代数数论详解

代数数论详解

目录

• 第一章 绪论
• 第二章 数域与代数整数
• 第三章 迹、范与判别式
• 第四章 代数整数环
• 第五章 Dedekind整环与素理想分解
• 第六章 理想类群与类数
• 第七章 Dirichlet单位定理
• 第八章 数域扩张中的素理想分解
• 第九章 分歧理论
• 第十章 赋值论与p进数
• 第十一章 局部域
• 第十二章 二次域与分圆域
• 第十三章 Dedekind zeta函数与类数公式
• 第十四章 阿代尔与伊代尔
• 第十五章 类域论导引
• 附录：重要定理与公式汇总

第一章 绪论

1.1 代数数论的定义

代数数论（Algebraic Number Theory）是数论的一个分支，在这个分支中，“数”的概念被延伸到代数数上，以解决具体的数论问题。代数数论的核心研究对象是代数数域（即有理数域的有限扩张）及其上的代数整数环。

代数数论起源于19世纪数学家试图证明费马大定理的过程。当时数学家们发现，在一般的代数数域中，整数特有的算术基本定理（唯一因子分解）不再成立。这一发现催生了理想理论——通过将分解的对象从“数”转向“理想”，重建了唯一分解的秩序。

1.2 代数数论与初等数论的关系

初等数论研究有理整数 \(\mathbb{Z}\) 的性质，而代数数论将这些研究推广到更一般的数域中。代数数论依赖的数学工具远比初等数论丰富，包括：

• 伽罗瓦理论（Galois theory）
• 交换代数（commutative algebra）
• 群表示论（group representation theory）
• L函数理论（L-function theory）
• 调和分析（harmonic analysis）

代数数论不仅自身是数论的核心分支，还为代数几何、算术几何和现代密码学提供了理论基础。

1.3 代数数论的历史发展

• 19世纪：库默尔（Ernst Kummer）为证明费马大定理引入了理想数的概念；戴德金（Richard Dedekind）将其发展为系统的理想理论；克罗内克（Leopold Kronecker）发展了代数数域理论。
• 19世纪末：亨泽尔（Kurt Hensel）于1897年首创p进数理论。
• 20世纪初：希尔伯特（David Hilbert）发展了分歧理论；高木贞治建立了类域论的雏形。
• 20世纪中期：谢瓦莱（Claude Chevalley）引入阿代尔（Adèle）和伊代尔（Idèle）的概念，将类域论完全算术化。
• 20世纪后期至今：朗兰兹纲领（Langlands Program）将代数数论与表示论、代数几何统一起来。

1.4 预备知识

学习代数数论需要以下预备知识：

1. 抽象代数：群、环、域的基本理论；伽罗瓦理论
2. 交换代数：模论、Noether环、局部化
3. 初等数论：同余理论、二次剩余

本书在必要时会回顾相关概念。

第二章 数域与代数整数

2.1 数域的定义

定义 2.1（数域） ：数域（number field）是有理数域 \(\mathbb{Q}\) 的有限扩张（finite extension），即一个包含 \(\mathbb{Q}\) 的域 \(K\)，使得 \(K\) 作为 \(\mathbb{Q}\)-向量空间的维数有限。

这个维数称为数域 \(K\) 的次数（degree），记作 \([K : \mathbb{Q}]\)。

例 2.1：

• \(\mathbb{Q}\) 本身是次数为 1 的数域。
• \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q} \}\) 是次数为 2 的数域（二次域）。
• \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\) 是次数为 3 的数域（三次域）。
• \(\mathbb{Q}(\zeta_n)\)（其中 \(\zeta_n\) 是 \(n\) 次本原单位根）是次数为 \(\varphi(n)\) 的数域（分圆域）。

2.2 代数数

定义 2.2（代数数） ：一个复数 \(\alpha \in \mathbb{C}\) 称为代数数（algebraic number），如果存在一个非零的有理系数多项式 \(f(x) \in \mathbb{Q}[x]\) 使得 \(f(\alpha) = 0\)。

不是代数数的复数称为超越数（transcendental number）。

定理 2.1：一个数 \(\alpha\) 是代数数当且仅当 \(\mathbb{Q}(\alpha)\) 是数域。

定义 2.3（极小多项式） ：设 \(\alpha\) 是代数数。在 \(\mathbb{Q}[x]\) 中首项系数为 1 且以 \(\alpha\) 为根的次数最低的非零多项式称为 \(\alpha\) 的极小多项式（minimal polynomial），记作 \(m_{\alpha}(x)\)。

极小多项式具有以下性质：

1. \(m_{\alpha}(x)\) 在 \(\mathbb{Q}[x]\) 中不可约。
2. 任何以 \(\alpha\) 为根的有理系数多项式都被 \(m_{\alpha}(x)\) 整除。
3. \(m_{\alpha}(x)\) 是唯一的。

2.3 代数整数

定义 2.4（代数整数） ：一个代数数 \(\alpha\) 称为代数整数（algebraic integer），如果它的极小多项式是首一整系数多项式（即最高次项系数为 1，所有系数都是整数）。

换句话说，\(\alpha\) 是某个首一整系数多项式的根：

\[x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, \quad a_i \in \mathbb{Z} \]

例 2.2：

• 通常的有理整数 \(\mathbb{Z}\) 都是代数整数（因为 \(n\) 是 \(x - n\) 的根）。
• \(\sqrt{2}\) 是代数整数（\(x^2 - 2 = 0\) 的根）。
• \(\frac{1}{2}\) 不是代数整数（它的极小多项式是 \(2x - 1\)，不是首一的）。
• \(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) 是代数整数（\(x^2 - x - 1 = 0\) 的根）。

定理 2.2：有理数 \(\alpha \in \mathbb{Q}\) 是代数整数当且仅当 \(\alpha \in \mathbb{Z}\)。

证明：若 \(\alpha = p/q \in \mathbb{Q}\)（\(p, q\) 互素，\(q > 0\)）是代数整数，则存在首一整系数多项式

\[x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0 = 0 \]

以 \(\alpha\) 为根。代入 \(\alpha = p/q\) 并乘以 \(q^n\)，得

\[p^n + a_{n-1}p^{n-1}q + \cdots + a_0 q^n = 0 \]

因此 \(q \mid p^n\)，由于 \((p, q) = 1\)，必须有 \(q = 1\)。故 \(\alpha \in \mathbb{Z}\)。

2.4 代数整数的基本性质

性质 2.1：代数整数的和、差、积仍然是代数整数。因此，所有代数整数构成一个环，称为代数整数环（ring of algebraic integers）。

性质 2.2：若 \(\alpha\) 是代数整数，则 \(\alpha\) 的共轭元（即极小多项式的所有根）也都是代数整数。

性质 2.3：若 \(\alpha\) 是代数整数且 \(\alpha \neq 0\)，则 \(1/\alpha\) 是代数整数当且仅当 \(\alpha\) 是单位根（即存在 \(n\) 使得 \(\alpha^n = 1\)）。

2.5 整闭包

定义 2.5（整闭包） ：设 \(A \subset B\) 是两个环。\(B\) 中所有在 \(A\) 上为整的元素（即满足某个首一 \(A\)-系数多项式的元素）的集合称为 \(A\) 在 \(B\) 中的整闭包（integral closure）。

定理 2.3：设 \(K\) 是数域，则 \(K\) 中所有代数整数构成的环 \(\mathcal{O}_K\) 是 \(\mathbb{Z}\) 在 \(K\) 中的整闭包。

定理 2.4：\(\mathcal{O}_K\) 是整闭的（integrally closed），即 \(\mathcal{O}_K\) 在其分式域 \(K\) 中的整闭包就是它本身。

2.6 数域作为向量空间

设 \(K\) 是次数为 \(n\) 的数域。则 \(K\) 作为 \(\mathbb{Q}\)-向量空间是 \(n\) 维的。

定义 2.6（基） ：如果 \(\{ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \} \subset K\) 是 \(K\) 作为 \(\mathbb{Q}\)-向量空间的基，则称它为 \(K\) 的一个基。

定理 2.5：每个数域 \(K\) 都有一组由代数整数组成的基。

这样的基称为整基（integral basis）。整基的存在性将在后续章节中讨论。

第三章 迹、范与判别式

迹（trace）和范（norm）是代数数论中最基本的不变量，它们是研究数域扩张的核心工具。

3.1 迹与范的定义

设 \(K\) 是数域，\([K : \mathbb{Q}] = n\)。对任意 \(\alpha \in K\)，考虑 \(\mathbb{Q}\)-线性变换

\[T_\alpha : K \to K, \quad x \mapsto \alpha x \]

定义 3.1（迹） ：\(\alpha\) 的迹（trace）定义为线性变换 \(T_\alpha\) 的迹，记作

\[\operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha) \]

定义 3.2（范） ：\(\alpha\) 的范（norm）定义为线性变换 \(T_\alpha\) 的行列式，记作

\[\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha) \]

