初等数论详解

初等数论详解

目录

• 第一章 绪论
• 第二章 整数的可除性
• 第三章 同余理论
• 第四章 数论函数
• 第五章 同余方程
• 第六章 二次剩余与二次互反律
• 第七章 原根与指标
• 第八章 连分数
• 第九章 不定方程
• 第十章 初等数论的应用

第一章 绪论

1.1 初等数论的定义与研究对象

初等数论（Elementary Number Theory）是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它是数论中最古老的分支，以算术方法为主要研究方法。初等数论的主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。

与初等数论相对的是解析数论（用解析方法研究数论）和代数数论（用代数结构方法研究数论）。

1.2 历史发展

初等数论已有超过2000年的历史。

古希腊时期：毕达哥拉斯是初等数论的先驱，他与他的学派致力于研究特殊整数（如亲和数、完全数、多边形数）及特殊不定方程。公元前4世纪，欧几里得的《几何原本》通过102个命题初步建立了整数的整除理论。欧几里得关于“素数有无穷多个”的证明被认为是数学证明的典范。公元前250年，埃拉托塞尼发明了著名的埃拉托斯特尼筛法。

近代发展：费马、欧拉、高斯等数学家对初等数论的发展作出了重大贡献。高斯称二次互反律为“算术中的宝石”。

1.3 数论中的基本符号

在初等数论中，我们通常默认所讨论的“数”属于整数集 \(\mathbb{Z}\)。以下是常用的数集符号：

符号	含义
\(\mathbb{Z}\)	整数集
\(\mathbb{N}\)	自然数集（正整数集）
\(\mathbb{Z}^+\)	正整数集
\(\mathbb{Q}\)	有理数集
\(\mathbb{R}\)	实数集
\(\mathbb{C}\)	复数集

1.4 取整函数

取整函数（也称地板函数、高斯函数）是初等数论中一个基本的数论函数。

定义：对任意实数 \(x\)，定义其整数部分为不超过 \(x\) 的最大整数，记作 \([x]\)。

小数部分定义为 \(\{x\} := x - [x] \in [0, 1)\)。

于是有：

\[x = [x] + \{x\} \]

取整函数有以下重要性质：

1. \([x] \leqslant x < [x] + 1\)
2. \([x+n] = [x] + n\)（\(n \in \mathbb{Z}\)）
3. \([x] + [y] \leqslant [x+y] \leqslant [x] + [y] + 1\)

取整函数在带余除法、数论函数的计算等方面有广泛应用。

第二章 整数的可除性

整数的可除性理论是初等数论的基础。本章从带余除法出发，建立整除、最大公因子、素数等核心概念，并证明算术基本定理。

2.1 整除的概念

定义 2.1（整除） ：设 \(a, b\) 是整数，\(b \neq 0\)。如果存在整数 \(q\)，使得

\[a = bq \]

成立，则称 \(b\) 整除 \(a\)，或称 \(a\) 被 \(b\) 整除。此时 \(a\) 是 \(b\) 的倍数，\(b\) 是 \(a\) 的因数（约数或除数）。记作：

\[b \mid a \]

如果不存在这样的整数 \(q\)，则称 \(b\) 不整除 \(a\)，记作 \(b \nmid a\)。

注意：在整除的定义中，除数 \(b\) 不能为 0，但被除数 \(a\) 可以为 0。事实上，对于任意非零整数 \(b\)，都有 \(b \mid 0\)（因为 \(0 = b \cdot 0\)）。

2.2 整除的基本性质

性质 2.1（传递性） ：如果 \(c \mid b\) 且 \(b \mid a\)，那么 \(c \mid a\)。

证明：由 \(b \mid a\) 知存在整数 \(q_1\) 使 \(a = bq_1\)；由 \(c \mid b\) 知存在整数 \(q_2\) 使 \(b = cq_2\)。于是 \(a = c(q_2q_1)\)，故 \(c \mid a\)。

性质 2.2：如果 \(b \mid a\) 且 \(c \neq 0\)，那么 \(bc \mid ac\)。

证明：由 \(b \mid a\) 知存在整数 \(q\) 使 \(a = bq\)，于是 \(ac = (bc)q\)，故 \(bc \mid ac\)。

性质 2.3（线性组合） ：如果 \(c \mid a\) 且 \(c \mid b\)，那么对任意整数 \(m, n\)，有

\[c \mid ma + nb \]

证明：由 \(c \mid a\) 知 \(a = cq_1\)，由 \(c \mid b\) 知 \(b = cq_2\)。于是 \(ma + nb = c(mq_1 + nq_2)\)，故 \(c \mid ma + nb\)。

性质 2.4：如果 \(b \mid a\) 且 \(a \mid b\)，那么 \(a = b\) 或 \(a = -b\)。

证明：由 \(b \mid a\) 知 \(a = bq_1\)，由 \(a \mid b\) 知 \(b = aq_2\)。于是 \(a = aq_1q_2\)。若 \(a \neq 0\)，则 \(q_1q_2 = 1\)，故 \(q_1 = q_2 = 1\) 或 \(q_1 = q_2 = -1\)，即 \(a = b\) 或 \(a = -b\)。若 \(a = 0\)，则 \(b = 0\)，同样有 \(a = b\)。

性质 2.5：\(|a|\) 和 \(a\) 的所有因数都相同，因此讨论因数时可以只就正整数来讨论。

2.3 带余除法

带余除法是初等数论证明中最基本、最常用的工具。

定理 2.1（带余除法） ：设 \(a, b \in \mathbb{Z}\)，且 \(b \neq 0\)，则存在唯一的整数 \(q, r \in \mathbb{Z}\)，使得

\[a = bq + r, \quad 0 \leqslant r < |b| \]

其中 \(q\) 称为不完全商，\(r\) 称为最小非负余数，也简称为余数，常记作 \(\langle a \rangle_b\) 或 \(a \bmod b\)。

