Rutherford Scattering

1. 阴极射线与电子荷质比

Cathode Ray Tube & Charge-to-Mass Ratio

Thomson 的阴极射线管实验（cathode ray tube experiment）说明阴极射线由带负电粒子组成，即电子（electron）。

1.1 实验模型

电子以速度 \(v\) 通过长度为 \(l\) 的偏转板（deflection plates），板间电场为 \(E\)。荧光屏到偏转区域的有效距离为 \(L\)，只加电场时光斑偏移量为 \(h\)。

再施加垂直磁场 \(B\)，调节到电子束重新回到原位置。此时电场力和磁场力平衡：

\[eE=evB, \]

所以

\[\boxed{v=\frac{E}{B}}. \]

只保留电场时，电子在板间获得横向动量

\[\Delta p_\perp = eE\frac{l}{v}. \]

小角近似下（small-angle approximation）

\[\tan\alpha \simeq \frac{\Delta p_\perp}{m_ev} = \frac{eEl}{m_ev^2}. \]

又有

\[\tan\alpha\simeq\frac{h}{L}, \]

因此

\[\frac{h}{L} = \frac{eEl}{m_ev^2}. \]

代入 \(v=\mathcal E/B\)：

\[\boxed{ \frac{e}{m_e} = \frac{Eh}{LlB^2} }. \]

课程中给出的 Thomson 实验值约为

\[\frac{e}{m_e}\approx1.7\times10^{11}\ \mathrm{C/kg}. \]

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2. Thomson 模型为什么失败？

Difficulties of Thomson's Model

Thomson 的“葡萄干布丁模型”（plum-pudding model）认为正电荷均匀分布在半径约为原子半径 \(R\) 的区域内，电子嵌在其中。

Rutherford 散射实验（Rutherford \(\alpha\)-particle scattering experiment）却观察到：

• 大多数 \(\alpha\) 粒子几乎直线穿过；
• 少量发生大角偏转（large-angle scattering）；
• 约 \(1/8000\) 的粒子散射角大于 \(90^\circ\)；
• 极少量甚至发生接近 \(180^\circ\) 的背散射（backscattering）。

2.1 按课件估算单次最大偏转

正电荷均匀分布时，最强作用发生在 \(r=R\)：

\[F_{\max} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2Ze^2}{R^2}. \]

\(\alpha\) 粒子在原子附近的作用时间量级

\[\Delta t\sim\frac{2R}{v}. \]

因此动量变化上界约为

\[\Delta p \sim F_{\max}\Delta t. \]

于是

\[\tan\theta \sim \frac{\Delta p}{p} = \frac{2Z(e^2/4\pi\varepsilon_0R)} {m_\alpha v^2/2}. \]

利用

\[\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0} \simeq1.44\ \mathrm{MeV\,fm}, \qquad R\sim0.1\ \mathrm{nm}, \]

对于几 MeV 的 \(\alpha\) 粒子，单次偏转只有约

\[\theta\lesssim10^{-3}\ \mathrm{rad}. \]

课件进一步用多重随机散射（multiple scattering）的高斯分布估算，得到 \(\theta>90^\circ\) 的概率小到约 \(10^{-3500}\)，而实验约为 \(1/8000\)。

因此大角散射不可能由弥散的正电荷产生。正电荷和绝大部分质量必须集中在很小的原子核（nucleus）内。

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3. 库仑散射公式

Coulomb Scattering Formula

考虑入射粒子电荷 \(Z_1e\)、质量 \(m\)，靶核电荷 \(Z_2e\)。

课件假设（assumptions）：

1. 单次散射（single scattering）；
2. 只有库仑相互作用（Coulomb interaction）；
3. 忽略核外电子（extranuclear electrons）；
4. 先假设靶核静止（stationary target nucleus）。

定义瞄准距离（impact parameter）为 \(b\)。

角动量守恒：

\[L=mvb=mr^2\frac{d\varphi}{dt}. \]

库仑力：

\[\mathbf F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Z_1Z_2e^2}{r^3}\mathbf r = m\frac{d\mathbf v}{dt}. \]

利用

\[dt=\frac{mr^2}{L}d\varphi, \]

消去 \(dt\)：

\[d\mathbf v = \frac{Z_1Z_2e^2}{4\pi\varepsilon_0L} \frac{\mathbf r}{r}\,d\varphi. \]

