组合计数

T0

复习了好多组合计数的知识，第二次遇到minmax容斥以及相关的题

T1

首先枚举i,之后列出不能同时存在的点对

设一共有m个，那么独立的便有k-2m个

之后枚举选x个点对

贡献就是$2^x*y$

y是x个大于0的数加上k-2m个大于等于0的数加和为n的方案数

考虑先给这k-2m都加1

那么便可以用插板法解决:$y=C_{n+k-2m}^{x+k-2m}$

总复杂度$O(k^2)$

T2

设t(x)代表x首次被选上的时间

要求的就是$$E(max(t(x))(x\in S)$$

min-max容斥

$$ans=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(min(t(x))$$

假如有共有y个pair，其中x个pair有礼物

那么$$E(min(t(x))=\frac{y}{x}$$

设$dp[i][j][S][x][0/1]$代表现在在i行j列没行最后一个的状态是$S$，一共有$x$个$pair$有礼物，礼物总数是否为奇数的方案数

转移是逐列转移以便确定当前拓展点左上和正上方的状态

T3

容斥

枚举有i个出现小于等于1次

之后枚举有k个集合选了这i个里面至少一个

那么方案数就是$$S(i+1,k+1)$$

(多一个集合用来放那些不选，多一个数来使得这个集合可为空并且指定哪个集合是垃圾堆)

$$ans=\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^i*C(n,i)*2^{2^{n-i}}*\sum\limits_{k=1}^{i}S(i+1,k+1)(2^{n-i})^k$$

T4

依旧是容斥

对于一个大小为x的联通块

贡献就是(x-1)*(x-3)*...*1

那么考虑树形dp，设dp[i][j][0/1]代表以i为根的子树中i所在的联通块大小为j，切的次数是否为奇数的方案数

复杂度是$O(n^2)$