AP Calculus Unit 7-10

Unit 7: Differential equations

Slope fields

对于常微分方程 \(\frac {dy} {dx} = f(x,y)\)，我们可以画出其斜率场。

具体来说，选出一些点（例如原点附近的数百个整点），利用常微分方程画出每个点处的斜率。

看起来会像是这样：

有一个基于 Desmos 的 Slope field 生成器：Slope Field Generator | Desmos

Euler's method

欧拉法用于从一个起始点开始数值求解一个微分方程的解。

1. 设定一个 \(\Delta x\)，例如 \(0.01\)。\(\Delta x\) 越小，精度越高。
2. 找一个起始点 \(x_0, y_0\)。
3. 递推：\(x_i = x_{i-1} + \Delta x\)，\(y_i = y_{i-1} + \Delta x \times f'(x_{i-1})\)，其中 \(f'(x_{i-1})\) 可以通过给定的 ODE 直接求得。

Separable differential equations

例：解常微分方程 \(\frac {dy} {dx} = \frac {2x} {3y^2}\)。

解：

\[\begin{aligned} y' &= \frac {2x} {3y^2} \\ 3y^2 \times y' &= 2x \\ \int 3y^2 \times y' dx &= \int 2x dx \\ y^3 &= x^2 + C \\ y &= \sqrt[3]{x^2 + C} \\ \end{aligned}\]

1. 将含有 \(y\) 和 \(y'\) 的项放到左边，将含有 \(x\) 的项放到右边。
2. 等式两侧同时对 \(x\) 不定积分。
3. 解它。

⚠️值得一提的是：符合直觉但目前并不严谨的官方做法

\[\begin{aligned} \frac {dy} {dx} &= \frac {2x} {3y^2} \\ 3y^2 \times \frac {dy} {dx} &= 2x \\ 3y^2 dy &= 2x dx & \leftarrow \text{Really valid?} \\ \int 3y^2 dy &= \int 2x dx \\ y^3 &= x^2 + C \\ y &= \sqrt[3]{x^2 + C} \\ \end{aligned}\]

不难看出上下两种方法的等价性。

这种方法虽然符号上看起来更"直观"，但是牺牲了严谨性：\(\frac {dy} {dx}\) 和 \(\int f(x) dx\) 仅作为形式记号出现，并不能真的作为一个分数进行运算，更不能把里面的 \(dx\) 拆出来。（至少暂时是这样的

Example: Modeling Population

令 \(N\) 为 population，\(t\) 为 time，不妨设 \(N\) 和 \(t\) 有以下关系：

\[\frac {dN} {dt} = r N \]

其中 \(r\) 为一个系数。

解该微分方程可得 \(N = C \times e^{rt}\)。不难发现 \(C\) 为 \(t=0\) 时 \(N\) 的值 \(N_0\)。

The logistic growth model

实际生活中，环境无法支持无休止的繁殖。

为了模拟这一点，我们设定一个阈值 \(K\)，希望 \(N \ll K\) 的时候按原先的指数级增长，在接近 \(K\) 的时候增长趋于 \(0\)。

可构造式子：

\[\frac {dN} {dt} = r N \times (1 - \frac N K) \]

解得：

\[N = \frac 1 {C e^{-rt} + \frac 1 K} \]

若已知 \(N_0\) 的值，则 \(N\) 可以写为：

\[N = \frac 1 {(\frac 1 {N_0} - \frac 1 K)e^{-rt} + \frac 1 K} = \frac {N_0 K} {(K - N_0) e^{-rt} + N_0} \]

（非常丑陋……）

A logistic growth function is first concave up (i.e. its rate increases) but then it becomes concave down so it approaches (but never really reaches) a certain limit called the carrying capacity.

