清华上机-整数拆分

题目：

一个整数总可以拆分为2的幂的和，例如：
7=1+2+4
7=1+2+2+2
7=1+1+1+4
7=1+1+1+2+2
7=1+1+1+1+1+2
7=1+1+1+1+1+1+1
总共有六种不同的拆分方式。
再比如：4可以拆分成：4 = 4，4 = 1 + 1 + 1 + 1，4 = 2 + 2，4=1+1+2。
用f(n)表示n的不同拆分的种数，例如f(7)=6.
要求编写程序，读入n(不超过1000000)，输出f(n)%1000000000。输入：每组输入包括一个整数：N(1<=N<=1000000)。输出：对于每组数据，输出f(n)%1000000000。样例输入：7样例输出：6

 

搬运一下思路：

记f(n)为n的划分数，我们有递推公式：

 

    f(2m + 1) = f(2m)，

f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，

初始条件：f(1) = 1。

 

    证明:

 

    证明的要点是考虑划分中是否有1。

 

    记:

A(n) = n的所有划分组成的集合，

B(n) = n的所有含有1的划分组成的集合，

C(n) = n的所有不含1的划分组成的集合，

则有: A(n) = B(n)∪C(n)。

 

    又记:

f(n) = A(n)中元素的个数，

g(n) = B(n)中元素的个数，

h(n) = C(n)中元素的个数，

易知: f(n) = g(n) + h(n)。

 

    以上记号的具体例子见文末。

 

    我们先来证明: f(2m + 1) = f(2m)，

首先，2m + 1 的每个划分中至少有一个1，去掉这个1，就得到 2m 的一个划分，故 f(2m + 1)≤f(2m)。

其次，2m 的每个划分加上个1，就构成了 2m + 1 的一个划分，故 f(2m)≤f(2m + 1)。

综上，f(2m + 1) = f(2m)。

 

    接着我们要证明: f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，

把 B(2m) 中的划分中的1去掉一个，就得到 A(2m - 1) 中的一个划分，故 g(2m)≤f(2m - 1)。

把 A(2m - 1) 中的划分加上一个1，就得到 B(2m) 中的一个划分，故 f(2m - 1)≤g(2m)。

综上，g(2m) = f(2m - 1)。

 

    把 C(2m) 中的划分的元素都除以2，就得到 A(m) 中的一个划分，故 h(2m)≤f(m)。

把 A(m) 中的划分的元素都乘2，就得到 C(2m) 中的一个划分，故 f(m)≤h(2m)。

综上，h(2m) = f(m)。

 

    所以: f(2m) = g(2m) + h(2m) = f(2m - 1) + f(m)。                                            

 

    这就证明了我们的递推公式。

附链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/376537f4609a49d296901db5139639ec

附代码:

#include<iostream>
#define MAXSIZE 1000001
using namespace std;
 
int main(){
    int n;
    int result[MAXSIZE];
    result[0] = result[1] = 1;
    for(int i = 2; i<MAXSIZE; ++i){
        if(i%2 == 0){
            result[i] = (result[i-1] + result[i/2])%1000000000;
        }
        else{
            result[i] = result[i-1]%1000000000;
        }
    }
    while(scanf("%d",&n) != EOF)
        cout<<result[n]<<endl;
    return 0;
}

　　附java代码:

public class fs_7 {
    private static final int maxSize = 10000001;
    static Long [] arr=new Long[maxSize];


    public static void main(String[] args) {
        arr[0]= Long.valueOf(1);
        arr[1]= Long.valueOf(1);
        for (int i = 2; i <maxSize ; i++) {
            if(i%2==1){
                arr[i]= arr[i-1];

            }
            else
                arr[i]= (arr[i-1]+arr[i/2])%1000000000;
            
        }
        Scanner scanner=new Scanner(System.in);

        while(scanner.hasNextInt()){
            int n=scanner.nextInt();
            System.out.println(arr[n]);
        }

    }
}