3.2 用共轭表示迹与范

设 \(K = \mathbb{Q}(\theta)\)，\(\theta\) 的极小多项式为

\[m_\theta(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0 \]

设 \(\theta_1 = \theta, \theta_2, \cdots, \theta_n\) 是 \(m_\theta(x)\) 的所有复根（即 \(\theta\) 的所有共轭元）。则 \(K\) 到 \(\mathbb{C}\) 的嵌入共有 \(n\) 个：

\[\sigma_i : K \to \mathbb{C}, \quad \theta \mapsto \theta_i \]

定理 3.1：对任意 \(\alpha \in K\)，

\[\operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha) = \sum_{i=1}^n \sigma_i(\alpha) \]

\[\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha) = \prod_{i=1}^n \sigma_i(\alpha) \]

3.3 迹与范的基本性质

性质 3.1（线性性） ：迹是 \(\mathbb{Q}\)-线性的：

\[\operatorname{Tr}(\alpha + \beta) = \operatorname{Tr}(\alpha) + \operatorname{Tr}(\beta) \]

\[\operatorname{Tr}(c\alpha) = c \operatorname{Tr}(\alpha), \quad c \in \mathbb{Q} \]

性质 3.2（乘性） ：范是乘性的：

\[\operatorname{N}(\alpha\beta) = \operatorname{N}(\alpha)\operatorname{N}(\beta) \]

性质 3.3（传递性） ：若 \(L \supset K \supset \mathbb{Q}\) 是数域的塔，则

\[\operatorname{Tr}_{L/\mathbb{Q}}(\alpha) = \operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha)) \]

\[\operatorname{N}_{L/\mathbb{Q}}(\alpha) = \operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\operatorname{N}_{L/K}(\alpha)) \]

性质 3.4：对 \(\alpha \in \mathcal{O}_K\)，\(\operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha) \in \mathbb{Z}\) 且 \(\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha) \in \mathbb{Z}\)。

性质 3.5：\(\alpha \in \mathcal{O}_K\) 是单位（即存在 \(\beta \in \mathcal{O}_K\) 使得 \(\alpha\beta = 1\)）当且仅当

\[\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha) = \pm 1 \]

证明：若 \(\alpha\) 是单位，则 \(\operatorname{N}(\alpha)\operatorname{N}(\alpha^{-1}) = \operatorname{N}(1) = 1\)。由于 \(\operatorname{N}(\alpha), \operatorname{N}(\alpha^{-1}) \in \mathbb{Z}\)，故 \(\operatorname{N}(\alpha) = \pm 1\)。反之，若 \(\operatorname{N}(\alpha) = \pm 1\)，则 \(\alpha^{-1} = \pm\)（\(\alpha\) 的共轭元之积的某种组合）是代数整数，故 \(\alpha\) 是单位。

3.4 判别式

定义 3.3（判别式） ：设 \(\{ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \}\) 是数域 \(K\) 的一组基。定义其判别式（discriminant）为

\[\Delta(\alpha_1, \cdots, \alpha_n) = \det(\operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha_i \alpha_j))_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \]

定理 3.2：若 \(\{ \alpha_i \}\) 和 \(\{ \beta_i \}\) 是 \(K\) 的两组基，且 \(\beta_i = \sum_j c_{ij} \alpha_j\)（\(c_{ij} \in \mathbb{Q}\)），则

\[\Delta(\beta_1, \cdots, \beta_n) = (\det(c_{ij}))^2 \Delta(\alpha_1, \cdots, \alpha_n) \]

推论 3.1：判别式在基变换下乘以一个有理数的平方。因此，判别式的符号和素因子（除平方因子外）是基的不变量。

3.5 域的判别式

定义 3.4（域的判别式） ：设 \(\{ \alpha_1, \cdots, \alpha_n \}\) 是数域 \(K\) 的一组整基（即 \(\mathcal{O}_K\) 作为 \(\mathbb{Z}\)-模的基），则 \(\Delta(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)\) 称为数域 \(K\) 的判别式（discriminant），记作 \(\Delta_K\)。

由定理 3.2 的推论，\(\Delta_K\) 与整基的选取无关，是数域 \(K\) 的重要不变量。

定理 3.3：\(\Delta_K\) 是一个非零整数。若 \(K\) 有 \(r_1\) 个实嵌入和 \(2r_2\) 个复嵌入，则 \(\operatorname{sgn}(\Delta_K) = (-1)^{r_2}\)。

3.6 判别式的几何意义

判别式的一个重要几何意义与闵可夫斯基嵌入（Minkowski embedding）相关。将 \(K\) 嵌入到 \(\mathbb{R}^{r_1} \times \mathbb{C}^{r_2} \cong \mathbb{R}^{r_1 + 2r_2}\) 中，\(\mathcal{O}_K\) 的像是该空间中的一个格（lattice），其基本区域的体积为

\[\operatorname{vol}(\mathbb{R}^{r_1 + 2r_2} / \mathcal{O}_K) = 2^{-r_2} \sqrt{|\Delta_K|} \]

这个几何观点在证明类数有限性和Dirichlet单位定理时至关重要。

3.7 Hilbert定理90

定理 3.4（Hilbert定理90） ：设 \(L/K\) 是有限伽罗瓦扩张，伽罗瓦群为 \(G\)。则

\[H^1(G, L^\times) = 0 \]

等价地，若 \(\alpha \in L\) 满足 \(\operatorname{N}_{L/K}(\alpha) = 1\)，则存在 \(\beta \in L^\times\) 使得 \(\alpha = \beta / \sigma(\beta)\)，其中 \(\sigma\) 是 \(G\) 的某个生成元。

这是代数数论中一个重要的上同调结果，在类域论中有广泛应用。

第四章 代数整数环

4.1 代数整数环的定义

定义 4.1（代数整数环） ：设 \(K\) 是数域。\(K\) 中所有代数整数构成的集合称为 \(K\) 的代数整数环（ring of algebraic integers）或整数环（ring of integers），记作 \(\mathcal{O}_K\)。

定理 4.1：\(\mathcal{O}_K\) 是一个整环（integral domain），且 \(K\) 是 \(\mathcal{O}_K\) 的分式域（field of fractions）。

4.2 整数环的基本性质

性质 4.1：\(\mathcal{O}_K\) 作为 \(\mathbb{Z}\)-模是有限生成的（finitely generated）。更精确地说，\(\mathcal{O}_K\) 是一个秩为 \([K : \mathbb{Q}]\) 的自由 \(\mathbb{Z}\)-模。

这意味着 \(\mathcal{O}_K\) 存在一组整基。

性质 4.2：\(\mathcal{O}_K\) 是Noether环（Noetherian ring）。

性质 4.3：\(\mathcal{O}_K\) 中每个非零素理想都是极大理想（maximal ideal）。因此 \(\mathcal{O}_K\) 的Krull维数为 1。

性质 4.4：\(\mathcal{O}_K\) 是整闭的（integrally closed）。

4.3 几个具体数域的整数环

例 4.1（二次域） ：设 \(K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})\)，其中 \(d\) 是无平方因子的整数。

• 若 \(d \equiv 2, 3 \pmod{4}\)，则 \(\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt{d}] = \{ a + b\sqrt{d} \mid a, b \in \mathbb{Z} \}\)。
• 若 \(d \equiv 1 \pmod{4}\)，则 \(\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}\left[\frac{1 + \sqrt{d}}{2}\right] = \left\{ a + b\frac{1 + \sqrt{d}}{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \right\}\)。

例 4.2（分圆域） ：设 \(K = \mathbb{Q}(\zeta_n)\)，其中 \(\zeta_n\) 是 \(n\) 次本原单位根。则

\[\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\zeta_n] \]

这是一个重要结论：分圆域的整数环就是由单位根生成的 \(\mathbb{Z}\)-模。

例 4.3（纯三次域） ：设 \(K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{m})\)，其中 \(m\) 是无立方因子的整数。则

\[\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt[3]{m}] \]

当且仅当 \(m \not\equiv \pm 1 \pmod{9}\)；否则需要加入其他元素。

4.4 整数环的模结构

定理 4.2（Steinitz-Kaplansky定理） ：设 \(L/K\) 是数域的扩张，\([L : K] = n\)。则作为 \(\mathcal{O}_K\)-模，

\[\mathcal{O}_L \cong \mathcal{O}_K^{n-1} \oplus \mathfrak{a} \]

其中 \(\mathfrak{a}\) 是 \(\mathcal{O}_K\) 的一个理想。

这个定理说明，\(\mathcal{O}_L\) 作为 \(\mathcal{O}_K\)-模是投射模（projective module），但不一定是自由的。\(\mathfrak{a}\) 的理想类由扩张 \(L/K\) 唯一决定。