证明：

存在性：考虑整数序列

\[\cdots, -2|b|, -|b|, 0, |b|, 2|b|, \cdots \]

\(a\) 必在上述序列的某相邻两项之间。不妨假定

\[q|b| \leqslant a < (q+1)|b| \]

于是 \(0 \leqslant a - q|b| < |b|\)。令 \(r = a - q|b|\)，则 \(0 \leqslant r < |b|\)。因此，当 \(b > 0\) 时，有 \(a = bq + r\)；当 \(b < 0\) 时，有 \(a = b(-q) + r\)。

唯一性：假设存在另外一组 \(q', r' \in \mathbb{Z}\) 使得

\[a = bq' + r', \quad 0 \leqslant r' < |b| \]

则有

\[-|b| < r - r' = b(q' - q) < |b| \]

因此 \(b(q' - q) = 0\)，从而 \(r - r' = 0\)，即 \(q' = q\)，\(r' = r\)。

例 2.1：当 \(a = 17, b = 5\) 时，\(17 = 5 \times 3 + 2\)，\(q = 3, r = 2\)。
当 \(a = -17, b = 5\) 时，\(-17 = 5 \times (-4) + 3\)，\(q = -4, r = 3\)。

2.4 最大公因子

定义 2.2（最大公因子） ：设 \(a, b\) 是整数，不全为 0。能同时整除 \(a\) 和 \(b\) 的最大正整数称为 \(a\) 与 \(b\) 的最大公因子（Greatest Common Divisor），记作 \((a, b)\) 或 \(\gcd(a, b)\)。

定义 2.3（互素） ：若 \((a, b) = 1\)，则称 \(a\) 与 \(b\) 互素（互质）。

最大公因子有以下基本性质：

性质 2.6：\((a, b) = (|a|, |b|)\)。

性质 2.7：\((a, b) = (b, a)\)。

性质 2.8：\((a, b) = (a, b + ka)\) 对任意整数 \(k\) 成立。

性质 2.9：若 \(d = (a, b)\)，则 \(\left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d}\right) = 1\)。

2.5 辗转相除法（欧几里得算法）

辗转相除法是求最大公因子的经典算法，其理论基础是带余除法。

算法 2.1（辗转相除法） ：设 \(a, b\) 是正整数，\(a > b\)。反复应用带余除法：

\[a = bq_1 + r_1, \quad 0 < r_1 < b \]

\[b = r_1q_2 + r_2, \quad 0 < r_2 < r_1 \]

\[r_1 = r_2q_3 + r_3, \quad 0 < r_3 < r_2 \]

\[\cdots \]

\[r_{n-2} = r_{n-1}q_n + r_n, \quad 0 < r_n < r_{n-1} \]

\[r_{n-1} = r_n q_{n+1} \]

则 \((a, b) = r_n\)，即最后一个非零余数。

定理 2.2（辗转相除法定理） ：辗转相除法中最后一个非零余数即为 \(a\) 和 \(b\) 的最大公因子。

2.6 Bézout 定理

定理 2.3（Bézout 定理） ：设 \(a, b\) 是整数，\((a, b) = d\)，则存在整数 \(x, y\)，使得

\[ax + by = d \]

特别地，若 \((a, b) = 1\)，则存在整数 \(x, y\) 使得

\[ax + by = 1 \]

证明：由辗转相除法逆向回代即可得到。

推论 2.1：\((a, b) = 1\) 当且仅当存在整数 \(x, y\) 使得 \(ax + by = 1\)。

证明：必要性由 Bézout 定理直接得到。充分性：若 \(ax + by = 1\)，则任何同时整除 \(a\) 和 \(b\) 的整数 \(d\) 都整除 \(1\)，故 \(d = \pm 1\)，即 \((a, b) = 1\)。

2.7 最小公倍数

定义 2.4（最小公倍数） ：设 \(a, b\) 是非零整数。能同时被 \(a\) 和 \(b\) 整除的最小正整数称为 \(a\) 与 \(b\) 的最小公倍数（Least Common Multiple），记作 \([a, b]\) 或 \(\operatorname{lcm}(a, b)\)。

定理 2.4：对于任意正整数 \(a, b\)，有

\[(a, b) \cdot [a, b] = ab \]

2.8 素数

定义 2.5（素数） ：一个大于 1 的正整数，如果它的正因数只有 1 和它本身，则称它为素数（质数）。否则称为合数。

定义 2.6（素因子） ：若素数 \(p\) 整除整数 \(a\)，则称 \(p\) 为 \(a\) 的一个素因子。

引理 2.1：每一个大于 1 的正整数至少有一个素因子。

定理 2.5（欧几里得定理） ：素数有无穷多个。

证明（反证法）：假设素数只有有限个，设为 \(p_1, p_2, \cdots, p_n\)。考虑数

\[N = p_1p_2 \cdots p_n + 1 \]

\(N\) 大于 1，由引理 2.1，\(N\) 有一个素因子 \(p\)。若 \(p\) 是 \(p_1, p_2, \cdots, p_n\) 中的某一个，则 \(p \mid p_1p_2 \cdots p_n\)，又 \(p \mid N\)，所以 \(p \mid (N - p_1p_2 \cdots p_n) = 1\)，矛盾。因此 \(p\) 不在 \(p_1, p_2, \cdots, p_n\) 中，与假设矛盾。故素数有无穷多个。

2.9 埃拉托斯特尼筛法

埃拉托斯特尼筛法是寻找不超过给定整数 \(N\) 的所有素数的古老算法。

算法步骤：

1. 列出从 2 到 \(N\) 的所有整数。
2. 从最小的素数 2 开始，划去所有 2 的倍数（不包括 2 本身）。
3. 取下一个未被划去的数，划去它的所有倍数。
4. 重复步骤 3，直到处理完所有不超过 \(\sqrt{N}\) 的数。
5. 未被划去的数即为不超过 \(N\) 的所有素数。

