第六章图--以下代码由C语言实现

王道学习

6.1 知识框架

6.2 图的基本概念

6.2.1 图的定义

注意：线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空图。就是说，图中不能一个顶点也没有，图的顶点集V一定非空，但边集E可以为空，此时图中只有顶点而没有边。
1、无向图、有向图

2、简单图、多重图

3、顶点的度--入度、出度

4、顶点--顶点的关系描述

5、连通图、强连通图

6、子图

7、连通分量

8、强连通分量

9、生成树

10、生成森林

11、边的权、带权图/网

12、几种特殊形态的图

6.2.2 本节试题精选

6.3 图的存储及基本操作

6.3.1 邻接矩阵法

数组实现的顺序存储，空间复杂度高，不适合存储稀疏图

注意：
（1）在简单应用中，可直接用二维数组作为图的邻接矩阵（顶点信息等均可省略）。
（2）当邻接矩阵中的元素仅表示相应的边是否存在时，EdgeType可定义为值为0和1的枚举类型。
（3）无向图的邻接矩阵是对称矩阵，对规模特大的邻接矩阵可采用压缩存储。
（4）邻接矩阵表示法的空间复杂度为O(n的平方)，其中n为图的顶点树|V|

6.3.2 邻接表法

图的邻接表存储方法具有一下特点：
（1）若G为无向图，则需要的存储空间为O(|V|+2|E|)；若G为有向图，则所需的存储空间为O(|V|+|E|)。前者的倍数2是由于无向图中，每条边在邻接表中出现了两次。
（2）对于稀疏图，采用邻接表表示将极大地节省存储空间。
（3）在邻接表中，给定一顶点，能很容易地找出它的所有邻边，因为只需要读取它的邻接表。在邻接矩阵中，相同的操作则需要扫描一行，花费的时间为O(n)。但是，若要确定给定的两个顶点建是否存在边，则在邻接矩阵中可以立刻查到，而在邻接表中则需要在相应结点对应的边表中查找另一结点，效率较低。
（4）在有向图的邻接表表示中，求一个给定顶点的出度只需计算其邻接表中的结点个数；但求其顶点的入度则需要遍历全部的邻接表。因此，也有人采用逆邻接表的存储方式来加速求解给定顶点的入度。当然，这实际上与邻接表存储方式是类似的。
（5）图的邻接表表示并不唯一，因为在每个顶点对应的单链表中，各边结点的链接次序可以是任意的，它取决于建立邻接表的算法及边输入的次序。

6.3.3 十字链表存储有向图

6.3.4 邻接多重表存储无向图

6.3.5 图的基本操作

6.3.6 本节试题精选

6.4 图的遍历

6.4.1 广度优先遍历--BFS

6.4.2 深度优先遍历--DFS

6.4.3 本节试题精选

6.5 图的应用

6.5.1 最小生成树

一个连通图的生成树包含图的所有顶点，并且只含尽可能少的边。对于生成树来说，若砍去它的一条边，则会使生成树变成非连通图；若给它增加一条边，则会形成图中的一条回路。

对于一个带权连通无向图G=(V,E)，生成树不同，每棵树的权（即树中所有边上的权值之和）也可能不同。设A为G的所有生成树的集合，若T为A中边的权值之和最小的那颗生成树，则T称为G的最小生成树（Minimum-Spanning-Tree，MST）。

不难看出，最小生成树具有如下性质：
1）最小生成树不是唯一的，即最小生成树的树形不唯一，A中可能有多个最小生成树。当图G中的各边权值互不相等时，G的最小生成树是唯一的；若无向连通图G的边数比顶点数少1，即G本身是一棵树时，则G的最小生成树就是它本身。
2）最小生成树的边的权值之和总是唯一的，虽然最小生成树不唯一，但其对应的边的权值之和总是唯一的，而且是最小的。
3）最小生成树的边数为顶点数减1。

Prim算法和Kruskal算法，都基于贪心算法的策略。

1、Prim算法

2、Kruskal算法