[更新中] CSP-J/S 2025 赛题重做与反思

前言

2025 年 11 月 14 日，CSP-J/S 第二轮正式出成绩（奖项）。

分数：

-J：\(100+100+60+40=300\text{pts}\)，
-S：\(25+0+25+0=50\text{pts}\)。

奖项：-J 1=，-S 3=。

第一部分 · CSP-J

T3 · 异或和 / xor

洛谷难度评级\(\textcolor{#FFC116}{\text{普及/提高-}}\)。

考场上想出来的是 \(60\text{pts}\) 的暴力递推做法。
显然是由于 TLE 而丢掉了后面 \(40\%\) 的测试点。

当然当时已经注意到了异或运算的一个性质即其逆运算为自身（由 \(a \oplus b = c\) 可推得 \(c \oplus a = b\)），但是当时并没有对这个性质深入思考。
容易发现，若我们枚举一个区间的右端点 \(r\)，其值为 \(f_r\)，则可以得到符合条件的左端点的值为 \(f_r \oplus k\)。
如果想到这一点，那么 AC 做法就呼之欲出了。

我们使用 \(\text{rf}_i\) 来表示值为 \(i\) 的当前最靠右的位置下标，则上述「符合条件的左端点」的下标即为 \(\text{rf}_{f_r \oplus k}\)。
于是又能想到使用一个变量 \(\text{pr}\) 记录上一个区间的右端点，遍历右端点 \(r\) 然后进行一系列简单操作。
具体操作过程略，看代码。

这样一来，就能很顺利地得到一个 AC 做法。

T4 · 多边形 / polygon

洛谷难度评级\(\textcolor{#FFC116}{\text{普及/提高-}}\)。

考场只想了前 \(40\%\) 测试点的暴力算法。当时并没有注意到后面测试点 \(15\sim 20\) 的 \(\displaystyle\max_{i = 1}^{n} {a_i} \le 1\) 的特殊性质，血亏 \(24\text{pts}\)。
然而容易发现这其实是一道相对简单的 DP，奈何我的 DP 学得差得没边。

注意到，对于一个多边形，我们所需的重要信息只有使用的木棍数量和使用的木棍长度最大值。

从使用的木棍长度最大值这个信息入手，考虑每根棍子作为最大值时的方案。

对 \(a_k\) 进行枚举（\(k \in [3, n]\)），当 \(a_k\) 作为棍子集合 \(\mathscr{X}=\{a_x, x \in [1, k]\}\) 的最大值时，题目所求可以转化为：

从 \(a_1, \dots,a_{k−1}\) 中选出若干木棍，使其长度和 \(>a_k\) 的方案数。

此时考虑定义状态 \(f_{i, j}\) 为当 \(i=k-1,j=a_k\) 时上述的方案数。

但是这时，状态转移方程的推导较不易，于是注意到此时状态和背包问题状态有点相似，于是考虑转化为标准的背包问题：
定义状态 \(f_{i, j}\) 为从 \(a_1, \dots,a_{i}\) 中选出若干木棍，使其长度和恰好 \(=j\) 的方案数。
这就变成了典型的背包计数问题。容易推导出转移方程：

\[f_{i,j} = \begin{cases} f_{i-1, j} & j < a_i \\ f_{i-1, j} + f_{i-1,j-a_i} & j \geq a_i \end{cases} \]

初始时令 \(f_{i,0}=1\)。

而（除去什么都不选的情况）总方案数为 \(2^{k-1}-1\)，减去所有 \(\leq a_k\) 的方案数之和之后，即为所求。
最后求出所有可行方案数的总和。

步骤如下：

1. 排序，预处理总方案数。
2. 背包计数，将 DP 状态数组的第二维设计为排序之后的 \(a_n\)。
3. 统计答案。

需要注意的是取模。注意最后输出时负数的取模处理，否则还会 WA 掉 4 个点。

于是耗费了许多精力，终于把一道黄的 DP 的正解敲出来了。看来我的 DP 急需恶补啊。

第二部分 · CSP-S

T1 · 社团招新 / club

洛谷难度评级\(\textcolor{#FFC116}{\text{普及/提高-}}\)。

考场上明明已经有贪心的想法了，但为什么不敢试试呢。既然有了思路就应当去尝试，更何况这样暴力的做法是正解。
于是血亏 \(75\text{pts}\)。

首先考虑所有人选择最满意的部门，如果符合条件那么一定最优。
接下来考虑不符合条件（即有部门人数大于 \(\displaystyle{\frac{n}{2}}\)）的情况。

不妨假设部门 \(1\) 的人数大于 \(\displaystyle{\frac{n}{2}}\)，则此时部门 \(2\) 和 \(3\) 的人数总和一定小于 \(\displaystyle{\frac{n}{2}}\)。
现在需要让部门 \(1\) 的部分人转到其他部门，则需要使损失的满意度之和尽量小。
于是排序、贪心直到部门 \(1\) 的人数恰好等于 \(\displaystyle{\frac{n}{2}}\)。
其他情况依此类推。

于是一份简单的 AC 代码就出来了。

T2 · 道路修复 / road

洛谷难度评级\(\textcolor{#3498DB}{\text{提高+/省选-}}\)。