2.10 算术基本定理

算术基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）是初等数论中最核心的定理之一，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。最早由欧几里得给出证明。

定理 2.6（算术基本定理） ：任何大于 1 的正整数 \(n\) 都可以唯一地表示成有限个素数的乘积（不计顺序）。即

\[n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k} \]

其中 \(p_1 < p_2 < \cdots < p_k\) 是素数，\(\alpha_i \geqslant 1\) 是正整数。这种表示称为 \(n\) 的素因子分解（或标准分解式）。

证明：

存在性（用归纳法）：设 \(S\) 为所有不能表示成素数乘积的大于 1 的整数组成的集合。假设 \(S\) 非空，取其中最小的数 \(n\)。若 \(n\) 是素数，则 \(n\) 可表示为自身的乘积，矛盾。故 \(n\) 是合数，\(n = ab\)，其中 \(1 < a < n, 1 < b < n\)。由 \(n\) 的最小性，\(a\) 和 \(b\) 都可表示成素数的乘积，于是 \(n\) 也可表示成素数的乘积，矛盾。因此 \(S\) 为空，存在性得证。

唯一性：假设 \(n\) 有两种不同的素因子分解：

\[n = p_1p_2 \cdots p_r = q_1q_2 \cdots q_s \]

由于 \(p_1 \mid n = q_1q_2 \cdots q_s\)，由素数的性质（若素数整除乘积，则整除某个因子），\(p_1\) 必等于某个 \(q_j\)。约去 \(p_1\) 后继续此过程，可得 \(r = s\) 且两个分解相同（不计顺序）。

推论 2.2：若 \(n\) 的标准分解式为 \(n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}\)，则 \(n\) 的正因数个数为

\[d(n) = (\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1) \cdots (\alpha_k + 1) \]

推论 2.3：若 \(n\) 的标准分解式为 \(n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}\)，则 \(n\) 的所有正因数之和为

\[\sigma(n) = \frac{p_1^{\alpha_1+1} - 1}{p_1 - 1} \cdot \frac{p_2^{\alpha_2+1} - 1}{p_2 - 1} \cdots \frac{p_k^{\alpha_k+1} - 1}{p_k - 1} \]

推论 2.4：若 \(a = \prod p_i^{\alpha_i}\)，\(b = \prod p_i^{\beta_i}\)（允许 \(\alpha_i, \beta_i\) 为 0），则

\[(a, b) = \prod p_i^{\min(\alpha_i, \beta_i)} \]

\[[a, b] = \prod p_i^{\max(\alpha_i, \beta_i)} \]

2.11 \(p\) 进制表示

定理 2.7（\(p\) 进制表示的唯一性） ：设 \(p > 1\) 是正整数，则任意正整数 \(n\) 可以唯一地表示为

\[n = a_k p^k + a_{k-1} p^{k-1} + \cdots + a_1 p + a_0 \]

其中 \(0 \leqslant a_i < p\)，\(a_k \neq 0\)。

当 \(p = 10\) 时，这就是通常的十进制表示。当 \(p = 2\) 时，是二进制表示。

第三章 同余理论

同余概念是初等数论最重要的组成部分之一。同余一词可以解释为“余数相同”。

3.1 同余的基本概念

定义 3.1（同余） ：给定一个正整数 \(m\)，把它叫做模（modulus）。如果用 \(m\) 去除任意两个整数 \(a\) 与 \(b\) 所得的余数相同，我们就说 \(a, b\) 对模 \(m\) 同余，记作：

\[a \equiv b \pmod{m} \]

如果余数不同，就说 \(a, b\) 对模 \(m\) 不同余，记作 \(a \not\equiv b \pmod{m}\)。

例 3.1：\(17 \equiv 2 \pmod{5}\)，因为 \(17\) 和 \(2\) 除以 \(5\) 都余 \(2\)。

定理 3.1（同余的充要条件） ：整数 \(a, b\) 对模 \(m\) 同余的充分必要条件是 \(m \mid a - b\)。

证明：设

\[a = mq_1 + r_1, \quad b = mq_2 + r_2, \quad 0 \leqslant r_1 < m, \quad 0 \leqslant r_2 < m \]

若 \(a \equiv b \pmod{m}\)，则 \(r_1 = r_2\)，因此 \(a - b = m(q_1 - q_2)\)。

反之，若 \(m \mid a - b\)，则 \(m \mid m(q_1 - q_2) + (r_1 - r_2)\)，因此 \(m \mid r_1 - r_2\)。但 \(|r_1 - r_2| < m\)，故 \(r_1 - r_2 = 0\)，即 \(r_1 = r_2\)。

3.2 同余的基本性质

由定义可直接得到同余关系是等价关系（满足自反性、对称性、传递性）：

性质 3.1（自反性） ：\(a \equiv a \pmod{m}\)。

性质 3.2（对称性） ：若 \(a \equiv b \pmod{m}\)，则 \(b \equiv a \pmod{m}\)。

性质 3.3（传递性） ：若 \(a \equiv b \pmod{m}\)，\(b \equiv c \pmod{m}\)，则 \(a \equiv c \pmod{m}\)。

同余与相等类似，满足以下运算性质：

性质 3.4（加法） ：若 \(a_1 \equiv b_1 \pmod{m}\)，\(a_2 \equiv b_2 \pmod{m}\)，则

\[a_1 + a_2 \equiv b_1 + b_2 \pmod{m} \]

性质 3.5（减法） ：若 \(a + b \equiv c \pmod{m}\)，则 \(a \equiv c - b \pmod{m}\)。

性质 3.6（乘法） ：若 \(a_1 \equiv b_1 \pmod{m}\)，\(a_2 \equiv b_2 \pmod{m}\)，则

\[a_1 a_2 \equiv b_1 b_2 \pmod{m} \]

