大力出奇迹——字符串哈希
什么是字符串哈希
字符串哈希,即把字符串转化为一个 b a s e base base进制的数字
哈希的过程
把字符串a看做一个base进制的数字, 则a的每个前缀的哈希值为
h
a
s
h
[
i
]
hash[i]
hash[i]
=
=
=
(
h
a
s
h
[
i
−
1
]
∗
b
a
s
e
+
a
[
i
]
)
%
m
o
d
(hash[i-1] * base + a[i]) \% mod
(hash[i−1]∗base+a[i])%mod
其中,
b
a
s
e
base
base和
m
o
d
mod
mod一般取质数,可以减小冲突
把
h
a
s
h
hash
hash数组定义为无符号类型,可以不模,使其自然溢出
然鹅单哈希容易被卡,最好使用双哈希
双哈希
取不同的base和mod,做两次哈希,得到两组值:
h
a
s
h
1
[
]
,
h
a
s
h
2
[
]
hash1[], hash2[]
hash1[],hash2[]
此时原串的哈希值为一个
p
a
i
r
pair
pair
实测双哈希不会慢太多,可放心使用。
字符串哈希的用处
观察每个前缀串的哈希值可得:
h
a
s
h
[
l
,
r
]
=
h
a
s
h
[
r
]
−
h
a
s
[
l
−
1
]
∗
b
a
s
e
r
−
l
+
1
hash[l, r] = hash[r] - has[l-1]*base^{r-l+1}
hash[l,r]=hash[r]−has[l−1]∗baser−l+1(当hash不为无符号数时,减法后取模需
%
m
o
d
+
m
o
d
)
%
m
o
d
\%mod + mod) \% mod
%mod+mod)%mod)
于是可以
O
(
1
)
O(1)
O(1)求得任意子串的哈希值。
简单的说,字符串哈希可以在字符串匹配的过程中,把两个字符串的比较转化为两个数字的比较,在时间上消掉一个
n
n
n
例题
题目链接
题意:两个串的最长公共子串
(听说后缀自动机能
O
(
n
)
O(n)
O(n)求。晚点再补两份后缀数组
&
&
\&\&
&&后缀自动机的代码。)
解法:
预处理出a和b每个前缀的哈希值
因为最长公共子串的性质,存在长度为
m
m
m的最长公共子串,就一定存在长度为
m
−
1
m-1
m−1的最长公共子串。
所以可以二分答案
check的时候,把a长度为m的所有子串的哈希值排序,对b的每个长度为m的哈希值,在有序序列中二分查找,能找到则check函数返回1。
时间复杂度:check里面一次排序
n
l
o
g
n
nlogn
nlogn, 二分答案
l
o
g
n
logn
logn,一共
n
l
o
g
2
n
nlog^2n
nlog2n。
看到一种更好的做法 ,把check中排序+二分的操作换成哈希,可以再消掉一个
l
o
g
log
log…
这里放一个双哈希的
n
l
o
g
2
n
nlog^2n
nlog2n的代码。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
typedef pair<ull, ull> puu;
const int base1 = 31;
const int base2 = 196613;
puu has1[100005], has2[100005];
ull p1[100005], p2[100005];
void Hash(const string &a, puu has[])
{
has[0] = {a[0], a[0]};
int len = a.size();
for (int i = 1; i < len; ++i)
{
has[i].first = has[i - 1].first * base1 + a[i];
has[i].second = has[i - 1].second * base2 + a[i];
}
}
puu sub(int l, int r, puu has[])
{
if (!l)
return has[r];
puu ans;
ans.first = has[r].first - has[l - 1].first * p1[r - l + 1];
ans.second = has[r].second - has[l - 1].second * p2[r - l + 1];
return ans;
}
ull lena, lenb;
vector<puu> h;
bool ok(int n, int lena, int lenb)
{
h.clear();
for (int i = n - 1; i < lena; ++i)
h.push_back(sub(i-n+1, i, has1));
sort(h.begin(), h.end());
puu t;
for (int i = n - 1; i < lenb; ++i)
{
t = sub(i - n + 1, i, has2);
if (binary_search(h.begin(), h.end(), t))
return 1;
}
return 0;
}
string a, b;
int main()
{
cin >> a >> b;
Hash(a, has1);
Hash(b, has2);
p1[0] = p2[0] = 1;
for (int i = 1; i <= 100005; ++i)
{
p1[i] = base1 * p1[i - 1];
p2[i] = base2 * p2[i - 1];
}
int l = 1, r = min(a.size(), b.size()), m;
while (l <= r)
{
m = l + r >> 1;
if (ok(m, a.size(), b.size()))
l = m + 1;
else
r = m - 1;
}
cout << r;
return 0;
}