组合数学与计数（瞎写）

组合数学与计数

笔记，不含练习。

基本计数原理

加法原理
乘法原理

组合数

\(\binom{n}{r}\) 或 \(C_{n}^{r}\) 表示组合数，从 \(n\) 个元素中选 \(r\) 个的方案数，不考虑顺序。\(\binom{n}{r}=C_n^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)。

类似的，\(A_{n}^{r}\) 表示排列数，从 \(n\) 个元素中选择 \(r\) 个的方案数，考虑顺序。\(A_n^r=\frac{n!}{(n-r)!}\)。

一些性质

对称恒等式

\[\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} \]

吸收提取不等式

\[\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1} \]

与下降幂结合

\[\binom{n}{k}\times k^{\underline{m}}=\binom{n-m}{k-m}\times n^{\underline{m}} \]

加法归纳恒等式

\[\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1} \]

二项式定理

\[(x+y)^n=\sum_k\binom{n}{k}x^ky^{r-k} \]

下降幂转组合数

\[n^{\underline{k}}=\binom{n}{k}k! \]

三项式版恒等式

\[\binom{r}{m}\binom{m}{k}=\binom{r}{k}\binom{r-k}{m-k} \]

范德蒙德卷积

\[\sum_{i=0}{k}\binom{n}{i}\binom{m}{k-i}=\binom{n+m}{k} \]

插板法

现有 \(n\) 个完全相同的元素，要求将其分为 \(k\) 组，保证每组至少有一个元素，一共有多少种分法？

考虑拿 \(k-1\) 块板子插入到 \(n\) 个元素两两形成的 \(n-1\) 个空里面。
因为元素是完全相同的，所以答案就是 \(\binom{n-1}{k-1}\)。
本质是求 \(k\) 个未知数和为 \(n\) 的正整数解的组数。

允许每组为空？

考虑加入 \(k-1\) 个元素，这样有 \(n+k-1\) 个元素。考虑从中选 \(k-1\) 个作为板子进行分隔。
答案即为 \(\binom{n+k-1}{k-1}\)。
本质是求 \(k\) 个未知数和为 \(n\) 的非负整数解的组数。

如果再扩展一步，要求对于第 \(i\) 组，至少要分到 \(a_i\)，\(\sum a_i\le n\) 个元素呢？

考虑先把下界补满，然后问题就转换为允许每组为空的了。
答案即为 \(\binom{n-\sum a_i+k-1}{k-1}\)。

二项式求导

计算 \(\sum_{k=1}^nk^2\binom{n}{k}\)。

考虑 \(ax^n\) 的导数等于 \(anx^{n-1}\)。

由二项式定理得：

\[(1+x)^n=\sum_{k=0}^nx^k\binom{n}{k} \]

两边同时求导：

\[n(1+x)^{n-1}=\sum_{k=0}^nkx^{k-1}\binom{n}{k} \]

两边同乘 \(x\)：

\[nx(1+x)^{n-1}=\sum_{k=0}^nkx^k\binom{n}{k} \]

两边同时求导：

\[n((1+x)^{n-1}+(n-1)x(1+x)^{n-2})=\sum_{k=0}^nk^2x^{k-1}\binom{n}{k} \]

将 \(x=1\) 带入得到：

\[\sum_{k=0}^nk^2\binom{n}{k}=n(n+1)2^{n-2} \]

组合数取模

卢卡斯定理：

\[\binom{n}{m}=\binom{n\bmod p}{m\bmod p}\binom{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}\pmod p \]

例题

\(n\) 个不同元素，选 \(r\) 个，每个可以选择多次（类似多重背包）。求方案数。

这个问题等价于 \(n\) 个未知数和为 \(r\) 的方案数。引用上面的结论即可。

\(n\) 个不同元素，选 \(r\) 个，选的元素不能相邻。

考虑空格的分配。
\(r\) 个元素，显然有 \(r+1\) 个空格（算上两边），其中，两头的两个的空格最少可以是 \(0\) 个格子，中间的空格最少是 \(1\) 个格子。
因为要选 \(r\) 个物品，所以有 \(n-r\) 个格子是空格。
问题转化为 \(r+1\) 个未知数，和为 \(n-r\)，其中 \(r-1\) 个下界为 \(1\)，剩下的两个下界为 \(0\)。
套用上面的公式，答案即为 \(\binom{n-r-(r-1)+(r+1)-1}{(r+1)-1}=\binom{n-r+1}{r}\)。

求 \(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2\)。

考虑 \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\)，那么上式变为 \(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\binom{n}{n-k}\)。
就相当于把 \(2n\) 个物品分成两段，枚举前面半段选多少，后面半段选多少。
显然等于 \(\binom{2n}{n}\)。

