避雷针 Lightning Conductor

POI2011 避雷针 Lightning Conductor

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题意

气候变化使 \(Byteburg\) 不得不建造一个大型避雷针来保护城市里的所有建筑物。建筑物恰好沿一条街，从 \(1\) 到 \(n\) 编号。

建筑物的高度和避雷针的高度都是非负整数。\(Byteburg\)经费有限，只能建造一个避雷针。而且避雷针越高，价格越贵。

在建筑物 \(i\)（高度为 \(h_i\) ）屋顶放置高为 \(p\) 的避雷针能够保护建筑物 \(j\) 的条件是：

\[h_j \le h_i + p - \sqrt{\lvert i - j \rvert} \]

其中 \(\lvert i - j \rvert\) 表示 \(i\) 和 \(j\) 差的绝对值。

\(Byteburg\) 需要你帮它计算，如果在第\(i\)个建筑物的屋顶放置这样的避雷针的话，避雷针的最小高度是多少。

题解

感觉这题好套路啊……
显然的一个计算公式:

\[h_i+p=Max \{ h_j+ \sqrt{ | i - j | } \} \]

于是我们就可以分前半部分和后半部分来算，最后取个\(Max\)。考虑前半部分，那么这个决策实际上是单调的。假设\(j<k\)，如果\(h_j+\sqrt{ | i - j | } < h_k + \sqrt { | i - k |}\)，那么\(j\)的决策是永远不会变成最优的。因为\(\sqrt{x}\)的增长速度比\(x\)要慢。于是我们就可以维护单调队列了。正着做一遍，反着做一遍就可以了。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+500;
typedef long long ll;
int n,tail,head;
ll h[N];
double ans[2][N];
struct node {
  int l,r,idx;
};
node que[N],nw;

double Calc(int x,int y) {
  return (double)h[x]+sqrt(abs(x-y))-h[y];
}

int Check(node x,int i) {
  double ans1=Calc(x.idx,x.l),ans2=Calc(i,x.l);
  return ans1<ans2;
}

void Solve(int tp) {
  head=0,tail=-1;
  for(int i=1;i<=n;i++) {
    if(head<=tail) {
      que[head].l++;
      if(que[head].l>que[head].r) ++head;
      if(head<=tail) {
	    ans[tp][i]=Calc(que[head].idx,i);
      }
    }
    if(head>tail||Calc(que[tail].idx,n)<Calc(i,n)) {
      while(head<=tail&&Check(que[tail],i)) --tail;
      if(head<=tail) {
	    int L=que[tail].l,R=que[tail].r,Ans=-1;
	    while(L<R) {
	      int Mid=(L+R)>>1;
	      if(Calc(que[tail].idx,Mid)<Calc(i,Mid)) R=Mid-1;
	      else L=Mid+1;
	    }
	    que[tail].r=L-1;
	`   que[++tail]=(node){L,n,i};
      }
      else que[++tail]=(node){i,n,i};
    }
  }
}

int main() {
  scanf("%d",&n);
  for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&h[i]);
  Solve(0);
  reverse(h+1,h+1+n);
  Solve(1);
  for(int i=1;i<=n;i++) {
    ll ret=ceil(max(ans[0][i],ans[1][n-i+1]));
    printf("%lld\n",max(0ll,ret));
  }
  return 0;
}