特别地，若 \(a \equiv b \pmod{m}\)，则 \(a^n \equiv b^n \pmod{m}\)。

性质 3.7：若 \(a \equiv b \pmod{m}\)，\(d \mid m\)，则 \(a \equiv b \pmod{d}\)。

性质 3.8：若 \(a \equiv b \pmod{m}\) 且 \(c \neq 0\)，则 \(ac \equiv bc \pmod{mc}\)。

注意：同余式两边不能随意约去公因子。若 \(ac \equiv bc \pmod{m}\)，则 \(a \equiv b \pmod{m/(c,m)}\)。

3.3 剩余类与剩余系

定义 3.2（剩余类） ：对模 \(m\) 同余的所有整数组成一个剩余类（同余类）。即

\[\overline{a} = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x \equiv a \pmod{m} \} \]

模 \(m\) 共有 \(m\) 个不同的剩余类。

定义 3.3（完全剩余系） ：从模 \(m\) 的每个剩余类中各取一个数组成的集合称为模 \(m\) 的一个完全剩余系。例如 \(\{0, 1, 2, \cdots, m-1\}\) 是最常用的完全剩余系。

定义 3.4（既约剩余类） ：若 \((a, m) = 1\)，则称剩余类 \(\overline{a}\) 为模 \(m\) 的一个既约剩余类（或简化剩余类）。

定义 3.5（既约剩余系） ：从模 \(m\) 的每个既约剩余类中各取一个数组成的集合称为模 \(m\) 的一个既约剩余系（简化剩余系）。

定义 3.6（欧拉函数） ：\(\varphi(m)\) 表示模 \(m\) 的既约剩余类的个数，也等于 \(1, 2, \cdots, m\) 中与 \(m\) 互素的数的个数。

3.4 欧拉函数的计算

定理 3.2：设 \(m\) 的标准分解式为 \(m = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}\)，则

\[\varphi(m) = m \prod_{i=1}^k \left(1 - \frac{1}{p_i}\right) = \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i-1}(p_i - 1) \]

证明：利用容斥原理。在 \(1\) 到 \(m\) 中，能被 \(p_i\) 整除的数有 \(m/p_i\) 个，能被 \(p_i p_j\) 整除的数有 \(m/(p_i p_j)\) 个，等等。由容斥原理：

\[\varphi(m) = m - \sum_i \frac{m}{p_i} + \sum_{i<j} \frac{m}{p_i p_j} - \cdots = m \prod_{i=1}^k \left(1 - \frac{1}{p_i}\right) \]

推论 3.1：若 \((m, n) = 1\)，则 \(\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)\)（欧拉函数是积性函数）。

例 3.2：\(\varphi(12) = 12 \times (1 - 1/2) \times (1 - 1/3) = 12 \times 1/2 \times 2/3 = 4\)。实际上，\(1, 5, 7, 11\) 是与 12 互素的数。

3.5 欧拉定理

定理 3.3（欧拉定理） ：若 \(n, a\) 为正整数，且 \((a, n) = 1\)，则

\[a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n} \]

这是数论四大定理之一。

证明：设 \(r_1, r_2, \cdots, r_{\varphi(n)}\) 是模 \(n\) 的一个既约剩余系。因为 \((a, n) = 1\)，所以 \(ar_1, ar_2, \cdots, ar_{\varphi(n)}\) 也是模 \(n\) 的一个既约剩余系。因此

\[ar_1 \cdot ar_2 \cdots ar_{\varphi(n)} \equiv r_1 r_2 \cdots r_{\varphi(n)} \pmod{n} \]

即

\[a^{\varphi(n)} \cdot (r_1 r_2 \cdots r_{\varphi(n)}) \equiv r_1 r_2 \cdots r_{\varphi(n)} \pmod{n} \]

由于 \((r_1 r_2 \cdots r_{\varphi(n)}, n) = 1\)，可约去，得

\[a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n} \]

3.6 费马小定理

定理 3.4（费马小定理） ：若 \(p\) 是素数，且 \((a, p) = 1\)，则

\[a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \]

这是欧拉定理在模为素数时的特例，也是数论四大定理之一。

证明：当模 \(m\) 为素数 \(p\) 时，\(\varphi(p) = p - 1\)，代入欧拉定理即得。

推论 3.2：若 \(p\) 是素数，则对任意整数 \(a\)，有

\[a^p \equiv a \pmod{p} \]

证明：若 \(p \mid a\)，则两边都是 0；若 \(p \nmid a\)，由费马小定理 \(a^{p-1} \equiv 1\)，两边乘以 \(a\) 即得。

3.7 威尔逊定理

定理 3.5（威尔逊定理） ：\(p\) 可整除 \((p-1)! + 1\) 是 \(p\) 为质数的充要条件。即

\[(p-1)! \equiv -1 \pmod{p} \]

这是数论四大定理之一。

证明：

必要性：若 \(p\) 是素数，取集合 \(A = \{1, 2, 3, \cdots, p-1\}\)，它构成模 \(p\) 乘法的缩系。考虑方程 \(x^2 \equiv 1 \pmod{p}\)，解得 \(x \equiv 1\) 或 \(x \equiv p-1 \pmod{p}\)。其余元素两两配对，每对乘积为 \(1\)。故

\[(p-1)! \equiv 1 \cdot (p-1) \equiv -1 \pmod{p} \]

充分性：若 \(p\) 不是素数。当 \(p = 4\) 时，\((p-1)! \equiv 6 \equiv 2 \pmod{4}\)。当 \(p > 4\) 时，若 \(p\) 不是完全平方数，则存在两个不相等的因数 \(a, b\) 使得 \(ab = p\)，于是 \((p-1)! \equiv 0 \pmod{p}\)；若 \(p\) 是完全平方数 \(p = k^2\)，因为 \(p > 4\)，所以 \(k > 2\)，\(k, 2k < p\)，于是 \((p-1)! \equiv 0 \pmod{p}\)。矛盾，故 \(p\) 必须是素数。

