二分图

二分图判定

二分图，可以把原图的点分为两个集合。对于图中的每一条边，边所连度两个点一定分属于不同的集合。依靠染色法进行二分图的判定，假设对于 \(1\) 染红色，则 \(1\) 所连的其他点都染蓝色。若发现两个点染的颜色相同，则该图不是二分图。

可以使用 DFS、BFS、并查集三种算法判定二分图。

并查集的好处：动态维护效率高。例如对于一张图一直加边，每加一条边就判定其是否是二分图，用并查集维护效率是最高的。

DFS Code

int color[maxn];
bool dfs(int i)
{
	for(int j:g[i])
	{
		if(color[j]==-1)
		{
			color[j]=color[i]^1;
			dfs(j);
		}
		else if(color[i]==color[j]) return false;
	}
	return true;
}
// memset(color,-1,sizeof(color));

BFS Code

bool bfs(int s)
{
	queue<int> q;
	q.push(s);
	color[s]=1;
	while(!q.empty())
	{
		int i=q.front();
		q.pop();
		for(int j:g[i])
		{
			if(color[j]==-1)
			{
				color[j]=color[i]^1;
				q.push(j);
			}
			else if(color[j]==color[i]) return false;
		}
	}
	return true;
}

DSU Code

敌对并查集（种类并查集）。

for(int i=1;i<=m;i++)
{
	if(judge(u[i],v[i]))
	{
		ans++;
		for(int j=last;j<=i;j++) p[u[j]]=u[j],p[v[j]]=v[j],p[u[j]+n]=u[j]+n,p[v[j]+n]=v[j]+n;
		last=i,merge(u[i],v[i]+n),merge(u[i]+n,v[i]);
	}
	else merge(u[i],v[i]+n),merge(u[i]+n,v[i]);
}

二分图匹配

二分图最大匹配

匹配

图 \(G\) 的一个匹配指对于图 \(G\) 的一个边集，边集中的每条边都不共享同一个顶点，即其中任意两条边在图 \(G\) 中均不相邻。

增广路

在给定一个匹配 \(M\) 的前提下，增广路是一条满足以下条件的路径：

• 起点和终点都是未匹配点，即都不属于当前匹配 \(M\) 中任何一个边的顶点。

• 路径中未匹配边和匹配边交替出现，且路径的第一条边和最后一条边均为未匹配边。

由此可得，增广路除首尾之外的点都是匹配点，且路径中未匹配边数量为 \(k\) 时，已匹配边数量为 \(k-1\)。路径中边度总数为奇数。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1007;
vector<int> g[maxn];
int n,m,mat[maxn];
bool vis[maxn];
bool dfs(int i)
{
	for(int j:g[i])
	{
		if(!vis[j])
		{
			vis[j]=true; // 标记 Y 部分 
			if(mat[j]==0||dfs(mat[j]))
			{
				mat[j]=i;
				return true;
			}
		} 
	}
	return false;
}
int hungary()
{
	int res=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		if(dfs(i)) res++;
	}
	return res;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int e; 
	cin>>n>>m>>e;
	for(int i=1;i<=e;i++)
	{
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		g[u].push_back(v+n);
	}
	cout<<hungary();
	return 0; 
}