[bzoj1022][SHOI2008]小约翰的游戏 John (博弈论)

Description

小约翰经常和他的哥哥玩一个非常有趣的游戏:桌子上有n堆石子,小约翰和他的哥哥轮流取石子,每个人取的时候,可以随意选择一堆石子,在这堆石子中取走任意多的石子,但不能一粒石子也不取,我们规定取到最后一粒石子的人算输。小约翰相当固执,他坚持认为先取的人有很大的优势,所以他总是先取石子,而他的哥哥就聪明多了,他从来没有在游戏中犯过错误。小约翰一怒之下请你来做他的参谋。自然,你应该先写一个程序,预测一下谁将获得游戏的胜利。

Input

本题的输入由多组数据组成,第一行包括一个整数T,表示输入总共有T组数据(T≤500)。每组数据的第一行包括一个整数N(N≤50),表示共有N堆石子,接下来有N个不超过5000的整数,分别表示每堆石子的数目。

Output

每组数据的输出占一行,每行输出一个单词。如果约翰能赢得比赛,则输出“John”,否则输出“Brother”,请注意单词的大小写。

Sample Input

2
3
3 5 1
1
1

Sample Output

John
Brother

HINT

【数据规模】

对于40%的数据,T ≤ 250。

对于100%的数据,T ≤ 500。

Source

分析

      标准的博弈题的题面……

    看起来似乎很像Nim!游戏,只是这里的获胜条件与Nim恰好相反:“取到最后一粒石子的人算输”。我们可以从边界状态考虑:当石子只剩一堆时,若石子总数为1则为必败状态,若石子总数不为1则为必胜状态;当石子有多堆而每堆只有一枚石子时,若各堆石子的异或值为1则为必败状态,否则为必胜状态。

    类比Nim游戏的解法,我们发现每堆石子的SG值即为这堆石子的数量。那么我们就可以有这一结论:若各堆石子数量均为1,则SG值为0时是必胜状态。然而当各堆石子不全为1时情况却有所不同:首先,SG值为0时,若先手操作后将SG值变为了SG',根据SG定理中证明的结论,此时游戏中一定存在一个操作可以将SG值恢复为0;但如果先手操作后游戏中仅有一堆石子数量超过1,后手就拥有“将这堆石子取完”和“将这堆石子取到仅剩1个”这两种选择,而由前面的推论,这两种选择一定有一种会将先手送到必败状态中。亦即,状态为“游戏中各堆石子不全为1且SG值不为0”时,接下来要操作的一方占据主动地位。

     综上,若各堆石子全为1,则SG值为0时先手必胜;若各堆石子不全为1,则SG值不为0时先手必胜。我们还可以构造出先手必胜时的操作策略:各堆石子不全为1,且SG值不为0时,先手只需判断游戏中石子数不为1的堆的数量是否为1.若只有一堆石子数大于1,则先手应选择“将这堆全部取完”和“将这堆取到只剩1”这两种操作中能够使SG值得到1的操作;若不止一堆石子数大于1,则先手只需将游戏的SG值取到0即可。至于这种操作的可行性,大概在关于SG定理的论文中都可以找到吧。

 

 1 /**************************************************************
 2     Problem: 1022
 3     User: AsmDef
 4     Language: C++
 5     Result: Accepted
 6     Time:8 ms
 7     Memory:804 kb
 8 ****************************************************************/
 9  
10 /***********************************************************************/
11 /**********************By Asm.Def-Wu Jiaxin*****************************/
12 /***********************************************************************/
13 #include <cstdio>
14 #include <cstring>
15 #include <cstdlib>
16 #include <ctime>
17 #include <cctype>
18 #include <algorithm>
19 using namespace std;
20 FILE *in, *out;
21 #define SetFile(x) ( in = fopen(#x".in", "r"), out = fopen(#x".out", "w") )
22 #define SetIO(i, o) ( in = i, out = o )
23 #define getc() fgetc(in)
24 template<class T>inline void getd(T &x){
25     char ch = getc();bool neg = false;
26     while(!isdigit(ch) && ch != '-')ch = getc();
27     if(ch == '-')ch = getc(), neg = true;
28     x = ch - '0';
29     while(isdigit(ch = getc()))x = x * 10 - '0' + ch;
30     if(neg)x = -x;
31 }
32 /***********************************************************************/
33  
34 inline void init(){
35  
36 }
37  
38 inline void work(){
39     bool All1;
40     int SG, T, n, i, a;getd(T);
41     while(T--){
42         SG = 0, All1 = true;
43         getd(n);
44         for(i = 0;i < n;++i){
45             getd(a);
46             if(a > 1)All1 = false;
47             SG ^= a;
48         }
49         if(((All1) && !SG) || ((!All1) && SG))fprintf(out"John\n");
50         else fprintf(out"Brother\n");
51     }
52 }
53  
54 int main(){
55  
56 #ifdef DEBUG
57     SetIO(fopen("test.txt""r"), stdout);
58 #elif !defined ONLINE_JUDGE
59     SetFile();
60 #else
61     SetIO(stdin, stdout);
62 #endif
63     init();
64     work();
65  
66 #ifdef DEBUG
67     printf("\n%.2lf sec \n", (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC);
68 #endif
69     return 0;
70 }
博弈论
posted @ 2015-03-27 20:58  Asm.Definer  阅读(188)  评论(0编辑  收藏