特别地，当 \(\mathcal{O}_K\) 是主理想整环（PID）时，\(\mathcal{O}_L\) 作为 \(\mathcal{O}_K\)-模是自由的。

第五章 Dedekind整环与素理想分解

5.1 唯一分解性的失效

在有理整数环 \(\mathbb{Z}\) 中，算术基本定理保证了每个整数都能唯一地分解为素数的乘积。然而，在一般的代数整数环中，这一性质可能失效。

例 5.1：考虑 \(K = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})\)，\(\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\)。在 \(\mathcal{O}_K\) 中，

\[6 = 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5}) \]

这四个因子 \(2, 3, 1+\sqrt{-5}, 1-\sqrt{-5}\) 都是 \(\mathcal{O}_K\) 中的不可约元（irreducible elements），但彼此不关联（即不互为单位的倍数）。因此，\(\mathcal{O}_K\) 不是唯一因子分解整环（UFD）。

这一现象的发现促使库默尔和戴德金发展了理想理论。

5.2 Dedekind整环的定义

定义 5.1（Dedekind整环） ：一个整环 \(R\) 称为Dedekind整环（Dedekind domain），如果它满足以下三个条件：

1. Noether性：\(R\) 是 Noether 环。
2. 整闭性：\(R\) 在其分式域中是整闭的。
3. 维数 1：\(R\) 的每个非零素理想都是极大理想。

定理 5.1：数域 \(K\) 的整数环 \(\mathcal{O}_K\) 是 Dedekind 整环。

5.3 分式理想

定义 5.2（分式理想） ：设 \(K\) 是数域，\(R = \mathcal{O}_K\)。\(K\) 的一个非零 \(R\)-子模 \(\mathfrak{a}\) 称为分式理想（fractional ideal），如果存在非零 \(c \in R\) 使得 \(c\mathfrak{a} \subset R\)。

定义 5.3（主分式理想） ：由单个元素 \(\alpha \in K^\times\) 生成的分式理想 \((\alpha) = \alpha R\) 称为主分式理想（principal fractional ideal）。

定理 5.2：数域 \(K\) 的所有非零分式理想在乘法

\[\mathfrak{a} \cdot \mathfrak{b} = \left\{ \sum_i a_i b_i \mid a_i \in \mathfrak{a}, b_i \in \mathfrak{b} \right\} \]

下构成一个阿贝尔群（Abelian group），称为分式理想群（group of fractional ideals），记作 \(\mathcal{I}(K)\)。

单位元是 \(R = (1)\)，\(\mathfrak{a}\) 的逆元为

\[\mathfrak{a}^{-1} = \{ x \in K \mid x\mathfrak{a} \subset R \} \]

5.4 素理想分解定理

定理 5.3（Dedekind整环的素理想分解定理） ：在 Dedekind 整环 \(R\) 中，每个非零真理想都可以唯一地（不计次序）分解为素理想的乘积：

\[\mathfrak{a} = \mathfrak{p}_1^{e_1} \mathfrak{p}_2^{e_2} \cdots \mathfrak{p}_k^{e_k} \]

其中 \(\mathfrak{p}_i\) 是非零素理想，\(e_i \geqslant 1\) 是正整数。

这是代数数论中最重要的定理之一。它表明：虽然元素层面的唯一分解可能失效，但在理想层面上，唯一分解性得以重建。

定理 5.4：Dedekind 整环 \(R\) 是 UFD 当且仅当它是 PID。

证明：若 \(R\) 是 PID，则显然是 UFD。反过来，若 \(R\) 是 UFD，则由于 \(R\) 是 Dedekind 整环，每个素理想都是主理想，从而每个理想都是主理想。

5.5 理想的范

定义 5.4（理想的范） ：设 \(\mathfrak{a}\) 是 \(\mathcal{O}_K\) 的非零理想。定义 \(\mathfrak{a}\) 的范（norm）为

\[\operatorname{N}(\mathfrak{a}) = [\mathcal{O}_K : \mathfrak{a}] \]

即 \(\mathcal{O}_K/\mathfrak{a}\) 作为有限阿贝尔群的阶。

定理 5.5：

1. 对任意非零理想 \(\mathfrak{a}\)，\(\operatorname{N}(\mathfrak{a})\) 是有限正整数。
2. 范是乘性的：\(\operatorname{N}(\mathfrak{a}\mathfrak{b}) = \operatorname{N}(\mathfrak{a})\operatorname{N}(\mathfrak{b})\)。
3. 对 \(\alpha \in \mathcal{O}_K \setminus \{0\}\)，\(\operatorname{N}((\alpha)) = |\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)|\)。

例 5.2：在 \(K = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})\)，\(\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\) 中，考虑理想 \((2, 1+\sqrt{-5})\)。可以验证

\[\operatorname{N}((2, 1+\sqrt{-5})) = 2 \]

5.6 局部化

局部化（localization）是研究 Dedekind 整环和素理想分解的重要工具。

定义 5.5（局部化） ：设 \(R\) 是整环，\(\mathfrak{p}\) 是 \(R\) 的素理想。定义 \(R\) 在 \(\mathfrak{p}\) 处的局部化为

\[R_{\mathfrak{p}} = \left\{ \frac{a}{s} \mid a \in R, s \in R \setminus \mathfrak{p} \right\} \subset \operatorname{Frac}(R) \]

定理 5.6：若 \(R\) 是 Dedekind 整环，\(\mathfrak{p}\) 是 \(R\) 的非零素理想，则 \(R_{\mathfrak{p}}\) 是离散赋值环（discrete valuation ring, DVR）。

离散赋值环是局部化的基本对象，其理想结构非常简单：所有非零理想都是 \(\mathfrak{p}_{\mathfrak{p}}^n\) 的形式。

第六章 理想类群与类数

6.1 理想类群的定义

定义 6.1（理想类群） ：设 \(K\) 是数域，\(\mathcal{I}(K)\) 是 \(K\) 的分式理想群，\(\mathcal{P}(K)\) 是主分式理想子群。定义 \(K\) 的理想类群（ideal class group）为商群：

\[\operatorname{Cl}(K) = \mathcal{I}(K) / \mathcal{P}(K) \]

理想类群是衡量 \(\mathcal{O}_K\) 与主理想整环（从而与唯一因子分解整环）相距程度的阿贝尔群。

定义 6.2（类数） ：理想类群 \(\operatorname{Cl}(K)\) 的阶（如果有限）称为 \(K\) 的类数（class number），记作 \(h_K = |\operatorname{Cl}(K)|\)。

6.2 类数的基本性质

性质 6.1：\(h_K = 1\) 当且仅当 \(\mathcal{O}_K\) 是 PID，当且仅当 \(\mathcal{O}_K\) 是 UFD。

性质 6.2：类数越小，\(\mathcal{O}_K\) 的算术性质越接近 \(\mathbb{Z}\)。

例 6.1：

• \(K = \mathbb{Q}\)：\(h_K = 1\)。
• \(K = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})\)：\(h_K = 2\)。
• \(K = \mathbb{Q}(\sqrt{-163})\)：\(h_K = 1\)（这是一个著名的结果，\(-163\) 是最大的 Heegner 数）。

6.3 类数的有限性

定理 6.1（类数有限性定理） ：任意数域 \(K\) 的理想类群 \(\operatorname{Cl}(K)\) 是有限群。

这是代数数论中最基本的结果之一。其证明依赖于闵可夫斯基的几何数论（geometry of numbers）。

证明思路：

1. 闵可夫斯基嵌入：将 \(K\) 嵌入到 \(\mathbb{R}^{r_1 + 2r_2}\) 中，\(\mathcal{O}_K\) 成为一个格。

2. 闵可夫斯基凸体定理：若 \(S \subset \mathbb{R}^n\) 是中心对称的凸体，且 \(\operatorname{vol}(S) > 2^n \operatorname{vol}(\Lambda)\)（\(\Lambda\) 是格的协体积），则 \(S\) 包含 \(\Lambda\) 的非零点。

3. 应用闵可夫斯基定理，可以证明：每个理想类中都存在一个整理想 \(\mathfrak{a}\)，其范数不超过某个常数 \(M_K\)（称为闵可夫斯基界，Minkowski bound）：

\[M_K = \left( \frac{4}{\pi} \right)^{r_2} \frac{n!}{n^n} \sqrt{|\Delta_K|} \]

其中 \(n = [K : \mathbb{Q}]\)，\(r_2\) 是复嵌入的数量。

4. 范数不超过 \(M_K\) 的整理想只有有限多个（因为 \(\mathcal{O}_K/\mathfrak{a}\) 的阶有界），因此理想类群有限。

推论 6.1：类数 \(h_K\) 是有限正整数。

6.4 闵可夫斯基界与类数的计算

闵可夫斯基界 \(M_K\) 不仅是证明类数有限性的工具，还是计算类数的实用方法。

计算类数的步骤：

1. 计算闵可夫斯基界 \(M_K\)。
2. 找出所有范数 \(\leqslant M_K\) 的素理想。
3. 确定这些素理想在理想类群中的关系。
4. 计算理想类群的结构和阶。