3.8 中国剩余定理

中国剩余定理（又称孙子定理、秦九韶定理）是数论四大定理之一。

定理 3.6（中国剩余定理） ：设 \(m_1, m_2, \cdots, m_k\) 是两两互素的正整数，\(a_1, a_2, \cdots, a_k\) 是任意整数。则同余方程组

\[\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod{m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod{m_2} \\ \cdots \\ x \equiv a_k \pmod{m_k} \end{cases}\]

有唯一解模 \(M = m_1 m_2 \cdots m_k\)。

证明：令 \(M_i = M / m_i\)。由于 \((M_i, m_i) = 1\)，存在 \(y_i\) 使得

\[M_i y_i \equiv 1 \pmod{m_i} \]

令

\[x = \sum_{i=1}^k a_i M_i y_i \]

则对每个 \(i\)，\(x \equiv a_i M_i y_i \equiv a_i \pmod{m_i}\)（因为当 \(j \neq i\) 时，\(m_i \mid M_j\)）。唯一性由模 \(M\) 的同余类决定。

第四章 数论函数

数论函数是定义在正整数集上的函数。

4.1 积性函数

定义 4.1（积性函数） ：若数论函数 \(f\) 满足：对任意互素的正整数 \(m, n\)，都有

\[f(mn) = f(m)f(n) \]

则称 \(f\) 为积性函数。若对任意 \(m, n\)（不必互素）都有该性质，则称为完全积性函数。

4.2 除数函数

定义 4.2（除数函数） ：\(d(n)\)（或 \(\tau(n)\)）表示正整数 \(n\) 的正因数的个数。

定理 4.1：若 \(n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}\)，则

\[d(n) = (\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1) \cdots (\alpha_k + 1) \]

4.3 除数和函数

定义 4.3（除数和函数） ：\(\sigma(n)\) 表示正整数 \(n\) 的所有正因数之和。

定理 4.2：若 \(n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}\)，则

\[\sigma(n) = \frac{p_1^{\alpha_1+1} - 1}{p_1 - 1} \cdot \frac{p_2^{\alpha_2+1} - 1}{p_2 - 1} \cdots \frac{p_k^{\alpha_k+1} - 1}{p_k - 1} \]

例 4.1：\(n = 12 = 2^2 \times 3\)，\(d(12) = (2+1)(1+1) = 6\)（因数为 \(1, 2, 3, 4, 6, 12\)），\(\sigma(12) = (1+2+4)(1+3) = 7 \times 4 = 28\)。

4.4 欧拉函数

欧拉函数 \(\varphi(n)\) 已在第三章中定义。它是积性函数。

4.5 莫比乌斯函数

定义 4.4（莫比乌斯函数） ：\(\mu(n)\) 定义为

\[\mu(n) = \begin{cases} 1, & n = 1 \\ (-1)^k, & n = p_1 p_2 \cdots p_k \text{（$k$ 个不同素数的乘积）} \\ 0, & n \text{ 有平方因子} \end{cases}\]

定理 4.3（莫比乌斯反演公式） ：若 \(F(n) = \sum_{d \mid n} f(d)\)，则

\[f(n) = \sum_{d \mid n} \mu(d) F\left(\frac{n}{d}\right) \]

4.6 一些重要的求和公式

定理 4.4：\(\sum_{d \mid n} \varphi(d) = n\)。

定理 4.5：\(\sum_{d \mid n} \mu(d) = \begin{cases} 1, & n = 1 \\ 0, & n > 1 \end{cases}\)。

第五章 同余方程

同余方程是初等数论的重要内容，与解代数方程类似。

5.1 同余方程的基本概念

定义 5.1（同余方程） ：设 \(f(x)\) 是整系数多项式

\[f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 \]

\(m\) 是正整数，则

\[f(x) \equiv 0 \pmod{m} \]

叫做模 \(m\) 的同余方程。若 \(a_n \not\equiv 0 \pmod{m}\)，则 \(n\) 称为同余方程的次数。

定义 5.2（同余方程的解） ：若整数 \(a\) 使 \(f(a) \equiv 0 \pmod{m}\) 成立，则 \(x \equiv a \pmod{m}\) 叫做同余方程的一个解。也就是说，把对模 \(m\) 同余的所有整数算作同一个解。

5.2 一次同余方程

定理 5.1：一次同余方程

\[ax \equiv b \pmod{m}, \quad a \not\equiv 0 \pmod{m} \]

有解的充分必要条件是 \((a, m) \mid b\)。

证明：\(ax \equiv b \pmod{m}\) 有解等价于 \(ax - my = b\) 有整数解。由 Bézout 定理，这等价于 \((a, m) \mid b\)。

定理 5.2：设 \(d = (a, m)\)。若 \(d \mid b\)，则同余方程 \(ax \equiv b \pmod{m}\) 有 \(d\) 个解：

\[x \equiv x_0 + k \cdot \frac{m}{d} \pmod{m}, \quad k = 0, 1, \cdots, d-1 \]

其中 \(x_0\) 是任意一个特解。

例 5.1：解 \(6x \equiv 9 \pmod{15}\)。\((6, 15) = 3\)，\(3 \mid 9\)，所以有 3 个解。先解 \(2x \equiv 3 \pmod{5}\)，得 \(x \equiv 4 \pmod{5}\)。所以解为 \(x \equiv 4, 9, 14 \pmod{15}\)。

5.3 同余方程组

定理 5.3（中国剩余定理） ：已在第三章中给出。

5.4 高次同余方程

定理 5.4（拉格朗日定理） ：设 \(p\) 是素数，\(f(x)\) 是 \(n\) 次整系数多项式，\(p \nmid a_n\)（首项系数不被 \(p\) 整除），则同余方程

\[f(x) \equiv 0 \pmod{p} \]

