最小偏向角说明

很无聊的东西，因为细致且严谨的证明是 trivial 的，在此只是给一个大概的说明。

我们假设入射角 \(i\)，折射角 \(r\)，而三棱镜另一面的入射角为 \(r'\)，出射角为 \(i'\)；另外，顶角为 \(\alpha\)。

几何关系容易知道：

\[r+r'=\alpha \]

从而偏折角大小：

\[\delta = (i - r) + (i'- r') = i+i'-\alpha \]

同时我们有折射定律 \(\dfrac{\sin i}{\sin r} = \dfrac{\sin i'}{\sin r'} = n\)，从而这个问题可以转化为一个关于 \(i\) 与 \(i'\) 的多元极值问题，使用 Lagrange 乘数法：

\[L ( i , i' , \lambda) = \delta ( i , i ') + \lambda \varphi(i , i') \]

其中：

\[\varphi (i ,i') = \arcsin \left(\dfrac{\sin i }{ n }\right) + \arcsin \left(\dfrac{\sin i' }{ n }\right) - \alpha \]

那么由 \(L _ {i} (i , i' ,\lambda) = L _ {i'} (i , i' ,\lambda) = 0\)，我们很容易得到如下等式：

\[1+ \lambda \dfrac{\cos i / n}{\sqrt{1 - \sin ^ 2 i / n^2}} = 1+ \lambda \dfrac{\cos i' / n}{\sqrt{1 - \sin ^ 2 i' / n^2}} \]

由于 \(\lambda \ne 0\)，我们很容易将其转化为如下关系：

\[\dfrac{\cos ^ 2 i}{(n^2 - 1) + \cos ^ 2 i} =\dfrac{\cos ^ 2 i}{(n^2 - 1) + \cos ^ 2 i} \]

不妨令 \(a = n ^ 2 - 1\)，\(f(x) = x /(a+x)\)。

容易知道 \(a>0\)，从而 \(f(x)\) 在 \((0 , 1)\) 上是单调递增的。

故 \(f(\cos ^ 2 i ) = f(\cos ^ 2 i' )\) 等价于 \(i = i'\)。

其实更流氓一点，我们知道 \(i\) 与 \(i'\) 的数值关系有对称性，那么这个极值肯定就在二者相等时取到。

而代入边界值条件得到偏向角 $\delta _ 1 $，代入极值条件得到偏向角 \(\delta _ 2\)，容易验证出 \(\delta _ 1 > \delta _ 2\)，而原函数又是一个连续的函数，从而该位置必定取到了极小值。

由此我们说明了分光仪实验中为什么 \(i = i'\) 时取到最小偏向角。