例 6.2：计算 \(K = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})\) 的类数。

• \(n = 2, r_2 = 1, \Delta_K = -20\)。
• \(M_K = \frac{4}{\pi} \cdot \frac{2!}{2^2} \sqrt{20} = \frac{4}{\pi} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} \approx 2.85\)。
• 范数 \(\leqslant 2.85\) 的素理想只有范数为 2 的 \((2, 1+\sqrt{-5})\)。
• 该理想不是主理想，但其平方是主理想 \((2)\)。
• 因此 \(\operatorname{Cl}(K) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)，\(h_K = 2\)。

6.5 类数与唯一分解

理想类群与唯一分解性之间有密切的联系：

• \(h_K = 1\)：\(\mathcal{O}_K\) 是 UFD（唯一分解）。
• \(h_K > 1\)：\(\mathcal{O}_K\) 不是 UFD，类数衡量了唯一分解失效的“程度”。
• 更大的类数意味着更多的非主理想，从而更多的“非唯一分解”现象。

第七章 Dirichlet单位定理

7.1 单位群

定义 7.1（单位群） ：设 \(K\) 是数域。\(\mathcal{O}_K\) 的单位群（unit group）是

\[\mathcal{O}_K^\times = \{ u \in \mathcal{O}_K \mid \exists v \in \mathcal{O}_K, uv = 1 \} \]

由性质 3.5，\(u \in \mathcal{O}_K^\times\) 当且仅当 \(\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(u) = \pm 1\)。

7.2 Dirichlet单位定理

定理 7.1（Dirichlet单位定理） ：设 \(K\) 是数域，\(r_1\) 是 \(K\) 的实嵌入数量，\(r_2\) 是复嵌入对数（即共轭复对的数量）。则

\[\mathcal{O}_K^\times \cong \mu(K) \times \mathbb{Z}^{r_1 + r_2 - 1} \]

其中 \(\mu(K)\) 是 \(K\) 中所有单位根构成的有限循环群。

换句话说，单位群是一个有限群（单位根群）与一个秩为 \(r_1 + r_2 - 1\) 的自由阿贝尔群的直积。

推论 7.1：\(r_1 + r_2 - 1\) 称为 \(K\) 的单位秩（unit rank）。

7.3 特殊情况

情况 1（有理数域） ：\(K = \mathbb{Q}\)，\(r_1 = 1, r_2 = 0\)，单位秩为 \(0\)。

\[\mathcal{O}_K^\times = \mathbb{Z}^\times = \{ \pm 1 \} = \mu(\mathbb{Q}) \]

情况 2（虚二次域） ：\(K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})\)，\(d < 0\)，\(r_1 = 0, r_2 = 1\)，单位秩为 \(0\)。
单位群是有限的，由单位根组成：

• \(d = -1\)：\(\mu(K) = \{ \pm 1, \pm i \}\)（4 个单位根）
• \(d = -3\)：\(\mu(K) = \{ \pm 1, \pm \omega, \pm \omega^2 \}\)（6 个单位根）
• 其他虚二次域：\(\mu(K) = \{ \pm 1 \}\)

情况 3（实二次域） ：\(K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})\)，\(d > 0\)，\(r_1 = 2, r_2 = 0\)，单位秩为 \(1\)。

\[\mathcal{O}_K^\times \cong \{ \pm 1 \} \times \mathbb{Z} \]

存在一个基本单位（fundamental unit）\(\varepsilon > 1\)，使得所有单位都是 \(\pm \varepsilon^n\)（\(n \in \mathbb{Z}\)）。

例 7.1：

• \(K = \mathbb{Q}(\sqrt{2})\)：\(\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt{2}]\)，基本单位为 \(1 + \sqrt{2}\)。
• \(K = \mathbb{Q}(\sqrt{5})\)：\(\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[(1+\sqrt{5})/2]\)，基本单位为 \((1+\sqrt{5})/2\)（黄金比）。

7.4 单位定理的证明思路

Dirichlet单位定理的证明依赖于对数嵌入（logarithmic embedding）。

定义映射

\[\ell : K^\times \to \mathbb{R}^{r_1 + r_2}, \quad \alpha \mapsto (\log|\sigma_1(\alpha)|, \cdots, \log|\sigma_{r_1}(\alpha)|, 2\log|\sigma_{r_1+1}(\alpha)|, \cdots) \]

可以证明：

1. \(\ell(\mathcal{O}_K^\times)\) 是 \(\mathbb{R}^{r_1+r_2}\) 中的一个格（lattice）。
2. 这个格位于超平面 \(\sum x_i = 0\) 中。
3. 因此其秩 \(\leqslant r_1 + r_2 - 1\)。
4. 利用闵可夫斯基凸体定理证明秩恰好等于 \(r_1 + r_2 - 1\)。

定理 7.2（单位群的挠部分） ：\(\mu(K)\) 是有限循环群。具体地，\(\mu(K)\) 的阶为 \(w_K\)，其中 \(w_K\) 是满足 \(\varphi(m) \mid [K : \mathbb{Q}]\) 的最大整数 \(m\)（且 \(K\) 包含 \(m\) 次单位根）。

7.5 CM域

定义 7.2（CM域） ：一个数域 \(K\) 称为 CM域（CM field），如果它是全虚二次扩张（totally imaginary quadratic extension）的一个全实子域（totally real subfield）。

等价地，\(K\) 是 CM域 如果 \(K\) 没有实嵌入，且存在一个全实子域 \(K^+\) 使得 \([K : K^+] = 2\)，并且复共轭诱导了 \(K/K^+\) 的非平凡自同构。

CM域在单位定理和类数理论中具有特殊重要性。

第八章 数域扩张中的素理想分解

8.1 问题的提出

设 \(L/K\) 是数域的扩张，\(\mathfrak{p}\) 是 \(\mathcal{O}_K\) 的一个非零素理想。我们希望了解 \(\mathfrak{p}\) 在 \(\mathcal{O}_L\) 中如何“分裂”或“分解”。

由于 \(\mathcal{O}_L\) 是 Dedekind 整环，\(\mathfrak{p}\mathcal{O}_L\) 可以唯一地分解为 \(\mathcal{O}_L\) 中素理想的乘积：

\[\mathfrak{p}\mathcal{O}_L = \mathfrak{P}_1^{e_1} \mathfrak{P}_2^{e_2} \cdots \mathfrak{P}_g^{e_g} \]

其中 \(\mathfrak{P}_i\) 是 \(\mathcal{O}_L\) 中互不相同的素理想。

8.2 分歧指数与剩余次数

定义 8.1（分歧指数） ：在上述分解中，\(e_i\) 称为 \(\mathfrak{P}_i\) 在扩张 \(L/K\) 中的分歧指数（ramification index）。

定义 8.2（剩余次数） ：设 \(\mathfrak{P}\) 是 \(\mathcal{O}_L\) 的素理想，\(\mathfrak{p} = \mathfrak{P} \cap \mathcal{O}_K\)。定义 \(\mathfrak{P}\) 的剩余次数（residue degree）为

\[f_i = [\mathcal{O}_L/\mathfrak{P}_i : \mathcal{O}_K/\mathfrak{p}] \]

即剩余域扩张的次数。

定理 8.1（基本等式） ：设 \([L : K] = n\)，则

\[\sum_{i=1}^g e_i f_i = n \]

这个等式是素理想分解理论的基础。

定义 8.3（分裂、分歧、惯性） ：

• 若 \(e_i = 1\)，称 \(\mathfrak{P}_i\) 在 \(L/K\) 中非分歧（unramified）。
• 若 \(e_i > 1\)，称 \(\mathfrak{P}_i\) 在 \(L/K\) 中分歧（ramified）。
• 若 \(f_i = 1\)，称 \(\mathfrak{P}_i\) 在 \(L/K\) 中完全分裂（completely split）。
• 若 \(g = n\)（即所有 \(e_i = f_i = 1\)），称 \(\mathfrak{p}\) 在 \(L/K\) 中完全分裂。

8.3 Dedekind判别准则

定理 8.2（Dedekind判别准则） ：设 \(L = K(\alpha)\)，\(\alpha \in \mathcal{O}_L\)，\(f(x)\) 是 \(\alpha\) 在 \(\mathcal{O}_K[x]\) 中的极小多项式。设 \(\mathfrak{p}\) 是 \(\mathcal{O}_K\) 的素理想，且 \(\mathfrak{p}\) 不整除 \([\mathcal{O}_L : \mathcal{O}_K[\alpha]]\)（即导子指数）。设

\[\bar{f}(x) = \prod_{i=1}^g \bar{f}_i(x)^{e_i} \pmod{\mathfrak{p}} \]