将 \(x\) 拆分为 \(n\) 个不同的组合数之和，求一组合法方案。

\(x=\sum_{i=1}^{k-1}\binom{i}{0}+\binom{x-k+1}{1}\)。

比较 \(\binom{n_1}{m_1}\) 和 \(\binom{n_2}{m_2}\) 的大小，\(n,m\le 10^6\)。

预处理阶乘的 \(\log\)，比较 \(\log\) 的大小。

错排

设 \(D_n\) 表示 \(n\) 个元素错排的方案数。

如果 \(n=0\)，只能啥也不干，所以 \(D_0=1\)。

如果 \(n=1\)，没法错排，所以 \(D_1=0\)。

如果 \(n=2\)，只能交换两个元素，所以 \(D_2=1\)。

考虑加入第 \(n\) 个元素，假设放在了第 \(i\) 个位置。显然有 \((n-1)\) 个 \(i\) 可选。

对于每个 \(i\)，考虑第 \(i\) 号元素放在哪。

1. 放在 \(n\) 号位置。这样剩下的 \((n-2)\) 个元素错排即可。
2. 不放在 \(n\) 号位置。因为 \(i\) 不能放在 \(n\)，而且因为原先的 \(i\) 位置被占用，就相当于没有，那么 \(n\) 号位置就相当于 \(i\) 号位置。这样 \((n-1)\) 个元素错排即可。

综上，\(D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\)。

斯特林数

第二类

\(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}\) 表示把 \(n\) 个元素划分成 \(m\) 个不可区分的非空集合的方案数。

转移

\(0\) 个东西放在 \(0\) 个集合里面只能啥也不干，所以 \(\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}=1\)。

考虑加入一个元素。

如果这个元素放在一个独立的集合内，有一种方案，剩下的部分有 \(\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix}\) 种。

如果放在一个已有的集合内，有 \(k\) 种方案，剩下的部分有 \(\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix}\) 种方案。

所以：

\[\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1 \\k-1\end{Bmatrix}+k\begin{Bmatrix}n-1\\k\end{Bmatrix} \]

第一类

\(\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}\) 表示把 \(n\) 个元素划分成 \(m\) 个不可区分的非空轮换的方案数。

一个轮换就是一个首尾相接的环形排列。

我们可以写出一个轮换 \([A,B,C,D]\)，并且我们认为 \([A,B,C,D]=[B,C,D,A]=[C,D,A,B]=[D,A,B,C]\)，即，两个可以通过旋转而互相得到的轮换是等价的。

注意，我们不认为两个可以通过翻转而相互得到的轮换等价，即 \([A,B,C,D]\neq[D,C,B,A]\)。

转移

\(0\) 个东西放在 \(0\) 个轮换里面只能啥也不干，所以 \(\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}=1\)。

考虑加入一个元素。

如果这个元素放在一个独立的轮换内，有一种方案，剩下的部分有 \(\begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix}\) 种。

如果放在一个已有的集合内，有 \((n-1)\) 种方案，剩下的部分有 \(\begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix}\) 种方案。

所以：

\[\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1 \\k-1\end{bmatrix}+(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix} \]

通常幂和下降幂的转换

下降幂转通常幂:

\[x^{\underline{n}}=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}x^k \]

通常幂转下降幂：

\[x^n=\sum_{k=0}^n\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}x^{\underline{k}} \]

容斥

通过集合交的大小，求出集合并的大小。

设 \(U\) 中元素有 \(n\) 种不同的属性，而第 \(i\) 种属性称为 \(P_i\)，拥有属性 \(P_i\) 的元素构成集合 \(S_i\)，那么：

\[\left|\bigcup_{i=1}^{n}S_i\right|=\sum_{m=1}^n(-1)^{m-1}\sum_{a_i<a_{i+1} }\left|\bigcap_{i=1}^mS_{a_i}\right| \]

错排

这里有 \(n\) 个条件，形如 \(i\) 在正确的位置上。

显然，错排方案数=全排列-有至少一个在正确的位置上的的方案数。

考虑如何求出有至少一个在正确的位置上的方案数。

考虑容斥。满足任意 \(k\) 个条件的方案数是：\(\binom{n}{k}\times (n-k)!=\frac{n!}{k!}\)，容斥系数为 \(k-1\)。

综上，错排方案数为：

\[\begin{align} D(n)&=n!-\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{n!}{k!}\nonumber\\ &=n!+\sum_{k=1}^n(-1)^k\frac{n!}{k!}\nonumber\\ &=\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{n!}{k!}\nonumber\\ \end{align} \]