Unit 8: Applications of integration

Mean value theorem for integrals (MVT for integrals)

若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，则必存在 \(c \in (a,b)\) 使得：

\[f(c) = \frac 1 {b-a} \int_a^b f(x) dx \]

⚠️在 Unit 6 微积分基本定理的证明中用到了这个定理，所以这里的证明并不能使用微积分基本定理（悲）。

Arc length

若曲线在 \([a,b]\) 上可导，则弧长 \(s\) 为：

\[s = \int_a^b \sqrt{1 + (y')^2} dx \]

⚠️Proof

\[\begin{aligned} & s \\ =& \int_a^b ds \\ =& \int_a^b \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \\ =& \int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac {dy} {dx} \right)^2} dx \\ =& \int_a^b \sqrt{1 + (y')^2} dx \\ \end{aligned}\]

💡微元法

TODO:

Unit 9: Parametric equations, polar coordinates, and vector-valued functions

Parametric equations

Example

例：\(x = 2 \sin(1+3t)\)，\(y = 2t^3\)，求 \(\frac {dy} {dx}\) 在 \(t = -\frac 1 3\) 的值。

解：

\[\begin{aligned} & \frac {dy} {dx} \\ =& \frac {dy} {dt} / \frac {dx} {dt} & \text{Chain Rule} \\ =& \frac {6t^2} {6 \cos(1+3t)} \\ =& \boxed {\frac 1 9} \end{aligned}\]

Parametric curve arc length

TODO: 微元法

\[s = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} dt \]

Vector-valued functions

令 \(\vec r(t) = x(t) \hat i + y(t) \hat j\)，其中 \(\hat i\) 和 \(\hat j\) 分别为 \(x\) 轴方向和 \(y\) 轴方向的单位向量。也可以记作 \(\vec r(t) = (x(t), y(t))\)。

定义 \(\vec r'(t) = x'(t) \hat i + y'(t) \hat j\)。

Area bounded by polar curves

极坐标系下，函数 \(r(\theta)\) 在 \(\alpha \le \theta \le \beta\)"下方"（朝向原点）的面积为：

\[S = \frac 1 2 \int_\alpha^\beta r(\theta)^2 d\theta \]

TODO: 微元法

Unit 10: Infinite sequences and series

Limit of a sequence

\(\forall \varepsilon > 0, \exists M \text{ such that } \forall n > M, |a_n - L| < \varepsilon\)，则 \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = L\)。

Infinite geometric series formula

若 \(-1 < r < 1\)，则：

\[\sum\limits_{i=0}^\infty r^i = \frac 1 {1 - r} \]

否则该和发散。

nth term divergence test

If \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n \ne 0\), then \(\sum\limits_{i=1}^\infty a_i\) will diverge.

Integral test

若 \(f(x)\) 在 \([k,\infty)\) 上为正、连续、严格降，则：

• 若 \(\int_k^\infty f(x) dx\) 收敛，则 \(\sum\limits_{x=k}^\infty f(x)\) 收敛。
• 若 \(\int_k^\infty f(x) dx\) 发散，则 \(\sum\limits_{x=k}^\infty f(x)\) 发散。

例：

\[\sum\limits_{i=1}^\infty \frac 1 {i^2} < 1 + \int_1^\infty \frac 1 {x^2} dx = 2 \]

例：

\[\sum\limits_{i=1}^\infty \frac 1 i > \int_1^\infty \frac 1 x dx = \infty \]

（记法不太严谨）

通过一样的方法，可以证明：\(\sum\limits_{i=1}^\infty \frac 1 {i^p}\) 在 \(0 < p \le 1\) 时发散，在 \(p > 1\) 时收敛。

Direct comparison test

若 \(\forall i\) 有 \(0 < a_i \le b_i\)，则若 \(\sum\limits_{i=1}^\infty b_i\) 收敛则 \(\sum\limits_{i=1}^\infty a_i\) 收敛。

例：\(\sum\limits_{i=1}^\infty \frac 1 {2^i + 1}\) 收敛吗？

解：因为 \(\sum\limits_{i=1}^\infty \frac 1 {2^i}\) 收敛且 \(\frac 1 {2^i} > \frac 1 {2^i + 1}\)，所以收敛。