是 \(f(x)\) 模 \(\mathfrak{p}\) 的不可约分解。则

\[\mathfrak{p}\mathcal{O}_L = \prod_{i=1}^g \mathfrak{P}_i^{e_i} \]

其中 \(\mathfrak{P}_i = (\mathfrak{p}, f_i(\alpha))\)，且 \(\deg \bar{f}_i = f_i\)。

Dedekind判别准则是计算素理想分解的实用工具。

8.4 差分与判别式

定义 8.4（差分） ：设 \(L/K\) 是数域的扩张。定义 \(\mathcal{O}_L/\mathcal{O}_K\) 的差分（different）为

\[\mathfrak{D}_{L/K} = \{ x \in L \mid \operatorname{Tr}_{L/K}(x\mathcal{O}_L) \subset \mathcal{O}_K \}^{-1} \]

这是一个 \(\mathcal{O}_L\) 的理想。

定义 8.5（相对判别式） ：相对判别式（relative discriminant）定义为

\[\Delta_{L/K} = \operatorname{N}_{L/K}(\mathfrak{D}_{L/K}) \]

这是 \(\mathcal{O}_K\) 的一个理想。

定理 8.3：\(\mathcal{O}_K\) 的素理想 \(\mathfrak{p}\) 在 \(L/K\) 中分歧当且仅当 \(\mathfrak{p} \mid \Delta_{L/K}\)。

推论 8.1：在扩张 \(L/K\) 中，只有有限多个素理想分歧。

8.5 伽罗瓦扩张中的素理想分解

当 \(L/K\) 是伽罗瓦扩张（Galois extension）时，素理想的分解行为具有特殊的对称性。

定理 8.4：设 \(L/K\) 是伽罗瓦扩张，伽罗瓦群为 \(G = \operatorname{Gal}(L/K)\)。则对 \(\mathfrak{p}\mathcal{O}_L\) 的分解

\[\mathfrak{p}\mathcal{O}_L = \mathfrak{P}_1^{e} \mathfrak{P}_2^{e} \cdots \mathfrak{P}_g^{e} \]

所有分歧指数相等（均为 \(e\)），所有剩余次数相等（均为 \(f\)），且

\[efg = [L : K] \]

第九章 分歧理论

9.1 分解群与惯性群

设 \(L/K\) 是伽罗瓦扩张，\(G = \operatorname{Gal}(L/K)\)。设 \(\mathfrak{P}\) 是 \(\mathcal{O}_L\) 的素理想，\(\mathfrak{p} = \mathfrak{P} \cap \mathcal{O}_K\)。

定义 9.1（分解群） ：\(\mathfrak{P}\) 的分解群（decomposition group）定义为

\[D_{\mathfrak{P}} = \{ \sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak{P}) = \mathfrak{P} \} \]

定义 9.2（惯性群） ：\(\mathfrak{P}\) 的惯性群（inertia group）定义为

\[I_{\mathfrak{P}} = \{ \sigma \in D_{\mathfrak{P}} \mid \sigma(x) \equiv x \pmod{\mathfrak{P}}, \forall x \in \mathcal{O}_L \} \]

即作用在剩余域 \(\mathcal{O}_L/\mathfrak{P}\) 上为恒等的元素。

定理 9.1：\(I_{\mathfrak{P}}\) 是 \(D_{\mathfrak{P}}\) 的正规子群（normal subgroup）。

定理 9.2：存在自然同构

\[D_{\mathfrak{P}} / I_{\mathfrak{P}} \cong \operatorname{Gal}((\mathcal{O}_L/\mathfrak{P}) / (\mathcal{O}_K/\mathfrak{p})) \]

右端是剩余域扩张的伽罗瓦群，它是循环群。

9.2 高阶分歧群

定义 9.3（高阶分歧群） ：对 \(i \geqslant 0\)，定义第 \(i\) 分歧群（ramification group）为

\[V_i = \{ \sigma \in I_{\mathfrak{P}} \mid \sigma(x) \equiv x \pmod{\mathfrak{P}^{i+1}}, \forall x \in \mathcal{O}_L \} \]

其中 \(V_0 = I_{\mathfrak{P}}\)。

定理 9.3：\(\{ V_i \}\) 构成 \(I_{\mathfrak{P}}\) 的递减正规子群链：

\[I_{\mathfrak{P}} = V_0 \supset V_1 \supset V_2 \supset \cdots \]

且对足够大的 \(i\)，\(V_i = \{ 1 \}\)。

定义 9.4（驯化分歧与野性分歧） ：

• 若 \(I_{\mathfrak{P}} = \{1\}\)，称 \(\mathfrak{P}\) 在 \(L/K\) 中不分歧（unramified）。
• 若 \(V_1 = \{1\}\)（即 \(I_{\mathfrak{P}}\) 的阶不被 \(\mathfrak{p}\) 的剩余特征整除），称分歧是驯化的（tame）。
• 若 \(V_1 \neq \{1\}\)，称分歧是野性的（wild）。

9.3 Frobenius自同构

定义 9.5（Frobenius自同构） ：设 \(L/K\) 是伽罗瓦扩张，\(\mathfrak{P}\) 是 \(\mathcal{O}_L\) 的素理想，且 \(\mathfrak{P}\) 在 \(L/K\) 中不分歧。则 \(D_{\mathfrak{P}} \cong \operatorname{Gal}(k(\mathfrak{P})/k(\mathfrak{p}))\)，而后者是由 Frobenius 自同构 \(x \mapsto x^{q}\)（\(q = |k(\mathfrak{p})|\)）生成的循环群。

对应的 \(D_{\mathfrak{P}}\) 中的元素称为 Frobenius自同构（Frobenius automorphism），记作

\[\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}} \in D_{\mathfrak{P}} \]

性质 9.1：若 \(\mathfrak{P}'\) 是另一个在 \(\mathfrak{p}\) 之上的素理想，则存在 \(\tau \in G\) 使得 \(\mathfrak{P}' = \tau(\mathfrak{P})\)，且

\[\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}'} = \tau \operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}} \tau^{-1} \]

因此，当 \(L/K\) 是阿贝尔扩张（Abelian extension）时，Frobenius自同构只依赖于 \(\mathfrak{p}\)，可记作 \(\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}}\)。

9.4 Artin映射

定义 9.6（Artin映射） ：设 \(L/K\) 是阿贝尔扩张。定义 Artin 映射为

\[\operatorname{Art}_{L/K} : \mathcal{I}_K \to \operatorname{Gal}(L/K) \]

\[\mathfrak{p} \mapsto \operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}} \]

并扩展到所有分式理想上。

Artin映射是类域论的核心对象。

第十章 赋值论与p进数

10.1 赋值的基本概念

定义 10.1（赋值） ：域 \(K\) 上的一个赋值（valuation）（或绝对值，absolute value）是一个函数

\[|\cdot| : K \to \mathbb{R}_{\geqslant 0} \]

满足：

1. \(|x| = 0 \iff x = 0\)
2. \(|xy| = |x||y|\)
3. \(|x + y| \leqslant |x| + |y|\)（三角不等式）

定义 10.2（非阿基米德赋值） ：若赋值还满足更强的条件

\[|x + y| \leqslant \max\{|x|, |y|\} \]

则称为非阿基米德赋值（non-Archimedean absolute value）。

定义 10.3（p进赋值） ：在有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上，对每个素数 \(p\)，定义 p进赋值（p-adic valuation）为

\[v_p(x) = \begin{cases} \text{最大的 } n \text{ 使得 } p^n \mid x, & x \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} \\ v_p(a) - v_p(b), & x = a/b \in \mathbb{Q}^\times \\ \infty, & x = 0 \end{cases}\]

对应的p进绝对值为

\[|x|_p = p^{-v_p(x)} \]

这是 \(\mathbb{Q}\) 上的一个非阿基米德赋值。

10.2 奥斯特洛夫斯基定理

定理 10.1（奥斯特洛夫斯基定理） ：\(\mathbb{Q}\) 上的所有非平凡赋值（在等价意义下）只有两类：

1. 通常的绝对值 \(|\cdot|_\infty\)（阿基米德赋值）
2. p进绝对值 \(|\cdot|_p\)（\(p\) 为素数，非阿基米德赋值）

这个定理说明，\(\mathbb{Q}\) 的“所有可能的大小观念”完全由通常的绝对值和所有 p进绝对值刻画。

10.3 p进数

定义 10.4（p进数域） ：有理数域 \(\mathbb{Q}\) 关于 p进绝对值 \(|\cdot|_p\) 的完备化（completion）称为 p进数域（p-adic number field），记作 \(\mathbb{Q}_p\)。

\(\mathbb{Q}_p\) 的元素称为 p进数（p-adic numbers）。

p进数的表示：每个 p进数可以唯一地表示为

\[x = \sum_{i=n}^{\infty} a_i p^i, \quad a_i \in \{ 0, 1, \cdots, p-1 \}, \quad a_n \neq 0 \]

