数据结构学习笔记

左偏树（可并堆）

　　定义$dis_x$为$x$节点到最近的叶子节点的距离$+1$，每个节点的左儿子的$dis$比右儿子大，故每个节点的$dis=dis_rson+1$

　　核心操作：合并

//小根堆
int merge(int x, int y)//将y并到x的子树内
{
    if (!x || !y) return x | y;
    if (tr[x].val > tr[y].val) swap(x, y);//若y的值比x小则将y作为x的父亲，则交换，使x并到y的子树内
    tr[x].rs = merge(tr[x].rs, y);
    if (tr[tr[x].rs].dis > tr[tr[x].ls].dis) swap(tr[x].rs, tr[x].ls);//若不满足左偏树性质则交换使其满足
    tr[x].dis = tr[tr[x].rs].dis + 1;
    return x;
}

　　插入：

　　将$y$插入到$x$内$merge(x,y)&

　　删除任意节点：

　　将该节点的左右子节点合并即可

分块

　　基本思想：

　　对原数据进行适当划分，并在划分后的每一个块上预处理部分信息，从而较一般的暴力算法取得更优的时间复杂度

　　块状数组：

　　把一个数组分为几个块，块内信息整体保存，若查询时遇到两边不完整的块直接暴力查询

　　块状链表：

　　块状链表就是一个链表，每个节点指向一个数组。

　　把原来长度为 $n$ 的数组分为$\sqrt{n}$个节点，每个节点对应的数组大小为$\sqrt{n}$

　　分裂：

　　当一个块大小超过$2*\sqrt{n}$时执行分裂操作，将该块分裂成两个块（暴力删除copy）

　　插入或删除的块大小维护：

　　一开始就将$\sqrt{n}$设为一个定值，插入和删除时就不用改变块的大小

莫队：

　　基础莫队：

　　对于一个区间询问问题，若能从$[l,r]$以$O(1)$的复杂度扩展到$[l-1,r],[l+1,r],[l,r-1],[l,r+1]$，则可以在$O(n\sqrt{n})$内求出所有答案

　　模板

inline void move(int pos, int sign) 
{
  // update nowAns
}

void solve() 
{
  BLOCK_SIZE = int(ceil(pow(n, 0.5)));
  sort(querys, querys + m);
  for (int i = 0; i < m; ++i) 
  {
    const query &q = querys[i];
    while (l > q.l) move(--l, 1);
    while (r < q.r) move(r++, 1);
    while (l < q.l) move(l++, -1);
    while (r > q.r) move(--r, -1);
    ans[q.id] = nowAns;
  }
}

View Code

　　莫队优化：

　　奇偶化排序，对于属于奇数块的询问，$r$从大到小排序，对于属于偶数块的区间，$r$按从小到大排序（$unit$为块的大小）

struct node 
{
  int l, r, id;
  bool operator<(const node &x) const 
{
    if (l / unit != x.l / unit) return l < x.l;
    if ((l / unit) & 1)
      return r < x.r;  // 注意这里和下面一行不能写小于（大于）等于，否则会出错（详见下面的小细节）
    return r > x.r;
  }
};