gcd(最大公约数)与lcm(最小公倍数)模板

#include<bits/stdc++.h> 

using namespace std;
int n;
int gcd(int a, int b) 
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
int lcm(int a, int b) 
{
    return (a / gcd(a, b)) * b; // 先除后乘避免溢出
}
int main( )
{
    cout<<gcd(18,12)<<endl;
    return 0;
}

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数学证明

1. 设 d = gcd(a, b)，则 d 能整除 a 和 b。

   • 因为 a = b * q + r，所以 r = a - b * q。
   • 由于 d 能整除 a 和 b，它必然也能整除 r（因为 r 是 a 和 b 的线性组合）。
   • 因此，d 是 b 和 r 的公约数，即 d 能整除 gcd(b, r)。

2. 反过来，设 d' = gcd(b, r)，则 d' 能整除 b 和 r。

   • 因为 a = b * q + r，d' 也能整除 a（同样是线性组合）。
   • 因此，d' 是 a 和 b 的公约数，即 d' 能整除 gcd(a, b)。

3. 综上：

   • d 能整除 d'（因为 d 是 b 和 r 的公约数，而 d' 是它们的最大公约数）。
   • d' 能整除 d（因为 d' 是 a 和 b 的公约数，而 d 是它们的最大公约数）。
   • 所以 d = d'，即 gcd(a, b) = gcd(b, a % b)。

另有:ab=gcd(a,b)lcm(a,b),据此可求lcm