至多有 \(n\) 个解。

证明：用归纳法。当 \(n = 1\) 时显然成立。假设 \(n-1\) 次时成立。若 \(f(x) \equiv 0 \pmod{p}\) 有 \(n+1\) 个不同的解 \(x_1, x_2, \cdots, x_{n+1}\)，则

\[f(x) - f(x_1) = (x - x_1) g(x) \]

其中 \(g(x)\) 是 \(n-1\) 次多项式。对 \(i = 2, 3, \cdots, n+1\)，\(p \mid f(x_i) - f(x_1) = (x_i - x_1)g(x_i)\)。由于 \(x_i \not\equiv x_1 \pmod{p}\)，所以 \(p \mid g(x_i)\)，即 \(g(x) \equiv 0 \pmod{p}\) 有 \(n\) 个不同的解，与归纳假设矛盾。

5.5 Hensel 引理

定理 5.5（Hensel 引理） ：设 \(f(x)\) 是整系数多项式，\(p\) 是素数。若 \(a\) 是 \(f(x) \equiv 0 \pmod{p^k}\) 的一个解，且 \(f'(a) \not\equiv 0 \pmod{p}\)，则 \(f(x) \equiv 0 \pmod{p^{k+1}}\) 有唯一解 \(b\) 满足 \(b \equiv a \pmod{p^k}\)。

Hensel 引理是将模素数幂的同余方程的解“提升”到更高幂次的关键工具。

第六章 二次剩余与二次互反律

6.1 二次剩余的基本概念

定义 6.1（二次剩余） ：设 \(m\) 是正整数，\((a, m) = 1\)。若同余方程

\[x^2 \equiv a \pmod{m} \]

有解，则称 \(a\) 为模 \(m\) 的二次剩余（平方剩余）；若无解，则称 \(a\) 为模 \(m\) 的二次非剩余（平方非剩余）。

高斯称二次剩余理论为“算术中的宝石”。

6.2 模素数的二次剩余

定理 6.1：设 \(p\) 是奇素数。在模 \(p\) 的既约剩余系 \(1, 2, \cdots, p-1\) 中，二次剩余和二次非剩余各有 \((p-1)/2\) 个。

证明：考虑 \(1^2, 2^2, \cdots, ((p-1)/2)^2 \pmod{p}\)。由于当 \(1 \leqslant i < j \leqslant (p-1)/2\) 时，\(i^2 \not\equiv j^2 \pmod{p}\)（否则 \(p \mid (j-i)(j+i)\)，但 \(0 < j-i < p\)，\(0 < j+i < p\)），所以这 \((p-1)/2\) 个数两两不同余，它们都是二次剩余。另一方面，任意 \(a^2\) 都与其中某个数的平方同余，所以没有其他的二次剩余。

定理 6.2（欧拉判别法） ：设 \(p\) 是奇素数，\((a, p) = 1\)，则：

1. \(a\) 是模 \(p\) 的二次剩余 \(\iff\) \(a^{(p-1)/2} \equiv 1 \pmod{p}\)
2. \(a\) 是模 \(p\) 的二次非剩余 \(\iff\) \(a^{(p-1)/2} \equiv -1 \pmod{p}\)

证明：由费马小定理 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\)，所以 \(a^{(p-1)/2} \equiv \pm 1 \pmod{p}\)。若 \(a \equiv x^2 \pmod{p}\)，则 \(a^{(p-1)/2} \equiv x^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\)。反之，若 \(a^{(p-1)/2} \equiv 1\)，考虑多项式 \(x^{(p-1)/2} - a\) 在 \(\mathbb{F}_p\) 中的根，可证明 \(a\) 是二次剩余。

6.3 勒让德符号

定义 6.2（勒让德符号） ：设 \(p\) 是奇素数，\((a, p) = 1\)。定义勒让德符号

\[\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} 1, & a \text{ 是模 } p \text{ 的二次剩余} \\ -1, & a \text{ 是模 } p \text{ 的二次非剩余} \end{cases}\]

勒让德符号的基本性质：

性质 6.1：\(\left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{(p-1)/2} \pmod{p}\)（欧拉判别法）。

性质 6.2：若 \(a \equiv b \pmod{p}\)，则 \(\left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)\)。

性质 6.3：\(\left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)\)。

性质 6.4：\(\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{(p-1)/2}\)。即 \(\left(\frac{-1}{p}\right) = 1\) 当 \(p \equiv 1 \pmod{4}\)，\(\left(\frac{-1}{p}\right) = -1\) 当 \(p \equiv 3 \pmod{4}\)。

性质 6.5：\(\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{(p^2-1)/8}\)。即 \(\left(\frac{2}{p}\right) = 1\) 当 \(p \equiv \pm 1 \pmod{8}\)，\(\left(\frac{2}{p}\right) = -1\) 当 \(p \equiv \pm 3 \pmod{8}\)。

6.4 二次互反律

定理 6.3（高斯二次互反律） ：设 \(p, q\) 是不同的奇素数，则

\[\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}} \]

等价地

\[\left(\frac{p}{q}\right) = \begin{cases} \left(\frac{q}{p}\right), & p \equiv 1 \pmod{4} \text{ 或 } q \equiv 1 \pmod{4} \\ -\left(\frac{q}{p}\right), & p \equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}\]

这是初等数论中最深刻的定理之一，高斯称它为“算术中的宝石”，并给出了多个证明。

例 6.1：计算 \(\left(\frac{3}{5}\right)\)。\(3 \equiv 3 \pmod{4}\)，\(5 \equiv 1 \pmod{4}\)，所以 \(\left(\frac{3}{5}\right) = \left(\frac{5}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right) = -1\)（因为 \(3 \equiv 3 \pmod{8}\)）。所以 3 是模 5 的二次非剩余。