但是这个式子就算预处理逆元都是 \(\Theta(n)\) 的，而且 \(\Theta(n)\) 的时间只能求一项，没啥用。

卡特兰数

介绍

以下问题属于Catalan数列：

1. 有 \(2n\) 个人排成一行进入剧场。入场费 \(5\) 元。其中只有 \(n\) 个人有一张 \(5\) 元钞票，另外 \(n\) 人只有 \(10\) 元钞票，剧院无其它钞票，问有多少种方法使得只要有 \(10\) 元的人买票，售票处就有 \(5\) 元的钞票找零？
2. 一位大城市的律师在她住所以北 \(n\) 个街区和以东 \(n\) 个街区处工作。每天她走 \(2n\) 个街区去上班。如果他从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
3. 在圆上选择 \(2n\) 个点，将这些点成对连接起来使得所得到的 \(n\) 条线段不相交的方法数？
4. 对角线不相交的情况下，将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数？
5. 一个栈（无穷大）的进栈序列为 \(1,2,3,\cdots,n\) 有多少个不同的出栈序列？
6. \(n\) 个结点可构造多少个不同的二叉树？
7. \(n\) 个 \(+1\) 和 \(n\) 个 \(-1\) 构成 \(2n\) 项 \(a_1,a_2,\cdots,a_{2n}\)，其部分和满足 \(a_1+a_2+\cdots+a_k \geq 0\)（\(k=1,2,3,\cdots,2n\)）。对于 \(n\)，该数列为？

其对应的序列为：

\(H_0\)	\(H_1\)	\(H_2\)	\(H_3\)	\(H_4\)	\(H_5\)	\(H_6\)
\(1\)	\(1\)	\(2\)	\(5\)	\(14\)	\(42\)	\(132\)

这就是卡特兰数列。

计算

卡特兰数的递推式为：

\(H_n = \sum_{i=0}^{n-1} H_i \cdot H_{n-i-1} \quad (n \geq 2)\)

其中 \(H_0 = 1\)，\(H_1 = 1\)。

其他常见的公式有：

\[\begin{align} H_n&=\frac{\binom{2n}{n}}{n+1}(n\geq2,n\in\mathbf{N_{+}})\nonumber\\ H_n&= \begin{cases} \sum_{i=1}^{n}H_{i-1}\cdot H_{n-i}&n\geq2,n\in\mathbf{N}_+\\ 1 & n = 0, 1 \end{cases}\nonumber\\ H_n&=\frac{H_{n-1}\cdot(4n-2)}{n+1}\nonumber\\ H_n&=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}\nonumber\\ \end{align} \]

非降路径计数

非降路径是指只能向上或向右走的路径。

1. 从 \((0,0)\) 到 \((m,n)\) 的非降路径数等于 \(m\) 个 \(x\) 和 \(n\) 个 \(y\) 的排列数，即 \(\binom{n + m}{m}\)。
2. 从 \((0,0)\) 到 \((n,n)\) 的除端点外不接触直线 \(y=x\) 的非降路径数：
   先考虑 \(y=x\) 下方的路径，都是从 \((0, 0)\) 出发，经过 \((1, 0)\) 及 \((n, n-1)\) 到 \((n,n)\)，可以看做是 \((1,0)\) 到 \((n,n-1)\) 不接触 \(y=x\) 的非降路径数。
   所有的的非降路径有 \(\binom{2n-2}{n-1}\) 条。对于这里面任意一条接触了 \(y=x\) 的路径，可以把它最后离开这条线的点到 \((1,0)\) 之间的部分关于 \(y=x\) 对称变换，就得到从 \((0,1)\) 到 \((n,n-1)\) 的一条非降路径。反之也成立。从而 \(y=x\) 下方的非降路径数是 \(\binom{2n-2}{n-1} - \binom{2n-2}{n}\)。根据对称性可知所求答案为 \(2\binom{2n-2}{n-1} - 2\binom{2n-2}{n}\)。
3. 从 \((0,0)\) 到 \((n,n)\) 的除端点外不穿过直线 \(y=x\) 的非降路径数：
   用类似的方法可以得到：\(\frac{2}{n+1}\binom{2n}{n}\)。
   如果要求只能在直线的下方和直线上走，则方案数是 \(\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}\)，即卡特兰数。

问题

有一个函数 \(f(i,j)=f(i-1,j)+f(i,j-1),f(0,0)=1,0\le i\le j\)，证明：\(f(n,n)=Catalan(n)\)。

容易发现，\(f(i,j)=f(i-1,j)+f(i,j-1),0\le i\le j\) 就是求 \((0,0)\) 走到 \((i,j)\) ，始终在 \(y=x\) 下方和 \(y=x\) 上走的方案数的递推式。这个就是卡特兰数。

板子

下降幂

int dpow(int a,int b){
	int ans=1;
	for(int i=0;i<b;i++)ans=ans*(a-i)%mod;
	return ans;
}

快速幂

int ksm(int a,int b){
	int ans=1;
	for(;b;b>>=1){
		if(b&1)ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
	}
	return ans;
}

逆元

int inv(int a){
	int ans=1;
	for(int i=mod-2;i;i>>=1){
		if(i&1)ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
	}
	return ans;
}

组合数

int C(int a,int b){
	return fact[a]*inv(fact[b])%mod*inv(fact[a-b])%mod;
}