2024 AIME II

√√√√√ √√√.√ ....× \(= 9\)

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2024_AIME_II_Problems

P7 对啦！

令 \(n = \overline{abcd}\)。题目相当于解方程：

\[\begin{bmatrix} & 100 & 10 & 1 \\ 1000 & & 10 & 1 \\ 1000 & 100 & & 1 \\ 1000 & 100 & 10 & \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} -1000 \\ -100 \\ -10 \\ -1 \end{bmatrix} \pmod 7\]

即：

\[\begin{bmatrix} & 2 & 3 & 1 \\ 6 & & 3 & 1 \\ 6 & 2 & & 1 \\ 6 & 2 & 3 & \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix} \pmod 7\]

消元一下可知

\[\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix} \pmod 7\]

因为每个数都在 \([0,9]\) 之内，所以只有 \(c\) 有两种可能（\(2\) 或 \(9\)）。取 \(c=9\) 得 \(n = 5694\) 为最大值。提交 \(\boxed{699}\)。

P9 空啦！

神秘计数。其实考场上可以再努力努力的，这种题目就是找性质。

全黑全白两种情况比较特殊首先排除掉。

（Solution 6）

考虑类似状压 DP 的东西。最左边一列必有空格但不能全是空格，除了空格都是同种颜色 \(A\)。\(60\) 种可能。

放完第一列后考虑第一个空行。最左边一格是空的，剩下四格不能全是空格，而且必须与 \(A\) 相反。\(15\) 种可能。

\(60 \times 15 + 2 = \boxed{902}\)。

P10 对啦！

鸡爪图经典结论：三角形 \(ABL\) 与三角形 \(ADC\) 相似，\(AB \cdot AC = AL \cdot AD\)。

通过 Euler's theorem in geometry 知 \(OI = \sqrt{R^2 - 2Rr} = \sqrt {156} = 2 \sqrt{39}\)。

垂径定理知 \(AD = 4 \sqrt{39}\)。

从 \(I\) 往 \(BC\) 作垂线，垂足记为 \(H\)，则三角形 \(IHL\) 与三角形 \(DIO\) 相似，可求得 \(AL = 3 \sqrt{39}\)。

\[AB \cdot AC = AL \cdot AD = 3 \sqrt{39} \cdot 4 \sqrt{39} = \boxed{468} \]

P11 空啦！

用 \(XeY\) 代表 \(X \times 10^Y\)。

看到 \(a=b=c=100\) 刚好是解，说明这题数据有问题，肯定是凑好的。

\[\begin{aligned} & a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b = 6e6 \\ =& (a+b+c)(ab+ac+bc) - 3abc \\ =& 300 (ab+ac+bc) - 3abc \\ \end{aligned}\]

因此 \(100(ab+ac+bc) - abc = 2e6\)。

经验 配出 \(\sigma\) 之后，尝试韦达。

注意到

\[\begin{aligned} & (100-a)(100-b)(100-c) \\ =& 1e6 - 1e4(a+b+c) + 100(ab+ac+bc) - abc \\ =& 1e6 - 3e6 + 2e6 \\ =& 0 \end{aligned}\]

脑电波对上。

三个数中至少有一个 \(100\)，分讨一下可得 \(\boxed{601}\) 个方案。

P12 空啦！

前置知识：星形线

令 \(\mathcal F\) 边界的解析式为 \(f(x)\)。令 \(\theta\) 表示线段与 \(x\) 轴的夹角。

\[f(x) = \max\limits_{\theta \in (0, \frac \pi 2)}(\sin \theta - x \tan \theta) \]

求个导：

\[\begin{aligned} & \frac d {d\theta} (\sin \theta - x \tan \theta) = 0 \\ =& \cos \theta - \frac x {\cos^2 \theta} \\ \end{aligned}\]

\[\cos \theta = x^{\frac 1 3} \]

\[\begin{aligned} f(x) &= \sin \theta (1 - \frac x {\cos \theta}) \\ &= \sqrt{1 - x^{\frac 2 3}} (1 - x^{\frac 2 3}) \\ &= (1 - x^{\frac 2 3})^{\frac 3 2} \\ \end{aligned}\]

我们得到了星形线方程：

\[\boxed{x^{\frac 2 3} + y^{\frac 2 3} = 1} \]

对于线段长度 \(L\) 不为 \(1\) 的情况，得到的是：

\[\boxed{x^{\frac 2 3} + y^{\frac 2 3} = L^{\frac 2 3}} \]

本题解法

\[\begin{cases} x^{\frac 2 3} + y^{\frac 2 3} = 1 \\ \frac x {\frac 1 2} + \frac y {\frac 1 2 \sqrt 3} = 1 \\ \end{cases}\]

解得坐标为 \((\frac 1 8, \frac 3 8 \sqrt 3)\)。离原点距离 \(\frac 1 4 \sqrt 7\)，提交答案 \(\boxed{023}\)。

P13 空啦！

\(\prod\limits_{k=1}^{n} (z - \omega_n^k) = z^n - 1\)

\[\begin{aligned} & \prod\limits_{k=0}^{12} (\omega_{13}^{2k} - 2 \omega_{13}^k + 2) \\ =& \prod\limits_{k=0}^{12} (1-i - \omega_{13}^k) (1+i - \omega_{13}^k) \\ =& ((1-i)^{13} - 1) ((1+i)^{13} - 1) \\ =& (-65+64i) (-65-64i) \\ =& 8321 \\ \end{aligned}\]

提交 \(\boxed{321}\)。

P14 空啦！

设 \(n = (uv)_b\)，\(a = u+v\)，则：

\[\begin{cases} a^2 = ub+v \\ a = u+v \\ \end{cases}\]

可得

\[u = \frac {a (a-1)} {b-1} \]

因此 \((b-1) \mid a (a-1)\)。

为了解这个方程我们还需要找到一个 \(a\) 的范围。

可以注意到 \(1 < a < b\) 是 \(1 \le u \le b-1\) 的充要条件。

New Problem：求这个方程解的个数：\((b-1) \mid a (a-1)\) 且 \(1 < a < b\)。

Pattern 刻画整除关系，对每个质数分类讨论。

\[\nu_p(b-1) \le \nu_p(a) + \nu_p(a-1) \]

RHS 的两项必有一项为 \(0\)。这启发我们把 \(b-1\) 分解为两个互质的数 \(x \times y\)，满足 \(x \mid a\) 且 \(y \mid (a-1)\)。可得：

\[\begin{cases} a \equiv 0 \pmod x \\ a \equiv 1 \pmod y \\ \end{cases}\]

根据 CRT，这个方程在 \(x \times y = b-1\) 的范围内有且只有一个解。（Special Case：\(x=1\)，\(y=b-1\) 的时候 \(a=1\) 需要排除）所以问题转化为拆法的个数。这个就很简单了，是 \(2^{\omega(b-1)}\)。（\(\omega\) 为不同质因子个数）

\[\begin{aligned} 2^{\omega(b-1)} - 1 &> 10 \\ \omega(b-1) &\ge 4 \\ \end{aligned}\]

最小的 \(b = 2 \times 3 \times 5 \times 7 + 1 = \boxed{211}\)。

P15 错啦！

大分讨讨错了。。。

posted @ 2025-02-10 17:45  August_Light  阅读(81)  评论(0)    收藏  举报