特殊情况下的一类约瑟夫问题

不知道约瑟夫问题点这里

题干

数据全是随机生成的，显然可以暴力日过去。

\(\mathrm{O}(\log n)\) 递归做法

from OI-wiki

考虑到我们每次走 \(k\) 个删一个，那么在一圈以内我们可以删掉 \(\lfloor \frac{n}{k} \rfloor\) 个，然后剩下了\(n - \lfloor \frac{n}{k} \rfloor\) 个人。这时我们在第 \(\lfloor \frac{n}{k} \rfloor \times k\) 个人的位置上。而你发现这个东西它等于 \(n - n \mod k\) 。于是我们继续递归处理，算完后还原它的相对位置。

int josephus(int n, int k) {
  if (n == 1) return 0;
  if (k == 1) return n - 1;
  if (k > n) return (josephus(n - 1, k) + k) % n;
  int res = josephus(n - n / k, k);
  res -= n % k;
  if (res < 0)
    res += n;
  else
    res += res / (k - 1);
  return res;
}

正解

定义 \(J(n)\) 表示人数为 \(n\) 时幸存的编号。

先打个表

\(n\)	1	2	3	4	5	6
\(J(n)\)	1	1	3	1	3	5

显然没什么规律。

但是看到题目的递推标签了吗？

我们得到归纳法的基础。(众所周知归纳法有基础和归纳两部分，不会的自己去学)

\[\large J(1) = 1 \]

\(\alpha.\)

假设现在有 \(2n\) 人，对于第一轮：

出局的人编号为：\(2,4,6,8,\cdots ,2n\) 总计\(n\)人。

剩下的人编号为：\(1,3,5,7,\cdots,2n - 1\),总计\(n\)人。

现在任意的 \(J(2n)\) 情况等价于 \(J(n)\) 的情况。

考虑重编号：

\[\large \begin{aligned} & 1,3,5,7,\cdots,2n - 1\\ &1,2,3,4,\cdots,n \end{aligned} \]

很像一次函数的关系，拟合计算可得

\(y = 2x-1\) 这样一个关系式。

于是可知\(J(n)\)的结果就是\(J(2n)\)一轮后重编号的结果

于是

\[\large J(2n) = 2J(n) - 1,n \ge 1 \]

\(\beta.\)

假设现在有\(2n+1\)人，第二轮淘汰开始时正好把1号淘汰。

出局的人编号为：\(2,4,6,8,\cdots ,2n,1\)

剩下的人编号为：\(3,5,7,,9\cdots,2n + 1\)

可得关系式 \(y = 2x + 1\)

现在任意的 \(J(2n + 1)\) 情况等价于 \(J(n)\) 的情况。

于是

\[\large J(2n + 1) = 2J(n) + 1,n \ge 1 \]

综上，递推式为

\[\large \boxed{ \begin{aligned} &J(1) = 1\\ &J(2n) = 2J(n) - 1,n \ge 1\\ &J(2n + 1) = 2J(n) + 1,n \ge 1 \end{aligned} } \]

封闭形式

众所周知给你递推式就是用来解的，管你用什么方法。

显然第一次打表格局小了，现在按照 \(2\) 的幂来分一下块。

\(2^0\)	\(n\)	1
\(2^0\)	\(J(n)\)	1
\(2^1\)	\(n\)	2	3
\(2^1\)	\(J(n)\)	1	3
\(2^2\)	\(n\)	4	5	6	7
\(2^2\)	\(J(n)\)	1	3	5	7
\(2^3\)	\(n\)	8	9	10	11	12	13
\(2^3\)	\(J(n)\)	1	3	5	7	9	11

显然对于每一组内都有 \(f(t) = 2t + 1\)

定义 \(m \ge 0,l \in [0,2^m)\)

有

\[\large J(2^m + l) = 2l + 1 \]

证明

基础：

\(m = 0,l = 0\) 时,\(J(2^0 + 0) = J(1) = 1\)

归纳：

\(l = 0\) 时，\(J(n) = J(2^m + l) = J(2 ^ m) = 1\)

\[\large \begin{aligned} J(2^m) & = 2J(2^{m - 1} - 1) - 1\\ & = 2^2J(2^{m - 2}) - 3\\ & = 2^3J(2^{m - 3}) - 7\\ & = 2^mJ(1) - 2^m + 1 \end{aligned} \]

对于 \(2^m + l\) 为偶数时，

\[\large \begin{aligned} J(2^m + l) & = 2J(2 ^ {m - 1} + \frac{l}{2}) - 1\\ & = 2(\frac{2l}{2} + 1) - 1\\ & = 2l + 1 \end{aligned} \]

由

\[\large \begin{aligned} \alpha.J(2n) &= 2J(n) - 1\\ \beta.J(2n + 1) &= 2J(n) + 1 \end{aligned} \]

\(\alpha - \beta\) 得

\(J(2n + 1) - J(2n) = 2\)

于是对于奇数和偶数的 \(n\)

总是有：

\[\large \boxed{ \begin{aligned} m \ge 0,l \in [0,2^m) \\ J(2^m + l) = 2l + 1 \end{aligned} } \]

然后使用跑得飞快的 __builtin_clz() 就能求 $\log $ 了。