P2487 [SDOI2011] 拦截导弹 题解

题目链接：拦截导弹

约定：

本题中提到的 \(LDS\) 和 \(LIS\) 不是严格单调，而是非严格单调，即为 \(\le 或者 \ge\)。

比较神奇的题，问的东西比较多，我们逐渐拆分：

对于第一个问题而言，这个 dp 方程是很好写的：

\[dp[i]=\max{dp[j]}+1 (i<j,h[i] \le h[j],v[i]\le v[j]) \]

其中 \(dp[i]\) 即为以 \(i\) 结尾的最多导弹数。那么答案显然即为 \(\max{dp}\)，这玩意和最长递增子序列那些都是差不多的，注意到转移条件为三维偏序，那么我们使用 \(cdq分治\) 优化成 \(n\log^2{n}\) 就行了，比较经典。

注意第二个问题问的概率，对于某个导弹被记录的概率，首先需要知道包括这个导弹的总方案数，以及总方案数中有多少个方案是可以击落的。注意，此时此刻问的方案数都是基于第一问的最长的那个 \(LDS\) 的基础上而言，所以我们还要考虑当前点是否有 \(LDS\) 的构造方案。

听上去比较复杂是吧，我们注意到一个 \(LDS\) 可以被拆为两个 \(LDS\) 拼接。

如图所示，如果 \(i\) 是在 \(LDS\) 当中，那么一定可以分为两部分，以 \(i\) 结尾的 \(LDS\) 和以 \(i\) 开头的 \(LDS\)，如果我们的红色方案数为 \(x\)，蓝色的为 \(y\)，则包含 \(i\) 的 \(LDS\) 的方案数即为 \(x \times y\)。而总方案数，其实在第一个问题当中，也可以一并算出来了。

注意到难点，关于 \(i\) 开头的 \(LDS\) 并无法直接 \(dp\) 得到，因为我们的 \(dp\) 为了维持无后效性，那么思考下以 \(i\) 开头的 \(LDS\) 如果我们从右往左看，它就是以 \(i\) 结尾的 \(LIS\)，那么从右往左 \(dp\) 就对了：

\[dp[i]=\max{dp[j]}+1 (i<j,h[i]\ge h[j],v[i] \ge v[j]) \]

严格地注意严格不等式和非严格不等式，只需要 \(bit\) 维护最值 \(dp\) 和对应方案数即可。做两遍 \(cdq\) 优化这两者 \(dp\)。像第一维这种和下标有关的序，我们直接按照下标序写就行了，这样就不需要再单独写这个序的排序函数。当然值域很大，顺便离散化一下。

这题码量重复性的东西比较多，码量不小，简单说说。

对于 \(cdq分治\) 优化 dp 具体经典思路，是基于中序遍历分治树，在访问完左子树时开始更新，注意一点，原偏移量为了保证第一层偏序，所以并不能直接排序，因为我们不是传统的 \(cdq\) 分治为后序遍历分治树，在中序遍历右子树时，如果还是按以往那种偏序，会破坏掉第一层偏序，导致访问右子树时计算不出答案。我们通常做法是记录下标，然后将下标按照序进行排序，这样第一层偏序就会在统计时依旧保证正确。这是一个经典的套路，用 \(cdq分治\) 优化带有偏序转移的 \(dp\) 问题。

关于用线段树还是树状数组好，一般树状数组就行了，其实这个问题抽象一下，询问一块值域内，最大的区间最大值，以及区间最大值的个数。这玩意线段树很好写 pushUp，分讨一下就行了，树状数组改为维护前后缀最值就行了。一般只涉及前后缀最值，都习惯用树状数组。

最终统计答案时，很显然只有前后缀最长拼起来：

\[pre[i]+suf[i]-1=maxLen,才需要统计它所包含的方案数 \]

\[ans=\frac{PreCnt \times SufCnt}{AllCnt},数量很多,我们可以考虑直接double存就行了 \]

最后，值域很大，老规矩离散化一下，然后注意第二组 \(dp\) 的第一维偏序，要取反，所以我们取答案的时候也是取反后的下标去取。然后用 stable_sort 可以避免严格偏序问题，可以省一些代码，我个人很多合在一起写了，代码上很简略。当然手写归并数组之类的也行，本处直接调稳定排序函数了。