6.5 雅可比符号

定义 6.3（雅可比符号） ：设 \(n\) 是正奇数，\(n = p_1 p_2 \cdots p_k\)（不要求 \(p_i\) 互不相同）。对任意整数 \(a\)，定义雅可比符号

\[\left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{a}{p_1}\right)\left(\frac{a}{p_2}\right) \cdots \left(\frac{a}{p_k}\right) \]

雅可比符号是勒让德符号的推广。当 \(n\) 为素数时，雅可比符号就是勒让德符号。

雅可比符号的性质：

性质 6.6：若 \(a \equiv b \pmod{n}\)，则 \(\left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{b}{n}\right)\)。

性质 6.7：\(\left(\frac{ab}{n}\right) = \left(\frac{a}{n}\right)\left(\frac{b}{n}\right)\)。

性质 6.8：\(\left(\frac{-1}{n}\right) = (-1)^{(n-1)/2}\)。

性质 6.9：\(\left(\frac{2}{n}\right) = (-1)^{(n^2-1)/8}\)。

性质 6.10（二次互反律的推广） ：若 \((m, n) = 1\) 且 \(m, n\) 都是正奇数，则

\[\left(\frac{m}{n}\right)\left(\frac{n}{m}\right) = (-1)^{\frac{m-1}{2} \cdot \frac{n-1}{2}} \]

第七章 原根与指标

7.1 阶的概念

定义 7.1（阶） ：设 \((a, m) = 1\)。使得

\[a^d \equiv 1 \pmod{m} \]

成立的最小正整数 \(d\) 称为 \(a\) 对模 \(m\) 的阶（order），记作 \(\operatorname{ord}_m(a)\)。

定理 7.1（阶的性质） ：

1. \(\operatorname{ord}_m(a) \mid \varphi(m)\)。
2. 若 \(a^k \equiv 1 \pmod{m}\)，则 \(\operatorname{ord}_m(a) \mid k\)。
3. 若 \(\operatorname{ord}_m(a) = d\)，则 \(\operatorname{ord}_m(a^t) = d / (d, t)\)。

证明：由欧拉定理 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1\)，所以阶存在且整除 \(\varphi(m)\)。

7.2 原根

定义 7.2（原根） ：若 \(\operatorname{ord}_m(a) = \varphi(m)\)，则称 \(a\) 为模 \(m\) 的一个原根（primitive root）。

如果模 \(m\) 存在原根，则模 \(m\) 的既约剩余系构成一个循环群。

定理 7.2：模 \(m\) 存在原根当且仅当 \(m = 1, 2, 4, p^\alpha, 2p^\alpha\)，其中 \(p\) 是奇素数，\(\alpha \geqslant 1\)。

定理 7.3：若 \(g\) 是模 \(m\) 的原根，则

\[\{ g^0, g^1, g^2, \cdots, g^{\varphi(m)-1} \} \]

构成模 \(m\) 的一个既约剩余系。

7.3 指标

定义 7.3（指标） ：设 \(g\) 是模 \(m\) 的原根。若

\[a \equiv g^k \pmod{m}, \quad 0 \leqslant k < \varphi(m) \]

则称 \(k\) 为 \(a\) 对模 \(m\) 以 \(g\) 为底的指标（index），记作 \(k = \operatorname{ind}_g(a)\)。

指标的性质（类似对数）：

1. \(\operatorname{ind}_g(ab) \equiv \operatorname{ind}_g(a) + \operatorname{ind}_g(b) \pmod{\varphi(m)}\)
2. \(\operatorname{ind}_g(a^n) \equiv n \cdot \operatorname{ind}_g(a) \pmod{\varphi(m)}\)

指标将模 \(m\) 的乘法运算转化为模 \(\varphi(m)\) 的加法运算，是研究同余方程的有力工具。

第八章 连分数

连分数是初等数论的重要组成部分，其研究内容包括连分数的收敛、最佳有理逼近、二次数的连分数展开等。

8.1 连分数的基本概念

定义 8.1（连分数） ：形如

\[a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cdots}}} \]

的表达式称为连分数。可简记为

\[[a_0; a_1, a_2, a_3, \cdots] \]

其中 \(a_0 \in \mathbb{Z}\)，\(a_i \in \mathbb{Z}^+\)（\(i \geqslant 1\)）时称为简单连分数。

定义 8.2（有限连分数与无限连分数） ：若连分数只有有限项，称为有限连分数；若有无限项，称为无限连分数。

8.2 渐近分数

定义 8.3（渐近分数） ：设连分数为 \([a_0; a_1, a_2, \cdots]\)，定义

\[p_{-2} = 0, \quad p_{-1} = 1, \quad q_{-2} = 1, \quad q_{-1} = 0 \]

\[p_n = a_n p_{n-1} + p_{n-2}, \quad q_n = a_n q_{n-1} + q_{n-2} \]

则 \(\frac{p_n}{q_n}\) 称为第 \(n\) 个渐近分数（convergent）。

定理 8.1：有限简单连分数对应一个有理数。即任意有理数都可以唯一地表示成有限简单连分数。

定理 8.2：无限简单连分数对应一个无理数。反之，任意无理数都可以唯一地表示成无限简单连分数。

8.3 循环连分数

定义 8.4（循环连分数） ：若连分数从某一项开始周期性地重复，称为循环连分数。

定理 8.3（拉格朗日定理） ：一个实数的连分数展开是循环的当且仅当这个数是二次无理数（即一个整系数二次方程的根）。

定理 8.4（伽罗瓦连分数定理） ：二次无理数的连分数展开具有对称性。

8.4 连分数与 Pell 方程

连分数在求解 Pell 方程中有重要应用。

Pell 方程：形如

\[x^2 - Dy^2 = 1 \]

其中 \(D\) 是非平方的正整数。

定理 8.5：Pell 方程 \(x^2 - Dy^2 = 1\) 有无穷多组正整数解。所有解可由 \(\sqrt{D}\) 的连分数展开的渐近分数给出。

定理 8.6：设 \(\sqrt{D}\) 的连分数展开的周期长度为 \(l\)。若 \(l\) 为偶数，则 \(x^2 - Dy^2 = 1\) 的基本解为第 \(l-1\) 个渐近分数；若 \(l\) 为奇数，则基本解为第 \(2l-1\) 个渐近分数。

