刷题总结——火柴排队（NOIP2013）
题目：
题目背景
NOIP2013 提高组 Day1 试题
题目描述
涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列，同一列火柴的高度互不相同，两列火柴之间的距离定义为：
其中 ai 表示第一列火柴中第 i个火柴的高度，bi 表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。
每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。
输入格式
共三行，第一行包含一个整数 n，表示每盒中火柴的数目。
第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。
第三行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。
输出格式
输出共一行，包含一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。
样例数据 1
样例数据 2
备注
【样例1说明】
最小距离是 0，最少需要交换 1 次，比如：交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。
【样例2说明】
最小距离是 10，最少需要交换 2 次，比如：交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置，再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。
【数据范围】
对于 10% 的数据， 1≤n≤10；
对于 30% 的数据，1≤n≤100；
对于 60% 的数据，1≤n≤1,000；
对于 100% 的数据，1≤n≤100,000 ；0≤火柴高度≤231-1
题解:
这里引用ssoj官网题解：
贪心+逆序对。分析如下：
对距离公式化简得：
∑(ai-bi)2=∑(ai2-2aibi+bi2)=∑ai2+∑bi2-2∑aibi，要求∑(ai-bi)2最小，就只需要∑aibi最大即可。这里有个贪心，当 a1<a2<…<an ，b1<b2<…<bn时，∑aibi最大。
证明如下：
若存在a>b，c>d，且ac+bd<ad+bc，则a(c-d)<b(c-d)，则a<b，与a>b矛盾，所以若a>b，c>d，则ac+bd>ad+bc
将此式子进行推广：
当a1<a2<a3<…<an ，b1<b2<…<bn的情况下∑aibi最大，即∑(ai-bi)2最小。
然后，将两个序列分别排序，确定每对数的对应关系，明显，同时移动两个序列中的数等效于只移动一个序列中的数，移动的时候可以将一个火柴序列不动，只移动另外一个序列。
于是可以构造一个数组C，C[i]表示最初的第i个数应该移动到C[i]位置。于是问题转换成对C[i]数组排序，每次可以交换相邻两个数，问最少需要移动多少次的问题了，也就是求这个序列的逆序对数量的问题（这里用归并排序思想实现）。
例如：
对于数据：
4
1 3 4 2
1 7 2 4
先排序:
1 2 3 4
1 2 4 7
保持序列1不动，那么：
序列2中的“1”对应序列1中的位置1；
“7”对应序列1中的位置3；
“2”对应序列1中的位置4；
“4”对应序列1中的位置2，那么重定义数组c为：
这个序列：1 3 4 2 的逆序对数量是 2 ，即（3,2）和(4,2)，所以答案是 2。
md其实两个数组排序的位置一一对应时最小都已经想到了····那个逆序对竟然想不到···哎·····
代码：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cmath> #include<ctime> #include<cctype> #include<cstring> #include<string> #include<algorithm> using namespace std; const int N=1e5+5; const int mod=99999997; int n,c[N],temp[N]; long long ans=0; struct node { int w; int id; }a[N],b[N]; int R() { int f=0; char c; for(c=getchar();c<'0'||c>'9';c=getchar()); for(;c<='9'&&c>='0';c=getchar()) f=(f<<3)+(f<<1)+c-'0'; return f; } bool comp(node x,node y) { return x.w<y.w; } inline void merge(int x,int mid,int y) { int i=x,j=mid+1,head=x; while(i<=mid&&j<=y) { if(c[i]<=c[j]) temp[head++]=c[i++]; else { ans=(ans+mid-i+1)%mod; temp[head++]=c[j++]; } } while(i<=mid) temp[head++]=c[i++]; while(j<=y) temp[head++]=c[j++]; for(i=x;i<=y;i++) c[i]=temp[i]; } inline void mergesort(int a,int b) { if(a==b) return; int mid=(a+b)/2; mergesort(a,mid); mergesort(mid+1,b); merge(a,mid,b); } int main() { //freopen("a.in","r",stdin); n=R(); for(int i=1;i<=n;i++) { a[i].w=R(); a[i].id=i; } for(int i=1;i<=n;i++) { b[i].w=R(); b[i].id=i; } sort(a+1,a+n+1,comp); sort(b+1,b+n+1,comp); for(int i=1;i<=n;i++) c[b[i].id]=a[i].id; mergesort(1,n); cout<<ans<<endl; return 0; }