这类似于实数的十进制展开，但是“向左边无限延伸”而非向右边。

p进整数环：定义

\[\mathbb{Z}_p = \{ x \in \mathbb{Q}_p \mid |x|_p \leqslant 1 \} = \left\{ \sum_{i=0}^{\infty} a_i p^i \mid a_i \in \{0, 1, \cdots, p-1\} \right\} \]

\(\mathbb{Z}_p\) 是 \(\mathbb{Q}_p\) 的整数环，是一个离散赋值环。

p进数的拓扑性质：\(\mathbb{Q}_p\) 上的拓扑由 p进绝对值诱导。它具有以下奇特性质：

1. 超度量性质（ultrametric）：\(|x + y|_p \leqslant \max\{|x|_p, |y|_p\}\)。
2. 所有三角形都是等腰的：若 \(|x|_p \neq |y|_p\)，则 \(|x + y|_p = \max\{|x|_p, |y|_p\}\)。
3. \(\mathbb{Q}_p\) 是完全不连通的（totally disconnected）拓扑空间。

10.4 Hensel引理

定理 10.2（Hensel引理） ：设 \(f(x) \in \mathbb{Z}_p[x]\)，\(a_0 \in \mathbb{Z}_p\) 满足

\[f(a_0) \equiv 0 \pmod{p}, \quad f'(a_0) \not\equiv 0 \pmod{p} \]

则存在唯一的 \(a \in \mathbb{Z}_p\) 使得

\[f(a) = 0, \quad a \equiv a_0 \pmod{p} \]

Hensel引理是 p进分析中最基本的工具，它表明：在 p进数域中，一个多项式的“模 p 简单根”可以唯一地提升为 p进数域中的精确根。

推论 10.1：\(\mathbb{Q}_p\) 中包含 \(p-1\) 次单位根（因为 \(x^{p-1} - 1\) 模 \(p\) 有 \(p-1\) 个不同的根）。

10.5 \(\mathbb{Q}_p\) 的乘法群

定理 10.3：\(\mathbb{Q}_p^\times\) 的结构为

\[\mathbb{Q}_p^\times \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_p^\times \cong \mathbb{Z} \times \mu_{p-1} \times (1 + p\mathbb{Z}_p) \]

其中 \(\mu_{p-1}\) 是 \(p-1\) 次单位根群，\(1 + p\mathbb{Z}_p\) 是（当 \(p\) 为奇数时）同构于 \(\mathbb{Z}_p\) 的 pro-p 群。

10.6 赋值环

定义 10.5（离散赋值环） ：一个整环 \(R\) 称为离散赋值环（discrete valuation ring, DVR），如果它满足以下等价条件之一：

1. \(R\) 是局部主理想整环，且不是域。
2. \(R\) 是 Noether 正则局部环，维数为 1。
3. 存在一个离散赋值 \(v\) 使得 \(R = \{ x \in \operatorname{Frac}(R) \mid v(x) \geqslant 0 \}\)。

DVR 的例子包括：

• \(\mathbb{Z}_{(p)} = \{ a/b \in \mathbb{Q} \mid p \nmid b \}\)（\(\mathbb{Z}\) 在素理想 \((p)\) 处的局部化）
• \(\mathbb{Z}_p\)（p进整数环）
• \(k[[t]]\)（形式幂级数环）

定理 10.4：Dedekind 整环在非零素理想处的局部化是 DVR。

第十一章 局部域

11.1 局部域的定义

定义 11.1（局部域） ：一个局部域（local field）是对于某个非平凡赋值完备化的域。

局部域分为两类：

1. 阿基米德局部域：\(\mathbb{R}\) 和 \(\mathbb{C}\)。
2. 非阿基米德局部域：数域关于非阿基米德赋值的完备化，如 \(\mathbb{Q}_p\)；以及有限域上的形式幂级数域 \(\mathbb{F}_q((t))\)。

定义 11.2（整体域） ：数域和有限域上的代数函数域统称为整体域（global field）。

局部域与整体域的对偶关系是代数数论的核心主题之一。

11.2 局部域的基本性质

性质 11.1：非阿基米德局部域 \(K\) 具有以下结构：

1. 整数环：\(\mathcal{O}_K = \{ x \in K \mid |x| \leqslant 1 \}\)，是 DVR。
2. 极大理想：\(\mathfrak{m}_K = \{ x \in K \mid |x| < 1 \}\)。
3. 剩余域：\(k_K = \mathcal{O}_K/\mathfrak{m}_K\) 是有限域。
4. 均匀化元：\(\pi_K \in \mathfrak{m}_K \setminus \mathfrak{m}_K^2\)，满足 \(\mathfrak{m}_K = (\pi_K)\)。

性质 11.2：设 \(K\) 是特征 0 的非阿基米德局部域，则 \(K\) 是 \(\mathbb{Q}_p\) 的有限扩张，\([K : \mathbb{Q}_p] = n < \infty\)。

11.3 局部域的扩张

设 \(L/K\) 是局部域的有限扩张。

定义 11.3（分歧指数与剩余次数） ：与整体域类似，定义

\[e(L/K) = v_L(\pi_K) \]

\[f(L/K) = [k_L : k_K] \]

定理 11.1：\([L : K] = e(L/K) \cdot f(L/K)\)。

定义 11.4（非分歧扩张） ：若 \(e(L/K) = 1\)，称 \(L/K\) 是非分歧扩张（unramified extension）。

定理 11.2：对每个 \(f \geqslant 1\)，\(\mathbb{Q}_p\) 存在唯一的次数为 \(f\) 的非分歧扩张。它可以通过在 \(\mathbb{Z}_p\) 中添加 \(p^f - 1\) 次单位根得到。

定义 11.5（完全分歧扩张） ：若 \(f(L/K) = 1\)，称 \(L/K\) 是完全分歧扩张（totally ramified extension）。

11.4 局部类域论

局部类域论（local class field theory）研究局部域的阿贝尔扩张。

定理 11.3（局部互反律） ：设 \(K\) 是局部域。则存在自然同构

\[\operatorname{Rec}_K : K^\times \to \operatorname{Gal}(K^{\text{ab}}/K) \]

其中 \(K^{\text{ab}}\) 是 \(K\) 的最大阿贝尔扩张（maximal Abelian extension）。

这个同构将 \(K^\times\) 的算术结构与伽罗瓦群的抽象结构联系起来。

推论 11.1：对每个有限阿贝尔扩张 \(L/K\)，存在同构

\[K^\times / \operatorname{N}_{L/K}(L^\times) \cong \operatorname{Gal}(L/K) \]

这是局部类域论的基本定理。

第十二章 二次域与分圆域

12.1 二次域

定义 12.1（二次域） ：次数为 2 的数域称为二次域（quadratic field）。每个二次域都可以写成 \(K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})\) 的形式，其中 \(d\) 是无平方因子的非零整数。

若 \(d > 0\)，称为实二次域（real quadratic field）；若 \(d < 0\)，称为虚二次域（imaginary quadratic field）。

12.2 二次域的整数环与判别式

定理 12.1：设 \(K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})\)，\(d\) 是无平方因子的整数。

• 若 \(d \equiv 1 \pmod{4}\)，则 \(\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[(1+\sqrt{d})/2]\)，\(\Delta_K = d\)。
• 若 \(d \equiv 2, 3 \pmod{4}\)，则 \(\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt{d}]\)，\(\Delta_K = 4d\)。

12.3 二次域的类数

定理 12.2（二次域类数公式） ：

虚二次域 \(K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})\)，\(d < 0\)：

\[h_K = \frac{w_K}{2\pi} \sqrt{|\Delta_K|} L(1, \chi) \]

其中 \(w_K\) 是单位根个数，\(\chi\) 是相应的 Dirichlet 特征。

实二次域 \(K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})\)，\(d > 0\)：

\[h_K = \frac{1}{2\log \varepsilon} \sqrt{\Delta_K} L(1, \chi) \]

其中 \(\varepsilon\) 是基本单位。

12.4 分圆域

定义 12.2（分圆域） ：设 \(\zeta_n\) 是 \(n\) 次本原单位根（即 \(\zeta_n^n = 1\) 且 \(\zeta_n^m \neq 1\) 对 \(m < n\)）。分圆域（cyclotomic field）是

\[K_n = \mathbb{Q}(\zeta_n) \]

定理 12.3：

1. \([K_n : \mathbb{Q}] = \varphi(n)\)，其中 \(\varphi\) 是欧拉函数。
2. \(\mathcal{O}_{K_n} = \mathbb{Z}[\zeta_n]\)。
3. \(\Delta_{K_n}\) 仅由 \(n\) 的素因子决定。特别地，若 \(n = p^m\)（\(p\) 为奇素数），则

\[\Delta_{K_n} = \pm p^{p^{m-1}(mp - m - 1)} \]

