回文自动机(PAM)复习
PAM(回文自动机)
应用
- 本质不同回文子串个数：个串的本质不同回文子串个数等于回文树的状态数（排除奇根和偶根两个状态）。
- 回文子串出现次数：由于回文树的构造过程中，节点本身就是按照拓扑序插入，因此只需要逆序枚举所有状态，将当前状态的出现次数加到其 \(fail\) 指针对应状态的出现次数上即可。
构建
- 首先一个回文串的确定：回文串最后一个字符的位置\(p\)和长度\(len\)
- 每次从上一个加入的字符的最长后缀所在节点处开始构建
- 是一个树形结构，也是由转移边和后缀连接组成，每个节点代表了一个回文子串
- 由于回文串的长度有奇偶之分，所以建议两个初始节点\(0\)和\(-1\)分别表示偶数和奇数长度
- 一条转移边不是单纯的在前面表示的回文子串后面加上这个字符，而是在前面回文子串的前后都加上这个字符
- 每个节点要维护回文子串的长度
- 一个节点的 \(fail\) 指针指向的是这个节点所代表的回文串的最长回文后缀所对应的节点(真后缀)
常用性质
- 回文树上每一个节点代表了原串上出现过的一个本质不同回文子串，原串上的每一个回文子串都在回文树上有对应。回文树上每一个点代表的串都是回文串。
- 儿子节点代表串长度为父亲节点代表串长度\(+ 2\)
- 一般还会维护一个\(trans\)指针：表示小于等于当前节点长度一半的最长回文后缀
模板
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=300005;
namespace PAM{
int sz,tot,last; //sz表示当前节点数,tot表示当前加入的字符个数
int cnt[N],node[N][26],len[N],fail[N],trans[N];
char s[N];
int new_node(int l){
sz++;
len[sz]=l;
return sz;
}
void init()
{
sz=-1,last=0;
s[tot=0]='$';
new_node(0);
new_node(-1);
fail[0]=1;
}
int getfail(int x){
while(s[tot-len[x]-1]!=s[tot]) x=fail[x];
return x;
}
void insert(char c){
s[++tot]=c;
int now=getfail(last);
if(!node[now][c-'a']){
int x=new_node(len[now]+2);
fail[x]=node[getfail(fail[now])][c-'a'];
node[now][c-'a']=x;
if(len[x]<=2)trans[x]=fail[x];
else{
int z=trans[now];
while(s[tot-len[z]-1]!=s[tot]||(len[z]+2)*2>len[x]) z=fail[z];
trans[x]=node[z][c-'a'];
}
}
last=node[now][c-'a'];
cnt[last]++;
}
}
char s[N];
int main()
{
PAM::init();
scanf("%s",s);
for(int i=0;i<s[i];i++){
PAM::insert(s[i]);
}
}
例题
1.P3649 [APIO2014] 回文串
Problem
给你一个由小写拉丁字母组成的字符串 \(s\)。我们定义 \(s\) 的一个子串的存在值为这个子串在 \(s\) 中出现的次数乘以这个子串的长度。对于给你的这个字符串 \(s\)，求所有回文子串中的最大存在值。
Solve
一个节点\(u\)通过\(fail\)指向的节点\(v\)，\(v\)所代表的的回文串的出现次数一定包括\(u\)的出现次数，并且由于是按照拓扑序加入的，所以逆序累计出现次数即可。
Code
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=300005;
namespace PAM{
int sz,tot,last; //sz表示当前节点数,tot表示当前加入的字符个数
int cnt[N],node[N][26],len[N],fail[N];
char s[N];
int new_node(int l){
sz++;
len[sz]=l;
return sz;
}
void init()
{
sz=-1,last=0;
s[tot=0]='$';
new_node(0),new_node(-1);
fail[0]=1;
}
int getfail(int x){
while(s[tot-len[x]-1]!=s[tot]) x=fail[x];
return x;
}
void insert(char c){
s[++tot]=c;
int now=getfail(last);
if(!node[now][c-'a']){
int x=new_node(len[now]+2);
fail[x]=node[getfail(fail[now])][c-'a'];
node[now][c-'a']=x;
}
last=node[now][c-'a'];
cnt[last]++;
}
ll solve(){
ll ans=0;
for(int i=sz;i>=0;i--){
cnt[fail[i]]+=cnt[i];
}
for(int i=1;i<=sz;i++){
ans=max(ans,1LL*len[i]*cnt[i]);
}
return ans;
}
}
char s[N];
int main()
{
PAM::init();
scanf("%s",s);
for(int i=0;s[i];i++){
PAM::insert(s[i]);
}
printf("%lld\n",PAM::solve());
}
