概率论

概率论与数理统计

概率论与数理统计
- 第一章概率论的基本概念

第一章概率论的基本概念

确定性现象：在一定条件下必然发生。例如：向上抛一颗石子必然下落，同性电荷必相互排斥

统计规律性：在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性

随机现象：在个别实验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象

概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科

1. 随机试验

随机试验:

可以在相同条件下重复的进行
每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果
进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现

本书中以后提到的试验都是随机试验。
本书通过研究随机试验来研究随机现象。

2. 样本空间、随机事件

(一) 样本空间

样本空间：随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间，记作 S
样本点：样本空间的元素，即 E 的每个结果

(二) 随机事件

随机事件：称随机试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的随机事件，简称事件

事件发生：当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生

基本事件：由一个样本点组成的单点集

必然事件：样本空间 S 包含所有的样本点，它是 S 自身的子集，在每次试验中它总是必然发生的，S 称为必然事件

不可能事件：空集 $\emptyset$ 不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，$\emptyset$ 称为不可能事件

(三) 事件间的关系与事件的运算

事件是一个集合，因而事件间的关系与事件的运算按照集合论中集合之间的关系和集合运算来处理。

设试验 E 的样本空间为 S, 而 $A, B, A_k(k = 1, 2, 3,...)$ 是 S 的子集：

若 $A\subset B$, 则称事件 B 包含事件 A, 这指的是事件 A 发生必然导致事件 B 发生。
若 $A\subset B $ 且 $B \subset A$, 即 A = B, 则称事件 A 与事件 B 相等。
事件 $A\cup B=\{x|x\in A \;或\; x\in B\}$ 称为事件 A 与事件 B 的和事件。当且仅当 A,B 中至少有一个发生时，事件 $A\cup B$ 发生。
类似地，称 $\overset{n}{{\underset{k=1}\bigcup}}A_k$ 为 n 个事件 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 的和事件；称 $\overset{\infty}{{\underset{k=1}\bigcup}}A_k$ 为可列个事件 $A_1, A_2, \cdots$ 的和事件。
事件 $A\cap B=\{x|x\in A \;且\; x\in B\}$ 称为事件 A 与事件 B 的积事件。当且仅当 A, B 同时发生时，事件 $A\cap B$ 发生。事件 $A\cap B$ 记作 AB.
类似地，称 $\overset{n}{{\underset{k=1}\bigcap}}A_k$ 为 n 个事件 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 的积事件；称 $\overset{\infty}{{\underset{k=1}\bigcap}}A_k$ 为可列个事件 $A_1, A_2, \cdots$ 的积事件。
事件 $A-B=\{x|x\in A \; 且\; x\notin B\}$ 称为事件 A 与事件 B 的差事件。当且仅当 A 发生 B 不发生时事件 $A - B$ 发生。
若 $A\cap B =\emptyset$, 则称事件 A 与 B 是互不相容的，或互斥的。这指的是事件 A 和事件 B 不能同时发生。基本事件是两两互不相容的。
若 $A\cup B = S 且 A\cap B = \emptyset$, 则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为对立事件。这指的是对每次试验而言，事件 A, B 中必有一个发生，且仅有一个发生。A 的对立事件记为 $\overline A$。 $\overline A = S - A$

事件运算定律：

交换律：$A\cup B = B\cup A;\quad A \cap B = B\cap A$

结合律：$A\cup (B\cup C) = (A\cup B)\cup C;\quad A\cap (B\cap C) = (A\cap B)\cap C$

分配率：$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C);\quad A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)$

德摩根律：$\overline{A\cup B} = \overline{A}\cap \overline{B};\quad \overline{A\cap B} = \overline{A}\cup\overline{B}$

3. 频率与概率

(一) 频率

定义：在相同条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 $n_A$ 称为事件 A 发生的频数。比值 $n_A/n$ 称为事件 A 发生的频率，记作 $f_n(A)$

频率的性质：

$0 \leq f_n(A) \leq 1$
$f_n(S) = 1$
若 $A_1, A_2, \cdots , A_k$ 是两两互不相容的事件，则:
$f_n(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_k) = f_n(A_1)\cup f_n(A_2)\cup \cdots \cup f_n(A_k)$

(二) 概率

定义：设 E 是随机试验，S 是它的样本空间。对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数，记为 $P(A)$, 称为事件 A 的概率，如果集合函数 $P(\cdot)$ 满足下列条件：

非负性：对于每一个事件 A, 有 $P(A) \geq 0$
规范性：对于必然事件 S, 有 $P(S) = 1$
可列可加性：设 $A_1, A_2, \cdots$ 是两两互不相容的事件，即对于 $A_iA_j = \emptyset, i \neq j, i, j = 1, 2, \cdots$, 有：
$P(A_1\cup A_2\cup \cdots) = P(A_1) + P(A_2)+ \cdots. \quad \quad (3.1)$

概率的性质：

性质1. $P(\emptyset）=0$

性质2. (有限可加性) 若 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 是两两互不相容的事件，则有：
$\quad\quad P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots + P(A_n). \quad \quad (3.2)$

性质3. 设 A，B 是两个事件，若 $A \subset B$, 则有：
$\quad \quad P(B-A) = P(B) - P(A)\quad \quad (3.3)$
$\quad \quad \quad P(B) \geq P(A)\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.4)$

性质4. 对于任一事件 A，$P(A) \leq 1$

性质5. (逆事件的概率) 对于任一事件 A, 有 $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

性质6. (加法公式) 对于任意两事件 A,B，有 $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$

posted @ 2024-04-15 14:45 卑以自牧lq 阅读(60) 评论(0) 收藏举报

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