第七节无穷小的比较

两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度

下面的 α 及 β 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且 \(α≠0\), \(\lim \frac{\beta}{\alpha}\) 也是在这个变化过程中的极限.
定义：
如果 \(\Large \lim \frac{\beta}{\alpha} = 0\),那么就说 β 是比 α 高阶的无穷小，记作 \(β=\circ (a)\);

如果 \(\Large \lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty\),那么就说 β 是比 α 低阶的无穷小；

如果 \(\Large \lim \frac{\beta}{\alpha}=c\neq 0\),那么就说 β 与 α 是同阶无穷小；

如果 \(\Large \lim \frac{\beta}{\alpha^k} =c\neq 0, k > 0\),那么就说 β 是关于 α 的 k 阶无穷小

如果 \(\Large \lim \frac{\beta}{\alpha}=1\), 那么就说 β 与 α 是等价无穷小，记作 \(\alpha \sim β\).

显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，即 c=1 的情形

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例1证明：