AMC2024 12A 题目笔记

题目编号按照 AoPS。

√√√√√ √√××√ .×√√√ √.√√√ .....

P6 对啦！

首先注意到答案应该是一个正的加两个负的。

暴力枚举所有合法的三元组，算得 \(10 - 6 - 1 = \boxed{\mathbf{(B)} \ 3}\)。

☆经验：枚举一个数 \(n\) 的分解 \(x \times y \times z\) 是可以接受的。A034836，其 1~1000 的数值。

P8 寄啦！

\[\begin{aligned} \ln(\sin 3x) + \ln(\cos 2x) &= 0 \\ \ln(\sin 3x \cos 2x) &= 0 \\ \sin 3x \cos 2x &= 1 \\ x &= \frac \pi 2 \end{aligned}\]

验算后发现不正确。答案为 \(\boxed{\mathbf{(A)} \ 0}\)。

☆经验：对数函数题目要验算。

☆经验：三角函数题目，不要急着画图，先看看代数能不能分析。

P11 对啦！

\[\begin{aligned} 2b^3 + 2b + 4 &\equiv 0 \pmod {16} \\ b^3 + b + 2 &\equiv 0 \pmod 8 \\ b & \equiv 3,6,7 \pmod 8 & \text{枚举可知} \end{aligned}\]

\([5,2024]\) 之间满足这个条件的数有 \(758\) 个，因此答案为 \(\boxed{\mathbf{(B)} \ 20}\)。

☆经验：做到 \(b^3 + b + 2 \equiv 0 \pmod 8\) 这一步就不要再想着把左边因式分解，而是可以直接枚举 \(b\)。

P12 寄啦！

令 \(n = 720\)。

设 \(n^2 = u \times v\) 其中 \(u < v\)。

则设 \(u = n \times \frac p q, v = n \times \frac q p\)，其中 \(p \perp q\)。

因此 \(p \mid n,q \mid n\)。枚举 \(n\) 的所有约数对 \((p,q)\)，找到 \(\frac p q\) 最接近 \(1\) 的。

具体到这题，是 \(\frac {15} {16}\)。因此 \(v = 768\)，答案为 \(\boxed{\mathbf{(E)} \ 21}\)。

确实是难题。

P15 对啦！

我的考场做法

强行展开，高次韦达。算了半天。答案为 \(\boxed{\mathbf{(D)} 125}\)。

AoPS 上的天才做法

由高次韦达可知，\(x^3 + bx^2 + cx + d = 0\) 的三个根的乘积为 \(-d\)。

注意力惊人：\(\prod (x^2 + 4) = \prod (x + 2i) (x - 2i) = (\prod (x + 2i)) (\prod (x - 2i))\)

即 \(f(x+2i)\) 和 \(f(x-2i)\) 的 \(-d\) 之积，即 \((-5-10i) \times (-5+10i) = \boxed{\mathbf{(D)} 125}\)。

P16 空啦！

不妨看成 \(12\) 个元素的排列，前 \(4\) 个给一个人，中间 \(4\) 个给一个人，最后 \(4\) 个给一个人。

\[\frac {\binom 4 3 \times \binom 4 2 \times \binom 4 1 \times 3!} {\binom {12} {3,2,1,6}} = \frac 4 {385} \]

因此答案为 \(\boxed{\mathbf{(C)} 389}\)。

赛时没算出来的原因：多重集忘记除掉 \(6!\) 了。

P17 空啦！

随便拿两个式子加一下或者减一下就有了。答案为 \(\boxed{\mathbf{(D)} \ 276}\)。

☆经验：看到数论题别急着跑，先加加减减凑个两分钟，什么都没发现再跑。

P19 对啦！

简单的余弦定理+托勒密定理。答案为 \(\boxed{\mathbf{(D)} \ \frac {39} 7}\)。

P20 对啦！

令三角形边长为 \(1\)，\(AP = p, AQ = q\)。

求的即为 \(\frac 1 2 \sin \frac \pi 3 \times pq < \frac 1 2 \times \frac {\sqrt 3} 4\) 的概率，即 \(pq < \frac 1 2\)。

积个分可知这玩意儿是 \(\frac 1 2 + \int_{\frac 1 2}^1 \frac 1 {2x} dx = \frac {\ln 2 + 1} 2 \in \boxed{\mathbf{(D)} \left(\frac 3 4, \frac 7 8\right]}\)。

P21 空啦！

不是很难的题目，但是考场上没时间做了。

不难求得 \(a_n = n + \frac 1 n\)。

\[\begin{aligned} & \sum\limits_{i=1}^{100} (i + \frac 1 i)^2 \\ =& \sum\limits_{i=1}^{100} i^2 + 2 + \frac 1 {i^2} \\ =& 338350 + 200 + \sum\limits_{i=1}^{100} \frac 1 {i^2} \\ \approx& 338550 + \frac {\pi^2} 6 \\ \end{aligned}\]

答案为 \(\boxed{\mathbf{(B)} \ 338551}\)。

P22 空啦！

大分讨 \(\boxed{\mathbf{(C)} 146}\)。

考场上弃了这题是对的。

天秀：Solution 3 Do it if you have no time

only options B and C are close,and people will be likely to forget the last case. Thus, we have \(\boxed{\textbf{(C) }146}\) ways.

P23 空啦！

\[\begin{aligned} & \tan^2 x + \tan^2 (\frac \pi 2 - x) \\ =& (\tan x + \tan (\frac \pi 2 - x))^2 - 2 \\ =& (\frac {\sin \frac \pi 2} {\cos x \cos (\frac \pi 2 - x)})^2 - 2 \\ =& (\frac 2 {\sin 2x})^2 - 2 \end{aligned}\]

一通乱化可得答案为 \(\boxed{\mathbf{(B)} \ 68}\)。

三角函数是我的薄弱点，要多练。

P24 空啦！

其实只要求四倍的整数边不等边锐角三角形最小面积。尝试可知是 \(4-5-6\) 三角形。

根据海伦公式可知面积为 \(\frac {15} 4 \sqrt 7\)。选择 \(\boxed{\mathbf{(D)} 15 \sqrt 7}\)。

☆经验：三角形面积不只有底乘高除以二和正弦定理，还有海伦公式。

P25 空啦！

非常简单的巨大分类讨论。\(\boxed{\mathbf{(B)} \ 1292}\)。