Limit comparison test

若 \(\forall i\) 有 \(a_i \ge 0\) 且 \(b_i > 0\) 且 \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac {a_n} {b_n}\) 存在且不为 \(0\)，则 \(\sum\limits_{i=1}^\infty a_i\) 与 \(\sum\limits_{i=1}^\infty b_i\) 敛散性相同。

例：\(\sum\limits_{i=1}^\infty \frac 1 {2^i - 1}\) 收敛吗？

解：因为 \(\sum\limits_{i=1}^\infty \frac 1 {2^i}\) 收敛且 \(\lim\limits_{i \rightarrow \infty} \frac 1 {2^i} / \frac 1 {2^i - 1} = 1\)，所以收敛。

Alternating series test

若 \(\forall i\) 有 \(a_i = (-1)^i b_i\) 或 \(a_i = (-1)^{i+1} b_i\)，且 \(b\) 非负且严格降且 \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} b_n = 0\)，则 \(\sum\limits_{i=1}^\infty a_i\) 收敛。

例：\(\sum\limits_{i=1}^\infty \frac {(-1)^{i+1}} i\) 收敛吗？

解：因为 \(\frac {(-1)^{i+1}} i = (-1)^{i+1} \times \frac 1 i\)，\(\frac 1 i\) 满足这三个条件，所以收敛。（注：其值为 \(\ln 2\)）

Ratio test

令 \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} |\frac {a_{n+1}} {a_n}| = L\)：

• 若 \(L < 1\)，则 \(\sum\limits_{i=1}^\infty a_i\) 收敛。
• 若 \(L > 1\)，则 \(\sum\limits_{i=1}^\infty a_i\) 发散。
• 若 \(L = 1\) 或极限不存在，那么 Ratio test 没用。

例：\(\sum\limits_{i=1}^\infty \frac {i^{10}} {i!}\) 收敛吗？

解：相邻两项之比为 \(\frac {(n+1)^9} {n^{10}}\)，极限为 \(0\)，所以收敛。

Conditional & absolute convergence

• 取绝对值后收敛 \(\Rightarrow\) 绝对收敛
  • 显然，绝对收敛 \(\Rightarrow\) 收敛。
• 收敛 & 不绝对收敛 \(\Rightarrow\) 条件收敛

例：\(\sum\limits_{i=1}^\infty \frac {(-1)^{i+1}} i\) 条件收敛，\(\sum\limits_{i=1}^\infty (- \frac 1 2)^i\) 绝对收敛。

Alternating series remainder

取出无穷求和中的一个前缀和，对剩下的项之和做放缩，即可得到该无穷求和的一个取值范围。

例：估算 \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac {(-1)^{i+1}} {i^2}\)。

解：取出前 \(4\) 项，和为 \(\frac {115} {144}\)，剩下的项之和记为 \(R\)。

\[R = \frac 1 {25} - \frac 1 {36} + \frac 1 {49} - \frac 1 {81} + \cdots \]

添加括号：

\[R = \left(\frac 1 {25} - \frac 1 {36}\right) + \left(\frac 1 {49} - \frac 1 {81}\right) + \cdots > 0 \]

添加括号：

\[R = \frac 1 {25} - \left(\frac 1 {36} - \frac 1 {49}\right) - \left(\frac 1 {81} - \frac 1 {100}\right) - \cdots < \frac 1 {25} \]

可得：

\[\frac {115} {144} < \sum\limits_{n=1}^\infty \frac {(-1)^{i+1}} {i^2} < \frac {115} {144} + \frac 1 {25} \]

注：对 \(v\) 的估算的 error bound 为 \(v - v_{\text{approx}}\)，不要记反了。

Taylor & Maclaurin polynomials

若 \(f\) 在 \(x=c\) 处无限可导，则 \(f\) 关于点 \(c\) 的泰勒级数为：

\[\sum\limits_{i=0}^\infty \frac {f^{(i)}(c)} {i!} (x-a)^i \]