12.5 分圆域中的素理想分解

定理 12.4：设 \(p\) 是素数，\(p \nmid n\)。则 \(p\) 在 \(K_n = \mathbb{Q}(\zeta_n)\) 中的分解由 \(p\) 模 \(n\) 的阶决定。

具体地，设 \(f\) 是 \(p\) 模 \(n\) 的乘法阶（即最小的正整数 \(f\) 使得 \(p^f \equiv 1 \pmod{n}\)）。则

\[p\mathcal{O}_{K_n} = \mathfrak{P}_1 \mathfrak{P}_2 \cdots \mathfrak{P}_g \]

其中 \(g = \varphi(n)/f\)，每个 \(\mathfrak{P}_i\) 的剩余次数为 \(f\)，分歧指数为 1。

定理 12.5：若 \(p \mid n\)，则 \(p\) 在 \(K_n\) 中分歧。

12.6 分圆域与二次互反律

分圆域是证明二次互反律（quadratic reciprocity）的自然框架。

定理 12.6：对奇素数 \(p, q\)，

\[\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}} \]

其中 \(\left(\frac{p}{q}\right)\) 是勒让德符号。

证明思路：考虑分圆域 \(\mathbb{Q}(\zeta_p)\)。Frobenius自同构 \(\operatorname{Frob}_q\) 在 \(\mathbb{Q}(\zeta_p)\) 上的作用由 \(q \mapsto q\)（模 \(p\)）给出，从而可以计算 \(\left(\frac{q}{p}\right)\)。通过对称性得到二次互反律。

第十三章 Dedekind zeta函数与类数公式

13.1 Dedekind zeta函数

定义 13.1（Dedekind zeta函数） ：设 \(K\) 是数域。定义 \(K\) 的 Dedekind zeta函数（Dedekind zeta function）为

\[\zeta_K(s) = \sum_{\mathfrak{a} \subset \mathcal{O}_K, \mathfrak{a} \neq 0} \frac{1}{\operatorname{N}(\mathfrak{a})^s}, \quad \operatorname{Re}(s) > 1 \]

其中求和遍历 \(\mathcal{O}_K\) 的所有非零理想。

定理 13.1：

1. \(\zeta_K(s)\) 在 \(\operatorname{Re}(s) > 1\) 时绝对收敛。
2. \(\zeta_K(s)\) 可以亚纯延拓（meromorphic continuation）到整个复平面。
3. \(\zeta_K(s)\) 在 \(s = 1\) 处有单极点（simple pole），留数为某个正数。
4. \(\zeta_K(s)\) 满足函数方程（functional equation），将 \(s\) 与 \(1-s\) 联系起来。

13.2 欧拉乘积

定理 13.2：Dedekind zeta函数有欧拉乘积展开：

\[\zeta_K(s) = \prod_{\mathfrak{p}} \frac{1}{1 - \operatorname{N}(\mathfrak{p})^{-s}}, \quad \operatorname{Re}(s) > 1 \]

其中乘积遍历 \(\mathcal{O}_K\) 的所有非零素理想。

这个乘积公式将 \(\zeta_K(s)\) 的解析性质与素理想的分布联系起来。

13.3 解析类数公式

定理 13.3（解析类数公式） ：设 \(K\) 是数域，\([K : \mathbb{Q}] = n = r_1 + 2r_2\)。则

\[\lim_{s \to 1} (s - 1)\zeta_K(s) = \frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2} h_K R_K}{w_K \sqrt{|\Delta_K|}} \]

其中：

• \(r_1\)：实嵌入的数量
• \(r_2\)：复嵌入的对数
• \(h_K\)：类数
• \(R_K\)：调节子（regulator），是单位群对数嵌入的协体积
• \(w_K\)：\(K\) 中单位根的个数

类数公式（class number formula）是代数数论中最深刻的定理之一，它将数域的代数不变量（类数 \(h_K\)、单位群 \(R_K\)、判别式 \(\Delta_K\)）与解析不变量（zeta函数在 \(s=1\) 处的留数）联系了起来。

13.4 类数公式的应用

类数公式有几个重要的应用：

1. 计算类数：通过计算 zeta 函数在 \(s=1\) 处的值来求类数。
2. 证明类数的有限性（虽然这也可以用纯代数方法证明）。
3. Brauer-Siegel定理：当 \(K\) 在某个族中变化时，\(\log(h_K R_K) \sim \log \sqrt{|\Delta_K|}\)。
4. 与L函数的联系：类数公式是解析数论与代数数论之间的桥梁。

13.5 二次域的类数公式（具体形式）

虚二次域 \(K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})\)（\(d > 0\)，无平方因子）：

\[h_K = \frac{w_K}{2\pi} \sqrt{d} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{-d}{n}\right) \frac{1}{n} \]

其中 \(\left(\frac{-d}{n}\right)\) 是 Kronecker 符号。

实二次域 \(K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})\)（\(d > 0\)，无平方因子）：

\[h_K = \frac{1}{2\log \varepsilon} \sqrt{d} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{d}{n}\right) \frac{1}{n} \]

其中 \(\varepsilon\) 是基本单位。

第十四章 阿代尔与伊代尔

14.1 阿代尔环

定义 14.1（阿代尔环） ：设 \(K\) 是数域。对 \(K\) 的每个位置 \(v\)（包括阿基米德位置和所有非阿基米德位置），令 \(K_v\) 是 \(K\) 在 \(v\) 处的完备化。定义 \(K\) 的阿代尔环（Adèle ring）为：

\[\mathbb{A}_K = \prod_{v} ' K_v \]

其中 \(\prod'\) 表示限制直积（restricted direct product）：对除了有限多个非阿基米德位置之外的所有 \(v\)，要求 \(x_v \in \mathcal{O}_{K_v}\)。

定理 14.1：\(\mathbb{A}_K\) 是一个局部紧（locally compact）的拓扑环。

定理 14.2：\(K\) 作为对角子集嵌入 \(\mathbb{A}_K\) 中，且 \(K\) 在 \(\mathbb{A}_K\) 中是离散的，商空间 \(\mathbb{A}_K/K\) 是紧致的。

这个性质是数论中“局部-整体原则”的拓扑表述。

14.2 伊代尔群

定义 14.2（伊代尔群） ：\(K\) 的伊代尔群（Idèle group）定义为阿代尔环的单位群：

\[\mathbb{I}_K = \mathbb{A}_K^\times \]

等价地，

\[\mathbb{I}_K = \prod_{v} ' K_v^\times \]

其中限制条件为：除了有限多个 \(v\) 之外，\(x_v \in \mathcal{O}_{K_v}^\times\)。

定理 14.3：\(\mathbb{I}_K\) 是一个局部紧拓扑群。

定义 14.3（主伊代尔） ：\(K^\times\) 作为 \(\mathbb{I}_K\) 的对角子群，其元素称为主伊代尔（principal idèles）。

定义 14.4（伊代尔类群） ：伊代尔类群（idèle class group）定义为

\[C_K = \mathbb{I}_K / K^\times \]

14.3 伊代尔与理想类群的关系

定理 14.4：存在正合列

\[1 \to \mathcal{O}_K^\times \to \mathbb{I}_K^1 \to \operatorname{Cl}(K) \to 1 \]

其中 \(\mathbb{I}_K^1\) 是范数为 1 的伊代尔子群。

这个正合列将单位群、理想类群和伊代尔群联系在了一起。

更精确地说，存在同构

\[\operatorname{Cl}(K) \cong \mathbb{I}_K / (K^\times \cdot \prod_v \mathcal{O}_{K_v}^\times) \]

这给出了理想类群的一个“局部-整体”描述。

14.4 阿代尔与伊代尔的意义

阿代尔和伊代尔是现代代数数论的基本语言：

1. 统一性：它们将所有局部域（实数、复数、所有 p进域）统一为一个整体对象。
2. 调和分析：阿代尔环是进行数论调和分析的自然舞台。
3. 类域论：伊代尔类群是类域论的核心对象。
4. 朗兰兹纲领：阿代尔群上的表示论是朗兰兹纲领的基础。
5. 算术几何：阿代尔方法推广到代数群和概形上。

谢瓦莱（C. Chevalley）在20世纪30年代引入伊代尔概念，目的是将类域论完全算术化。

第十五章 类域论导引

15.1 类域论的目标

类域论（class field theory）是代数数论在20世纪上半叶最伟大的成就之一。它的目标是描述数域的所有阿贝尔扩张（Abelian extensions）。

具体来说，类域论建立了以下对象之间的对应关系：

• 数域 \(K\) 的阿贝尔扩张 \(\iff\) \(K\) 的伊代尔类群的有限指数开子群
• 数域 \(K\) 的有限阿贝尔扩张 \(L/K\) \(\iff\) \(K\) 的射线理想类群

15.2 Artin互反律

定理 15.1（Artin互反律） ：设 \(L/K\) 是阿贝尔扩张。则 Artin 映射

\[\operatorname{Art}_{L/K} : \mathbb{I}_K \to \operatorname{Gal}(L/K) \]

