2025.10.13 测试

1.

U612392 追忆

是一个小技巧

考虑在序列中尽量向前匹配，在那个位置计数

然后发现要求是对于一个元素，在其前面的元素与其之间的空隙不能有这个字符

所以可以枚举结尾位置

通过 $\sum _{i = 0}^n \binom{i - n - 1}{n - 1} \times 26^{n + k - i} \times 25^{i - n} $

简单计算即可

AC

2.

P11390 [COCI 2024/2025 #1] 教师 / Učiteljica

想到枚举右端点，然后统计和法左端点

\(k = 1\)

维护每种数的合法区间

然后相当于求非零位置和

是区间加和非 0 位置个数

把右端点看成 x 轴，合法左端点放到 y 轴上，其实就是一个简单的扫描线模版，不用离散化

有两种解决方案

• 维护最小值及其个数

• 维护区间覆盖次数

我写的第一种

\(k > 1\)

考虑其实是要求每种 k 都出现，相当于是求交集，不好写，转换成求并集容斥就行

复杂度 \(O(2^k \times k \times n \log n)\)

这个容斥的原理和并集转换是一样的

用二项式定理可以简单证明

AC

3.

P4922 [MtOI2018] 崩坏3？非酋之战！

写文章了

4.

P12336 第三心脏

逆天改造

先推柿子

$ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} = a \oplus b \oplus c \oplus d $

$ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = (a \oplus b \oplus c \oplus d)^2 \ge d^2 = (d + x)^2 $

拆开得

$ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = (d + x) ^ 2$

\(a^2 + b^2 + c^2 = 2 \times d \times x + x^2\)

\((a \oplus b \oplus c \oplus d)^2 = (d + x) ^ 2\)

\(a \oplus b \oplus c \oplus d = d + x\)

合起来即为

\[\left\{\begin{matrix} a^2 + b^2 + c^2 = 2 \times d \times x + x^2\\ a \oplus b \oplus c \oplus d = d + x \end{matrix}\right.\]

设 x 最高位为 p ， 我们让 d 的 \(\le p\) 位，直接可以得到

\[\left\{\begin{matrix} a^2 + b^2 + c^2 = 2 \times d \times x + x^2\\ a \oplus b \oplus c = x \end{matrix}\right.\]

然后我让 x = 1 ,后面的构造可以看出对任意 x 都可以构造

\[\left\{\begin{matrix} a^2 + b^2 + c^2 = 2 \times d + 1\\ a \oplus b \oplus c = 1\\ d \equiv 0 (\bmod 2) \end{matrix}\right.\]

\[\left\{\begin{matrix} \frac{a^2 + b^2 + c^2 - 1}{2} = d\\ a \oplus b \oplus c = 1\\ d \equiv 0 (\bmod 2) \end{matrix}\right.\]

让 \(b = 2^p + a , c = 2^p + 2^{p + 1} + 1\)

发现成立，

但当 a 为奇数时， \(d \equiv 0 (\bmod 2)\) 不成立

微调一下 \(b = 2^p + a - 1 , c = 2^p + 2^{p + 1}\) 即可

AC