按课件几何关系积分：

\[\left|\int d\mathbf v\right| = 2v\sin\frac{\theta}{2}, \]

\[\left| \int\frac{\mathbf r}{r}d\varphi \right| = 2\cos\frac{\theta}{2}. \]

所以

\[2v\sin\frac{\theta}{2} = \frac{Z_1Z_2e^2}{4\pi\varepsilon_0L} 2\cos\frac{\theta}{2}. \]

再用

\[L=mvb, \qquad E_k=\frac12mv^2, \]

得到

\[\boxed{ b= \frac{Z_1Z_2e^2}{8\pi\varepsilon_0E_k} \cot\frac{\theta}{2} }. \]

定义库仑散射因子（Coulomb scattering factor）

\[a= \frac{Z_1Z_2e^2}{4\pi\varepsilon_0E_k}, \]

则

\[\boxed{ b=\frac a2\cot\frac{\theta}{2} }. \]

核心关系：

\[b\uparrow\Rightarrow\theta\downarrow, \qquad b\downarrow\Rightarrow\theta\uparrow. \]

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4. 质心系修正

Center-of-Mass Correction

靶核实际上会反冲（recoil）。严格的库仑散射公式应在质心系（center-of-mass frame, CM frame）中使用。

约化质量（reduced mass）：

\[\boxed{ \mu=\frac{mM}{m+M} }. \]

若实验室系（laboratory frame, lab frame）中靶核初始静止，

\[E_{k,L}=\frac12mv^2, \]

则质心系相对运动能量为

\[E_{k,C}=\frac12\mu v^2 = \boxed{ \frac{M}{m+M}E_{k,L} }. \]

因此在库仑散射公式中使用

\[E_k\rightarrow E_{k,C}, \qquad \theta\rightarrow\theta_C. \]

即

\[\boxed{ b= \frac{Z_1Z_2e^2}{8\pi\varepsilon_0E_{k,C}} \cot\frac{\theta_C}{2} }. \]

若

\[M\gg m, \]

则

\[E_{k,C}\simeq E_{k,L}, \]

重核靶通常可近似视为静止。

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5. 卢瑟福散射公式

Rutherford Scattering Formula

实验无法直接测量 \(b\)，因此需要把 \(b\) 转换成可测的角分布。

由

\[b=\frac a2\cot\frac{\theta}{2}, \]

瞄准距离在 \(b\) 到 \(b-db\) 的粒子对应入射环带面积

\[d\sigma=2\pi b|db|. \]

求导：

\[\left|\frac{db}{d\theta}\right| = \frac a4\csc^2\frac{\theta}{2}. \]

所以

\[d\sigma = \frac{\pi a^2}{4} \frac{\cos(\theta/2)} {\sin^3(\theta/2)}d\theta. \]

另一方面，\(\theta\) 到 \(\theta+d\theta\) 的空心圆锥立体角（solid angle）为

\[d\Omega = 2\pi\sin\theta\,d\theta. \]

因此

\[\boxed{ \frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{a^2}{16} \frac{1}{\sin^4(\theta/2)} }. \]

即

\[\boxed{ \frac{d\sigma}{d\Omega} = \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Z_1Z_2e^2}{4E_k} \right)^2 \frac{1}{\sin^4(\theta/2)} }. \]

这就是 Rutherford 微分散射截面（differential scattering cross section）。

对于 \(\alpha\) 粒子，\(Z_1=2\)：

\[\boxed{ \frac{d\sigma}{d\Omega} = \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Ze^2}{2E_\alpha} \right)^2 \frac{1}{\sin^4(\theta/2)} }. \]

需要记住的比例关系：

\[\boxed{ \frac{d\sigma}{d\Omega} \propto Z_1^2Z_2^2E_k^{-2}\sin^{-4}\frac{\theta}{2} }. \]

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6. 薄靶计数公式

Thin-Foil Counting Formula

若靶核数密度为 \(n\)，箔厚为 \(t\)，则单位面积靶核数为

\[nt. \]

散射到立体角 \(d\Omega\) 内的概率：

\[\boxed{ \frac{dN}{N} = nt\,d\sigma = nt\frac{d\sigma}{d\Omega}d\Omega }. \]

若给出质量面密度（mass thickness）\(\rho t\)：

\[\boxed{ nt=\frac{N_A\rho t}{A} }. \]

若粒子与箔表面成角 \(\beta\) 入射，则有效面密度为

\[\boxed{ nt=\frac{N_A\rho t}{A\sin\beta} }. \]