是满射，且核为 \(K^\times \cdot \operatorname{N}_{L/K}(\mathbb{I}_L)\)。

因此，存在同构

\[\mathbb{I}_K / (K^\times \cdot \operatorname{N}_{L/K}(\mathbb{I}_L)) \cong \operatorname{Gal}(L/K) \]

推论 15.1：对每个阿贝尔扩张 \(L/K\)，伽罗瓦群 \(\operatorname{Gal}(L/K)\) 同构于某个伊代尔类群的商群。

15.3 存在性定理

定理 15.2（存在性定理） ：对 \(K\) 的伊代尔类群 \(C_K = \mathbb{I}_K/K^\times\) 的每个有限指数开子群 \(H\)，存在唯一的阿贝尔扩张 \(L/K\) 使得

\[\operatorname{N}_{L/K}(\mathbb{I}_L) \cdot K^\times / K^\times = H \]

换句话说，阿贝尔扩张与伊代尔类群的有限指数开子群之间存在一一对应。

15.4 Hilbert类域

定义 15.1（Hilbert类域） ：数域 \(K\) 的 Hilbert类域（Hilbert class field）是 \(K\) 的最大非分歧阿贝尔扩张（maximal unramified Abelian extension）。

定理 15.3：设 \(H_K\) 是 \(K\) 的 Hilbert 类域。则

\[\operatorname{Gal}(H_K/K) \cong \operatorname{Cl}(K) \]

特别地，\([H_K : K] = h_K\)。

这个定理是类域论最美丽的结果之一：类数等于 Hilbert 类域的扩张次数。换句话说，\(K\) 的“理想类群的阶”恰好等于“最大非分歧阿贝尔扩张的次数”。

15.5 类域论的基本定理

定理 15.4（类域论基本定理） ：设 \(K\) 是数域。则存在一一对应：

\[\{ K \text{ 的有限阿贝尔扩张} \} \longleftrightarrow \{ C_K \text{ 的有限指数开子群} \} \]

在这个对应下：

• 扩张 \(L/K\) 对应子群 \(\operatorname{N}_{L/K}(C_L) \subset C_K\)。
• \(\operatorname{Gal}(L/K) \cong C_K / \operatorname{N}_{L/K}(C_L)\)。
• 子群 \(H \subset C_K\) 对应的扩张 \(L/K\) 满足 \(\operatorname{N}_{L/K}(C_L) = H\)。

15.6 局部类域论

局部类域论是整体类域论的局部版本。

定理 15.5（局部互反律） ：设 \(K\) 是局部域。则存在同构

\[K^\times / \operatorname{N}_{L/K}(L^\times) \cong \operatorname{Gal}(L/K) \]

对每个有限阿贝尔扩张 \(L/K\) 成立。

取极限，得到

\[K^\times \cong \operatorname{Gal}(K^{\text{ab}}/K)^{\text{ab}} \]

其中 \(K^{\text{ab}}\) 是 \(K\) 的最大阿贝尔扩张。

附录：重要定理与公式汇总

A.1 数域与代数整数

名称	公式/内容
数域定义	\(K/\mathbb{Q}\) 的有限扩张
代数整数定义	首一整系数多项式的根
整数环	\(\mathcal{O}_K = \{ \alpha \in K \mid \alpha \text{ 是代数整数} \}\)

A.2 迹、范与判别式

名称	公式
迹	\(\operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha) = \sum_i \sigma_i(\alpha)\)
范	\(\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha) = \prod_i \sigma_i(\alpha)\)
单位判定	\(\alpha \in \mathcal{O}_K^\times \iff \operatorname{N}(\alpha) = \pm 1\)
判别式	\(\Delta_K = \det(\operatorname{Tr}(\alpha_i\alpha_j))\)

A.3 Dedekind整环与素理想分解

名称	公式/内容
Dedekind整环	Noether + 整闭 + 维数1
素理想分解	\(\mathfrak{a} = \mathfrak{p}_1^{e_1} \cdots \mathfrak{p}_k^{e_k}\)
基本等式	\(\sum e_i f_i = [L : K]\)
理想的范	\(\operatorname{N}(\mathfrak{a}) = [\mathcal{O}_K : \mathfrak{a}]\)

A.4 理想类群与类数

名称	公式
理想类群	\(\operatorname{Cl}(K) = \mathcal{I}(K)/\mathcal{P}(K)\)
类数	\(h_K = |\operatorname{Cl}(K)|\)
UFD判定	\(\mathcal{O}_K\) 是 UFD \(\iff h_K = 1\)
闵可夫斯基界	\(M_K = \left(\frac{4}{\pi}\right)^{r_2}\frac{n!}{n^n}\sqrt{|\Delta_K|}\)

A.5 Dirichlet单位定理

名称	公式
单位定理	\(\mathcal{O}_K^\times \cong \mu(K) \times \mathbb{Z}^{r_1+r_2-1}\)
单位秩	\(r = r_1 + r_2 - 1\)

A.6 分歧理论

名称	公式/内容
分歧指数	\(e_i = v_{\mathfrak{P}_i}(\mathfrak{p}\mathcal{O}_L)\)
剩余次数	\(f_i = [k(\mathfrak{P}_i) : k(\mathfrak{p})]\)
分解群	\(D_{\mathfrak{P}} = \{ \sigma \mid \sigma(\mathfrak{P}) = \mathfrak{P} \}\)
惯性群	\(I_{\mathfrak{P}} = \{ \sigma \mid \sigma(x) \equiv x \pmod{\mathfrak{P}} \}\)
正规性	\(I_{\mathfrak{P}} \triangleleft D_{\mathfrak{P}}\)
商群	\(D_{\mathfrak{P}}/I_{\mathfrak{P}} \cong \operatorname{Gal}(k(\mathfrak{P})/k(\mathfrak{p}))\)

A.7 p进数与局部域

名称	公式/内容
p进赋值	\(v_p(x) =\) 最大的 \(n\) 使 \(p^n \mid x\)
p进绝对值	\(|x|_p = p^{-v_p(x)}\)
p进数域	\(\mathbb{Q}_p = \overline{\mathbb{Q}}^{|\cdot|_p}\)
Hensel引理	\(f(a_0) \equiv 0 \pmod{p}, f'(a_0) \not\equiv 0 \pmod{p} \implies \exists a \in \mathbb{Z}_p, f(a)=0\)
局部域	完备化的域（\(\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{Q}_p\) 等）
局部域基本等式	\([L:K] = e(L/K) \cdot f(L/K)\)

A.8 Dedekind zeta函数与类数公式

名称	公式
Dedekind zeta	\(\zeta_K(s) = \sum_{\mathfrak{a}} \operatorname{N}(\mathfrak{a})^{-s}\)
欧拉乘积	\(\zeta_K(s) = \prod_{\mathfrak{p}} (1 - \operatorname{N}(\mathfrak{p})^{-s})^{-1}\)
解析类数公式	\(\lim_{s\to 1}(s-1)\zeta_K(s) = \frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2} h_K R_K}{w_K\sqrt{|\Delta_K|}}\)

A.9 阿代尔与伊代尔

名称	公式/内容
阿代尔环	\(\mathbb{A}_K = \prod_{v}' K_v\)
伊代尔群	\(\mathbb{I}_K = \mathbb{A}_K^\times\)
伊代尔类群	\(C_K = \mathbb{I}_K/K^\times\)
类群与伊代尔	\(\operatorname{Cl}(K) \cong \mathbb{I}_K/(K^\times \cdot \prod_v \mathcal{O}_{K_v}^\times)\)

A.10 类域论

名称	公式/内容
Artin互反律	\(\mathbb{I}_K/(K^\times \cdot \operatorname{N}_{L/K}(\mathbb{I}_L)) \cong \operatorname{Gal}(L/K)\)
类域论基本定理	\(\{ \text{阿贝尔扩张} \} \longleftrightarrow \{ C_K \text{ 的开子群} \}\)
Hilbert类域	\(\operatorname{Gal}(H_K/K) \cong \operatorname{Cl}(K)\)
局部互反律	\(K^\times/\operatorname{N}_{L/K}(L^\times) \cong \operatorname{Gal}(L/K)\)

参考文献

1. Lang, S. Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 110. Springer-Verlag, 1994.
2. Neukirch, J. Algebraic Number Theory. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 322. Springer, 1999.
3. Cassels, J.W.S. & Fröhlich, A. (eds.) Algebraic Number Theory. Academic Press, 1967.
4. Weil, A. Basic Number Theory. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 144. Springer, 1967.
5. 张贤科. 代数数论导引（第二版）. 高等教育出版社, 2006.
6. 程创勋, 张翀. 代数数论. 高等教育出版社, 2025.
7. 冯克勤. 代数数论. 科学出版社.
8. 潘承洞, 潘承彪. 代数数论. 北京大学出版社.