特别地，\(c=0\) 时这个级数被称为麦克劳林级数。

Lagrange error bound

设 \(f(x) = P_n(x-c) + R_n(x)\)（泰勒展开），其中 \(P_n(x)\) 是一个 \(n\) 次多项式。

若 \(M\) 满足 \(\forall z\) in \(c\) 与 \(x\) 构成的开区间有 \(|f^{(n+1)}(z)| \le M\)，则：

\[|R_n(x)| \le \frac {M |x-c|^{n+1}} {(n+1)!} \]

例：利用麦克劳林级数估算 \(e^{0.99}\)，为了使得误差小于等于 \(0.001\)，多项式的最小次数应是？

解：\(e^x\) 的 \(n+1\) 次导数是 \(e^x\)，在 \([0,0.99]\) 上 \(e^x\) 的最大值是 \(e^{0.99}\)，所以：

\[|R_n(x)| \le \frac {e^{0.99} 0.99^{n+1}} {(n+1)!} \]

枚举 \(n\) 可知 \(n\) 的最小值为 \(\boxed 6\)。

例：利用 \(x = 1\) 处的泰勒级数估算 \(\ln(1.6)\)，为了使得误差小于等于 \(0.001\)，多项式的最小次数应是？

解：\(\ln(x)\) 的 \(n+1\) 次导数是 \((-1)^n \frac {n!} {x^{n+1}}\)，在 \([1,1.6]\) 上最大值是 \(n!\)，所以：

\[|R_n(x)| \le \frac {n! 0.6^{n+1}} {(n+1)!} \]

枚举 \(n\) 可知 \(n\) 的最小值为 \(\boxed 9\)。

例：利用麦克劳林级数估算 \(\sin(0.4)\)，为了使得误差小于等于 \(0.001\)，多项式的最小次数应是？

解：我们可以直接令 \(M=1\) 往下算，\(|R_n(x)| \le \frac {0.4^{n+1}} {(n+1)!}\)，\(n\) 的最小值为 \(\boxed 4\)。

常用麦克劳林展开

\[\sin x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n} {(2n+1)!} x^{2n} = x - \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} - \cdots \]

\[\cos x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n} {(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} - \cdots \]

这两个式子可以作为实数上 \(\sin\) 和 \(\cos\) 的严格定义。

\[\exp x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac {x^n} {n!} = 1 + x + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^3} {3!} + \cdots \]

可得到一个 \(e\) 的表达式：

\[e = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac 1 {n!} \]

\[\ln (1 - x) = - \sum\limits_{n=1}^\infty \frac {x^n} n \]

\[\ln (1 + x) = - \sum\limits_{n=1}^\infty \frac {(-1)^n} n x^n \]

\[\arctan x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n} {2n+1} x^{2n+1} \]

Interval of convergence

例：这个式子在 \(x\) 为何值时收敛？

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac {(n+2) (x+5)^n} {n \times 6^n} \]

解：利用 Ratio Test，\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty} |\frac {a_{n+1}} {a_n}| = |\frac {x+5} 6|\)。\(|\frac {x+5} 6| < 1\) 时（即 \(-11 < x < 1\)），收敛，大于 \(1\) 时发散。

等于 \(1\) 的情况，带进去算一下发现发散，因此答案为 \(\boxed{-11 < x < 1}\)。

Euler's formula

\[e^{ix} = \cos x + i \sin x \]

典中典：

\[e^{i \pi} + 1 = 0 \]

Proof

作 \(e^{ix}\) 的麦克劳林级数即可。💡这个证明并不严谨，但是符合直觉。

根据欧拉公式可得：

\[\sin x = \frac {e^{ix} - e^{-ix}} {2i} \]

\[\cos x = \frac {e^{ix} + e^{-ix}} 2 \]