1. 中心力运动的统一模型
Central-Force Motion
两体问题可化成约化质量（reduced mass）
\[\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}
\]
的等效粒子在中心力（central force）
\[\mathbf F=F(r)\hat{\mathbf r}
\]
下运动。
因为中心力的力矩为零，
\[\boldsymbol\tau=\mathbf r\times\mathbf F=0,
\]
所以角动量（angular momentum）守恒：
\[\boxed{
L=\mu r^2\dot\varphi
}.
\]
运动因此限制在一个平面中。
2. Binet 方程
令
\[u(\varphi)=\frac1r.
\]
由
\[L=\mu r^2\dot\varphi
\]
可得
\[\dot r=-\frac{L}{\mu}u',
\]
\[\ddot r
=
-\frac{L^2}{\mu^2}u^2u''.
\]
径向运动方程
\[\mu(\ddot r-r\dot\varphi^2)=F(r)
\]
于是化为
\[\boxed{
u''+u
=
-\frac{\mu}{L^2u^2}
F\!\left(\frac1u\right)
}.
\]
这就是 Binet equation。它直接把力 \(F(r)\) 与轨道 \(r(\varphi)\) 联系起来。
3. Kepler 问题：反平方吸引力
万有引力具有形式
\[F(r)=-\frac{\kappa}{r^2},
\qquad
\kappa>0.
\]
由于
\[r^{-2}=u^2,
\]
Binet 方程变成
\[u''+u
=
\frac{\mu\kappa}{L^2}.
\]
其解为
\[u
=
\frac{\mu\kappa}{L^2}
\left(
1+e\cos\varphi
\right).
\]
于是
\[\boxed{
r
=
\frac{p}{1+e\cos\varphi},
\qquad
p=\frac{L^2}{\mu\kappa}
}.
\]
这正是以力中心为一个焦点的圆锥曲线（conic section）。
偏心率（eccentricity）满足
\[\boxed{
e^2
=
1+
\frac{2EL^2}{\mu\kappa^2}
}.
\]
因此：
\[E<0
\Rightarrow
e<1
\Rightarrow
\text{ellipse},
\]
\[E=0
\Rightarrow
e=1
\Rightarrow
\text{parabola},
\]
\[E>0
\Rightarrow
e>1
\Rightarrow
\text{hyperbola}.
\]
行星是束缚态（bound state），所以 \(E<0\)，轨道为椭圆。这就是 Kepler's first law 的动力学来源。
4. Coulomb 散射为什么是双曲线？
Rutherford 散射中，同号电荷之间是斥力：
\[\boxed{
F(r)=+\frac{\kappa}{r^2},
\qquad
\kappa=
\frac{Z_1Z_2e^2}{4\pi\varepsilon_0}
}.
\]
Binet 方程变为
\[u''+u
=
-\frac{\mu\kappa}{L^2}.
\]
解可写成
\[\boxed{
r=
\frac{p}{e\cos\varphi-1},
\qquad
p=\frac{L^2}{\mu\kappa}
}.
\]
这仍然是圆锥曲线。
散射粒子从无穷远处以非零速度入射，所以
\[E_k=\frac12\mu v_\infty^2>0.
\]
而偏心率仍满足
\[e^2
=
1+
\frac{2EL^2}{\mu\kappa^2}>1.
\]
因此
\[\boxed{
e>1
}
\]
必然对应双曲线。
所以课件中的结论
the trajectory of the incident particle is a branch of the hyperbola, and the target nucleus is on one of the focuses
可以理解为：
\[\boxed{
\frac1{r^2}\text{ 中心力}
\Rightarrow
\text{圆锥曲线},
\qquad
E_k>0
\Rightarrow
\text{双曲线}
}.
\]
5. 从双曲线得到散射角
库仑斥力轨道为
\[r=
\frac{p}{e\cos\varphi-1}.
\]
在无穷远处
\[r\to\infty,
\]
因此
\[e\cos\varphi_\infty=1.
\]
即
\[\cos\varphi_\infty=\frac1e.
\]
由双曲线渐近线（asymptote）的几何关系，
\[\theta=\pi-2\varphi_\infty.
\]
所以
\[\boxed{
e=\csc\frac{\theta}{2}
}.
\]
另一方面
\[L=\mu v_\infty b,
\qquad
E_k=\frac12\mu v_\infty^2.
\]
由
\[e^2
=
1+
\frac{2EL^2}{\mu\kappa^2}
\]
得到
\[e^2
=
1+
\left(
\frac{2E_kb}{\kappa}
\right)^2.
\]
再利用
\[e^2-1
=
\cot^2\frac{\theta}{2},
\]
得到
\[\boxed{
b=
\frac{\kappa}{2E}
\cot\frac{\theta}{2}
}.
\]
这正是 Coulomb scattering formula。
因此课件上的散射公式也可以理解为“双曲线轨道的渐近线几何”。
6. 一般中心力与轨迹的关系
对于任意中心力，都有
\[\boxed{
u''+u
=
-\frac{\mu}{L^2u^2}
F(1/u)
}.
\]
因此可以把问题抽象成：
\[F(r)
\longrightarrow
\text{Binet equation}
\longrightarrow
r(\varphi).
\]
几个典型例子：
| Force |
Orbit |
| \(F=0\) |
straight line |
| \(F\propto1/r^2\) |
conic section |
| \(F=-kr\) |
ellipse centered at force center |
| 一般 \(F(r)\) |
通常出现更复杂、可能进动的轨道 |
反平方力特殊之处在于 Binet 方程右端恰好成为常数，因此轨道能够直接写成
\[u=A+B\cos\varphi,
\]
即圆锥曲线。
7. 最后记忆
Kepler：
\[F=-\frac{\kappa}{r^2}
\quad\Rightarrow\quad
r=\frac{p}{1+e\cos\varphi}.
\]
束缚态：
\[E<0
\Rightarrow e<1
\Rightarrow \text{ellipse}.
\]
Rutherford：
\[F=+\frac{\kappa}{r^2},
\qquad
E_k>0
\Rightarrow e>1
\Rightarrow \text{hyperbola}.
\]
散射角：
\[e=\csc\frac{\theta}{2}.
\]
最终：
\[\boxed{
b=
\frac{\kappa}{2E}
\cot\frac{\theta}{2}
}.
\]
反平方中心力与库仑散射轨迹
浙公网安备 33010602011771号