小探测器面积为 \(S\)、距离为 \(L\) 时，

\[\boxed{ \Delta\Omega\simeq\frac{S}{L^2} }. \]

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7. 最近接距离

Distance of Closest Approach

最近接点（distance of closest approach）满足径向速度为零。

课件由能量和角动量守恒得到

\[r_m^2-ar_m-\frac{a^2}{4}\cot^2\frac{\theta}{2}=0. \]

解得

\[\boxed{ r_m = \frac a2 \left( 1+\csc\frac{\theta}{2} \right) }. \]

正碰（head-on collision）时

\[\theta=180^\circ, \]

因此

\[\boxed{ r_m=a = \frac{Z_1Z_2e^2} {4\pi\varepsilon_0E_k} }. \]

若考虑反冲，应把 \(E_k\) 换成 \(E_{k,C}\)。

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8. 四道作业题

Example 1 — Au 与 \({}^7\mathrm{Li}\) 的最近接距离

\(E_{\alpha,L}=4.5\ \mathrm{MeV}\)，\(\alpha\) 粒子正碰。

固定靶核近似：

\[r_m = \frac{1.44Z_1Z_2}{E}\ \mathrm{fm}. \]

Au：\(Z_2=79\)，

\[\boxed{ r_m\simeq50.6\ \mathrm{fm} }. \]

\({}^7\mathrm{Li}\)：\(Z_2=3\)，

\[r_m\simeq1.92\ \mathrm{fm}. \]

但 Li 很轻，应考虑反冲：

\[E_{\alpha,C}=\frac{7}{7+4}(4.5)=2.86\ \mathrm{MeV}, \]

所以

\[\boxed{ r_m\simeq3.02\ \mathrm{fm} }. \]

复习点： 重核 \(M\gg m\) 时实验室系近似足够；轻核必须注意 CM correction。

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Example 2 — 质子束轰击 Au 箔

已知

\[E=1.0\ \mathrm{MeV}, \quad \rho t=1.5\ \mathrm{mg/cm^2}, \quad \theta=60^\circ, \]

\[L=10\ \mathrm{cm}, \quad S=1.5\ \mathrm{cm^2}. \]

靶核面密度：

\[nt = \frac{N_A\rho t}{A} \simeq 4.59\times10^{18}\ \mathrm{cm^{-2}}. \]

探测器立体角：

\[\Delta\Omega \simeq \frac{S}{L^2} = 1.5\times10^{-2}\ \mathrm{sr}. \]

代入 Rutherford 公式：

\[\boxed{ \frac{\Delta N}{N} \simeq 8.9\times10^{-6} }. \]

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Example 3 — 由积分散射概率求微分截面

Ta 箔：

\[\rho t=2.0\ \mathrm{mg/cm^2}, \qquad P(\theta>20^\circ)=4.0\times10^{-3}. \]

首先

\[nt = \frac{N_A\rho t}{A_{\rm Ta}} \simeq 6.66\times10^{18}\ \mathrm{cm^{-2}}. \]

Rutherford 公式积分后：

\[\boxed{ \sigma(\theta>\theta_0) = \frac{\pi a^2}{4} \cot^2\frac{\theta_0}{2} }. \]

所以由

\[P=nt\,\sigma \]

求出 \(a^2\)，再代入

\[\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{a^2}{16\sin^4(\theta/2)}. \]

在 \(\theta=60^\circ\)：

\[\boxed{ \frac{d\sigma}{d\Omega} \simeq 2.38\times10^{-23}\ \mathrm{cm^2/sr} = 23.8\ \mathrm{barn/sr} }. \]

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Example 4 — \(\alpha\) 粒子轰击 Al

已知

\[Z=13, \qquad A=27, \qquad E=4.0\ \mathrm{MeV}. \]

(1) 正碰最近接距离

\[r_m = \frac{1.44\times2\times13}{4.0} \simeq \boxed{9.36\ \mathrm{fm}}. \]

Al 核半径

\[R\simeq1.2A^{1/3} =3.60\ \mathrm{fm}. \]

因此 \(r_m>R\)，此能量下仍未到达核表面。

(2) \(\theta:30^\circ\to60^\circ\)

因为

\[\frac{d\sigma}{d\Omega} \propto \sin^{-4}\frac{\theta}{2}, \]