参照代码

#include <bits/stdc++.h>

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
// #pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native")

#define isPbdsFile

#ifdef isPbdsFile

#include <bits/extc++.h>

#else

#include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/trie_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tag_and_trait.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/list_update_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/exception.hpp>
#include <ext/rope>

#endif

using namespace std;
using namespace __gnu_cxx;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef tuple<int, int, int> tii;
typedef tuple<ll, ll, ll> tll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
typedef __int128 i128;
#define hash1 unordered_map
#define hash2 gp_hash_table
#define hash3 cc_hash_table
#define stdHeap std::priority_queue
#define pbdsHeap __gnu_pbds::priority_queue
#define sortArr(a, n) sort(a+1,a+n+1)
#define all(v) v.begin(),v.end()
#define yes cout<<"YES"
#define no cout<<"NO"
#define Spider ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
#define MyFile freopen("..\\input.txt", "r", stdin),freopen("..\\output.txt", "w", stdout);
#define forn(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define forv(i, a, b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ls(x) (x<<1)
#define rs(x) (x<<1|1)
#define endl '\n'
//用于Miller-Rabin
[[maybe_unused]] static int Prime_Number[13] = {0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37};

template <typename T>
int disc(T* a, int n)
{
    return unique(a + 1, a + n + 1) - (a + 1);
}

template <typename T>
T lowBit(T x)
{
    return x & -x;
}

template <typename T>
T Rand(T l, T r)
{
    static mt19937 Rand(time(nullptr));
    uniform_int_distribution<T> dis(l, r);
    return dis(Rand);
}

template <typename T1, typename T2>
T1 modt(T1 a, T2 b)
{
    return (a % b + b) % b;
}

template <typename T1, typename T2, typename T3>
T1 qPow(T1 a, T2 b, T3 c)
{
    a %= c;
    T1 ans = 1;
    for (; b; b >>= 1, (a *= a) %= c)if (b & 1)(ans *= a) %= c;
    return modt(ans, c);
}

template <typename T>
void read(T& x)
{
    x = 0;
    T sign = 1;
    char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch))
    {
        if (ch == '-')sign = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (isdigit(ch))
    {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    x *= sign;
}

template <typename T, typename... U>
void read(T& x, U&... y)
{
    read(x);
    read(y...);
}

template <typename T>
void write(T x)
{
    if (typeid(x) == typeid(char))return;
    if (x < 0)x = -x, putchar('-');
    if (x > 9)write(x / 10);
    putchar(x % 10 ^ 48);
}

template <typename C, typename T, typename... U>
void write(C c, T x, U... y)
{
    write(x), putchar(c);
    write(c, y...);
}


template <typename T11, typename T22, typename T33>
struct T3
{
    T11 one;
    T22 tow;
    T33 three;

    bool operator<(const T3 other) const
    {
        if (one == other.one)
        {
            if (tow == other.tow)return three < other.three;
            return tow < other.tow;
        }
        return one < other.one;
    }

    T3() { one = tow = three = 0; }

    T3(T11 one, T22 tow, T33 three) : one(one), tow(tow), three(three)
    {
    }
};

template <typename T1, typename T2>
void uMax(T1& x, T2 y)
{
    if (x < y)x = y;
}

template <typename T1, typename T2>
void uMin(T1& x, T2 y)
{
    if (x > y)x = y;
}

struct Hash
{
    static uint64_t splitmix64(uint64_t x)
    {
        x += 0x9e3779b97f4a7c15;
        x = (x ^ x >> 30) * 0xbf58476d1ce4e5b9;
        x = (x ^ x >> 27) * 0x94d049bb133111eb;
        return x ^ x >> 31;
    }

    static size_t get(const uint64_t x)
    {
        static const uint64_t FIXED_RANDOM = chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count();
        return splitmix64(x + FIXED_RANDOM);
    }

    template <typename T>
    size_t operator()(T x) const
    {
        return get(std::hash<T>()(x));
    }

    template <typename F, typename S>
    size_t operator()(pair<F, S> p) const
    {
        return get(std::hash<F>()(p.first)) ^ std::hash<S>()(p.second);
    }
};

