \(f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C\) such that

\[f(z) + f(\omega z + a) = g(z), z \in \mathbb C \]

and find the function \(f\).

Solution

这么简单不会做（悲）。

熟知结论 \(\omega^2 + \omega + 1 = 0\)。

利用方法 3 Using Cyclic Functions：

设 \(A = \omega z + a\)。

将 \(z = A\) 代入 \(A\)，得 \(B = \omega^2 z + \omega a + a\)。

将 \(z = A\) 代入 \(B\)，得 \(C = \omega^3 z + \omega^2 a + \omega a + a\)，由熟知结论可知就是 \(z\)。

代入 \(A,B,C\)，得到三元一次方程组，求解得：

\(\boxed{f(z) = \dfrac {g(z) - g(\omega z + a) + g(\omega^2 z + \omega a + a)} 2}\)