第九章 不定方程

不定方程（丢番图方程）是指未知数个数多于方程个数的整数方程。

9.1 一次不定方程

定理 9.1：二元一次不定方程

\[ax + by = c \]

有整数解的充分必要条件是 \((a, b) \mid c\)。

若 \((a, b) = d\) 且 \(d \mid c\)，则方程的所有整数解为

\[x = x_0 + \frac{b}{d}t, \quad y = y_0 - \frac{a}{d}t, \quad t \in \mathbb{Z} \]

其中 \((x_0, y_0)\) 是任意一个特解。

9.2 勾股方程

定理 9.2（勾股方程的通解） ：方程

\[x^2 + y^2 = z^2 \]

的所有正整数解（本原解，即 \((x, y) = 1\)）为

\[x = m^2 - n^2, \quad y = 2mn, \quad z = m^2 + n^2 \]

其中 \(m > n > 0\)，\((m, n) = 1\)，且 \(m, n\) 一奇一偶。

9.3 Pell 方程

已在第八章中讨论。

9.4 费马大定理

定理 9.3（费马大定理） ：方程

\[x^n + y^n = z^n \]

当 \(n > 2\) 时没有正整数解。

这是数论中最著名的问题之一，由安德鲁·怀尔斯于1994年证明。

第十章 初等数论的应用

10.1 在密码学中的应用

初等数论是现代密码学的基础。

RSA 算法：基于大整数分解的困难性。

1. 选择两个大素数 \(p, q\)，计算 \(n = pq\)，\(\varphi(n) = (p-1)(q-1)\)。
2. 选择 \(e\) 使得 \((e, \varphi(n)) = 1\)。
3. 计算 \(d\) 使得 \(ed \equiv 1 \pmod{\varphi(n)}\)。
4. 公钥为 \((n, e)\)，私钥为 \(d\)。
5. 加密：\(c \equiv m^e \pmod{n}\)。
6. 解密：\(m \equiv c^d \pmod{n}\)。

RSA 的安全性依赖于：即使知道 \(n\) 和 \(e\)，在没有 \(p, q\) 的情况下也难以计算 \(d\)。

10.2 在检验整除中的应用

同余理论可用于快速判断一个数能否被另一个数整除。

例如：

• 一个数能被 3 整除 \(\iff\) 各位数字之和能被 3 整除。
• 一个数能被 9 整除 \(\iff\) 各位数字之和能被 9 整除。
• 一个数能被 11 整除 \(\iff\) 奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被 11 整除。

这些都可以用同余理论证明。

10.3 在循环小数中的应用

欧拉定理和费马小定理可用于研究循环小数的性质。

定理 10.1：若 \((a, m) = 1\)，则分数 \(a/m\) 的小数部分从某位开始循环，循环节长度整除 \(\varphi(m)\)。特别地，若 \(m\) 是素数，循环节长度整除 \(m-1\)。

附录：重要公式与定理汇总

A.1 整除与带余除法

名称	公式
带余除法	\(a = bq + r,\; 0 \leqslant r < |b|\)
整除定义	\(b \mid a \iff \exists q \in \mathbb{Z},\; a = bq\)

A.2 最大公因子与最小公倍数

名称	公式
Bézout 定理	\((a, b) = d \implies \exists x, y,\; ax + by = d\)
互素条件	\((a, b) = 1 \iff \exists x, y,\; ax + by = 1\)
最大公因子与最小公倍数	\((a, b) \cdot [a, b] = ab\)

A.3 算术基本定理

名称	公式
素因子分解	\(n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}\)
因数个数	\(d(n) = \prod (\alpha_i + 1)\)
因数和	\(\sigma(n) = \prod \frac{p_i^{\alpha_i+1} - 1}{p_i - 1}\)

A.4 同余

名称	公式
同余定义	\(a \equiv b \pmod{m} \iff m \mid a - b\)
欧拉函数	\(\varphi(n) = n \prod_{p \mid n} (1 - 1/p)\)
欧拉定理	\((a, n) = 1 \implies a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\)
费马小定理	\(p\) 为素数，\((a, p) = 1 \implies a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\)
威尔逊定理	\(p\) 为素数 \(\iff (p-1)! \equiv -1 \pmod{p}\)
中国剩余定理	\(x \equiv a_i \pmod{m_i}\) 有唯一解模 \(\prod m_i\)

A.5 二次剩余

名称	公式
欧拉判别法	\(\left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{(p-1)/2} \pmod{p}\)
二次互反律	\(\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}\)

A.6 数论函数

名称	公式
莫比乌斯反演	\(F(n) = \sum_{d \mid n} f(d) \iff f(n) = \sum_{d \mid n} \mu(d) F(n/d)\)
欧拉求和	\(\sum_{d \mid n} \varphi(d) = n\)
莫比乌斯求和	\(\sum_{d \mid n} \mu(d) = [n = 1]\)

A.7 不定方程

名称	公式
一次不定方程	\(ax + by = c\) 有解 \(\iff (a, b) \mid c\)
勾股方程	\(x = m^2 - n^2,\; y = 2mn,\; z = m^2 + n^2\)
Pell 方程	\(x^2 - Dy^2 = 1\)

参考文献

1. 闵嗣鹤, 严士健. 初等数论（第二版）[M]. 高等教育出版社, 1983.
2. 潘承洞, 潘承彪. 初等数论[M]. 北京大学出版社.
3. 方江学. 数论基础[M]. 高等教育出版社, 2024.
4. Kenneth H. Rosen. 初等数论及其应用（第5版）[M]. 机械工业出版社.
5. 甘志国. 初等数学研究（Ⅰ）[M].