constexpr int N = 5e4 + 10;
typedef pair<int, double> pid;

inline void Max(pid& x, const pid& y)
{
    if (x.first < y.first)x = y;
    else if (x.first == y.first)x.second += y.second;
}

int idx;
hash2<int, int, Hash> mp;

enum Type
{
    Pre = 0, Suf = 1
};

struct
{
    pid bit[2][N]; //0是前缀最值,1是后缀最值
    void add(int x, const pid& val, const Type& id)
    {
        if (id == Pre)while (x <= idx)Max(bit[id][x], val), x += lowBit(x);
        else while (x)Max(bit[id][x], val), x -= lowBit(x);
    }

    pid query(int x, const Type& id) const
    {
        pid ans;
        if (id == Pre)while (x)Max(ans, bit[id][x]), x -= lowBit(x);
        else while (x <= idx)Max(ans, bit[id][x]), x += lowBit(x);
        return ans;
    }

    void clear(int x, const Type& id)
    {
        constexpr pid zero;
        if (id == Pre)while (x <= idx)bit[id][x] = zero, x += lowBit(x);
        else while (x)bit[id][x] = zero, x -= lowBit(x);
    }
} Bit;

//1.hL>=hR,vL>=vR
//2.hL<=hR,vL<=vR
struct DP
{
    int h, v;
    pid ans;
} dp1[N], dp2[N];

int tmp[N];

inline bool cmp1(const int x, const int y)
{
    return dp1[x].h >= dp1[y].h;
}

inline bool cmp2(const int x, const int y)
{
    return dp2[x].h <= dp2[y].h;
}

inline void cdq(const int L, const int R, const Type type = Suf)
{
    const int mid = L + R >> 1;
    if (L == R)return;
    cdq(L, mid, type);
    auto dp = type == Suf ? dp1 : dp2;
    auto cmp = type == Suf ? cmp1 : cmp2;
    forn(i, L, R)tmp[i] = i;
    stable_sort(tmp + L, tmp + mid + 1, cmp), stable_sort(tmp + mid + 1, tmp + R + 1, cmp);
    int l = L;
    forn(r, mid+1, R)
    {
        while (l <= mid and cmp(tmp[l], tmp[r]))Bit.add(dp[tmp[l]].v, dp[tmp[l]].ans, type), l++;
        auto other = Bit.query(dp[tmp[r]].v, type);
        other.first++;
        Max(dp[tmp[r]].ans, other);
    }
    forn(i, L, l-1)Bit.clear(dp[tmp[i]].v, type);
    cdq(mid + 1, R, type);
}

int n;
set<int> ord;
int h[N], v[N];

inline void solve()
{
    cin >> n;
    forn(i, 1, n)
    {
        cin >> h[i] >> v[i];
        ord.insert(h[i]), ord.insert(v[i]);
    }
    for (const auto v : ord)mp[v] = ++idx;
    forn(i, 1, n)
    {
        h[i] = mp[h[i]], v[i] = mp[v[i]];
        dp1[i] = DP(h[i], v[i], pid(1, 1));
        dp2[n - i + 1] = DP(h[i], v[i], pid(1, 1));
    }
    cdq(1, n, Pre), cdq(1, n, Suf);
    pid ans;
    forn(i, 1, n)Max(ans, dp1[i].ans);
    auto [maxLen,cntAll] = ans;
    cout << maxLen << endl;
    cout << fixed << setprecision(5);
    forn(i, 1, n)
    {
        auto [pre,cnt1] = dp1[i].ans;
        auto [suf,cnt2] = dp2[n - i + 1].ans;
        cout << (pre + suf - 1 == maxLen ? cnt1 * cnt2 / cntAll : 0) << ' ';
    }
}

signed int main()
{
    // MyFile
    Spider
    //------------------------------------------------------
    // clock_t start = clock();
    int test = 1;
    //    read(test);
    // cin >> test;
    forn(i, 1, test)solve();
    //    while (cin >> n, n)solve();
    //    while (cin >> test)solve();
    // clock_t end = clock();
    // cerr << "time = " << double(end - start) / CLOCKS_PER_SEC << "s" << endl;
}

\[时间复杂度为:\ O(n\log^2{V_{max}}) \]