所以

\[\frac{\sigma(60^\circ)}{\sigma(30^\circ)} = \left( \frac{\sin15^\circ}{\sin30^\circ} \right)^4 \simeq \boxed{0.0718}. \]

即约减小 \(13.9\) 倍。

(3) Al 换成 Au

若几何厚度和密度相同，

\[N_s\propto\frac{Z^2}{A}. \]

因此

\[\frac{N_{\rm Au}}{N_{\rm Al}} = \frac{A_{\rm Al}}{A_{\rm Au}} \left( \frac{Z_{\rm Au}}{Z_{\rm Al}} \right)^2 \simeq \boxed{5.06}. \]

(4) 刚好接触 Al 核表面

令

\[r_m=R=3.60\ \mathrm{fm}, \]

固定靶核近似：

\[E_{\min} = \frac{1.44\times2\times13}{3.60} \simeq \boxed{10.4\ \mathrm{MeV}}. \]

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9. 课件 Ag 箔例题（采用修正后的数据）

\(\alpha\) 粒子：

\[E_\alpha=3.5\ \mathrm{MeV}. \]

Ag 箔质量面密度：

\[\rho t=1.05\ \mathrm{mg/cm^2}. \]

粒子束与箔表面成

\[60^\circ. \]

探测方向：

\[\theta=20^\circ. \]

探测器：

\[L=12\ \mathrm{cm}, \qquad d=2\ \mathrm{mm}. \]

采用修正后的实验比例

\[\boxed{ \frac{dN}{N}=1.52\times10^{-6} }. \]

按课件：

\[nt= \frac{N_A\rho t}{A\sin60^\circ}, \]

\[d\Omega = \frac{\pi d^2}{4L^2}, \]

以及

\[\frac{dN}{N} = nt \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Ze^2}{2E_\alpha} \right)^2 \frac{d\Omega}{\sin^4(\theta/2)}. \]

代入

\[A_{\rm Ag}=107.9 \]

解得

\[Z^2\simeq2212, \]

所以

\[\boxed{Z\simeq47}. \]

与 Ag 的核电荷一致。

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10. Rutherford 模型的意义与局限

10.1 意义（Significance）

• 建立原子的核式结构（nuclear structure of the atom）；
• 说明原子绝大部分空间为空；
• 开创用散射研究微观结构的方法；
• 后续发展出 Rutherford 背散射谱（Rutherford Backscattering Spectroscopy, RBS）。

10.2 Rutherford 公式的适用限制

小角度（small scattering angles）

当 \(\theta\) 很小时，\(b\) 很大，核外电子屏蔽（electron-cloud shielding）不能忽略，势不再是纯库仑势。

靶核反冲（nuclear recoil）

严格计算应在质心系完成，再转换到实验室系。

高能、大角散射

若最近接距离接近核尺度，有限核尺寸（finite nuclear size）和核力（nuclear force）开始影响结果。

10.3 Rutherford 原子模型本身的困难

经典模型中电子绕核运动具有加速度。按照经典电动力学，加速电荷会辐射能量，因此电子应逐渐失能并落入原子核。

它也无法解释：

• 原子的长期稳定性（atomic stability）；
• 原子离散光谱（discrete atomic spectra）。

这些问题将引出 Bohr model 和后续量子理论。

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11. 常用常数

\[\boxed{ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0} \simeq 1.44\ \mathrm{MeV\,fm} } \]

\[N_A = 6.022\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}} \]

\[1\ \mathrm{fm}=10^{-15}\ \mathrm m \]

\[1\ \mathrm{barn} = 10^{-28}\ \mathrm{m^2} = 100\ \mathrm{fm^2} \]

\[R_{\rm nucleus} \simeq 1.2A^{1/3}\ \mathrm{fm}. \]

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12. 公式汇总

\[\boxed{ b=\frac a2\cot\frac{\theta}{2}, \qquad a=\frac{Z_1Z_2e^2}{4\pi\varepsilon_0E_k} } \]

\[\boxed{ \frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{a^2}{16\sin^4(\theta/2)} } \]

\[\boxed{ \frac{dN}{N} = nt\frac{d\sigma}{d\Omega}d\Omega } \]

\[\boxed{ r_m = \frac a2 \left( 1+\csc\frac{\theta}{2} \right) } \]

正碰：

\[\boxed{r_m=a} \]

质心系：

\[\boxed{ \mu=\frac{mM}{m+M}, \qquad E_C=\frac{M}{m+M}E_{k,L} }. \]