成外外培总结

7.12

唐诗学校，还有宿管，晚上 \(9:30\) 下课，\(10:30\) 就熄灯，还是感叹我们学校的好。

7.13模拟赛

第一天打得 NOIP 模拟赛，鉴定为打得太唐了。

比赛情况

\(8:00\sim 8:10\)

发题。

\(8:10\sim 8:25\)

浏览所有题目，发现都不是特别好做。但是 \(B\) 题是原题，并且赛时还过了，那不直接拿下了？（埋下伏笔）。

\(8:25\sim 9:05\)

思考了一会儿 \(A\) 题，会了 \(\mathcal O(nV)\)，然后速速写完 \(B\) 题，检查了一会儿就继续做 \(A\) 题了。

\(9:05\sim 10:20\)

首先思考了一下 \(A\) 题最优情况下的形态，于是想到记录从上一个不变的位置 \(\pm\) 了多少个 \(d\)。遂先打了一个 \(\mathcal O(nV)\) 的暴力，然后实现了一下 \(\mathcal O(n^3)\) 的想法。然而对拍一秒就出错了，于是一直打补丁，但是仍然不行。

\(10:20\sim 10:40\)

继续对 \(A\) 进行打补丁，但是大数据仍然一拍就错。有点慌了，先去看后面的题。

\(10:40\sim 11:00\)

看了一下 \(C\) 题，发现显然可以用 KMP 预处理加上状压 dp，环可以固定一个位置作为第一个串，最后处理一下就行了。

但是有点难写，准备再想想 \(A\) 题。

\(11:00\sim 11:40\)

突然想到在 WC2025 的 \(C\) 题遇到了与 \(A\) 题类似的情况，当时也是一个 \(\mathcal O(nV)\) 的 dp，但是实际上第二维可能取到的最优值是有限的，因此可以将第二维离散化，复杂度就变成了 \(\mathcal O(n^2)\)。

然后再联想到之前错误的做法，观察到最有情况下的结构，只可能是某个 \(a_i\pm kd\)，其中 \(k\in [-n,n]\)，因此值域就被离散化为了 \(\mathcal O(n^2)\)，总复杂度 \(\mathcal O(n^3)\)。

过拍的时候还是比较激动。

\(11:40\sim 12:00\)

突然忘记 KMP 了，于是想着先打一个 \(D\) 题暴力，结果打得太慢，直接结束了？？？

结果

100+20+0+5，\(B\) 题之前做法假了，挂成了 \(20pts\)。

总结

这场比赛能够沿用之前做过的一些题目的一些技巧，值得继续保持，但是这场 \(A\) 题做的确实稍微有一些久了，争取能想清楚再写代码，不然花费大量时间在错解上很亏。

7.14 讲课

数据结构选讲，题目都还不错，有几道苟王分享过的原题，\(\mathcal O(\log n)\) pushup 的线段树还是比较经典，之前做的并不多。最后一题的容斥启发也比较大。

7.15 讲课

树上问题选讲。问题都比较经典，然后了解到了一些“经典”的贪心（和 @Aaron_Romeo 想了很久，@nikangle 给出了证明）,事后和lm发现并不是很难猜到。

还有就是了解了一下长剖，我寻思着集训队论文LHF就是写的长剖，这东西真能考到？不过用来优化有关深度的 dp 还是很妙，可以直接从 \(\mathcal O(n^2)\) 优化到 \(\mathcal O(n)\)。

7.16 模拟赛+讲课

模拟赛

比赛情况

NOI 模拟赛？\(B\) 题不是纯纯糖题？想了一会儿就会了 \(\mathcal O(m\log m)\)，就是求一下内向基环树森林上两点的距离。但是发现过不了大样例，检查出来求两个点都在树上时有些问题，似乎需要求 LCA，然后就花了一些时间写了一下 \(\mathcal O(1)\) 求 LCA。然后就 \(10:20\) 了。

接着就在 \(A,C\) 两题反复横跳，发现 \(A\) 题怎么计数都不对，无法记录当前还有几个人没有满票，然后就似在了这里。\(C\) 题一开始只会做 \(k=r-l+1\)，然后似乎可以 \(\mathcal O(n^3)\)。显然可以二分，但是没有进一步的思路。

于是就继续想 \(A\) 题。\(11:20\) 开始打暴力，并且意识到 \(C\) 题 \(\mathcal O(n^3)\) 的做法是假的，赶紧补了一个 \(\mathcal O(n^4)\) 预处理，\(\mathcal O(n^2)\) 的东西。

估分 \(10+100+25=135\)

结果

下午来看，\(B\) 题 \(TLE\) 了，\(100pts\rightarrow 60pts\)，有点离谱。然后加了一个快读，还是 \(T\) 了。突然想起来数组开得有点大，于是就只将求 LCA 的部分开了两倍空间，竟然快了 \(1s\)。

警示：千万不要图省事将所有数组大小开大，该开多大就多大！不然会收获意想不到的常数。

杂题选讲

若干道 Ad-hoc，确实是杂题选讲了。

7.17 讲课

dp 优化第一讲。

其中大部分题目是观察题目性质并对于 dp 状态进行优化，比较困难，极具技巧性。

其中比较常见的两个优化方向是：可以跳过 dp 过程中某些无效的状态，从而缩减状态数；也可以对状态进行简化，只记录后面需要用到的信息。

还有的时候需要比较惊人的注意力和对题目性质的分析，这些题目就比较困难了。

附：被 Desant 这题搞红温了。

这题一开始记录了前面的数选没选，状态是 \(2^n\)。经过对于逆序对统计需要的信息的考察，将其压缩成若干段区间的数选了多少个数，发现状态数直接变成了 \(3^{\frac{n}{3}}\)，然后总复杂度就变成了 \(\mathcal O(n^23^{\frac{n}{3}})\)。

loj 上哈希表存状态只有 1e6+7 这个模数能过，luogu 上死活过不去。不过可以类似状压用一个整数存状态，那确实应该快得多。

7.18 讲课

dp 优化第二讲。

今天的题目大部分是针对转移的优化。第一题是 DP 套 DP 经典题目小N的独立集，观察到如果将 \(f_{i,1}\) 的值表示为选或者不选 \(i\) 号节点的最大独立集，那么就有 \(0\le f_{i,1}-f_{i,0}\le k\)。于是内层需要记录的状态就从 \(n^2\) 优化到了 \(nk\)，总复杂度 \(\mathcal O(n^2k^4)\)。

后面几道题都有一定的难度，其中有一道题目ljr学长分享过，是关于优化dp转移和决策单调性的。

7.19 模拟赛

比赛情况

又是 \(4\) 题，NOIP 模拟赛。发现 \(B\) 题是个似乎比S组 T3 还简单的 dp，赶紧写完了。结果有一个大样例过不了，顿时有一些 joker，好在比较快的发现了错误，改了一个小地方就过了，用时 \(20min\)。

感觉 \(A,D\) 题有一些困难，于是去看十分数据结构的 \(C\) 题。首先发现对于全局询问是 cdq 模版，然后多组询问就不会了。中间想了很多种方法，但都未果。

这个时候回去想 \(A\) 题，将题目转换为每次会选择一个数，将其 \(+(y+1)\)，求最小的操作步数使得所有数相等。设操作步数为 \(opt\)，期间 \(\min a_i\ge opt\)。注意到可以直接贪心，然后就通过了所有大样例，此时是 \(10:00\) 左右。

然后 \(D\) 题暴力都不太会，于是就准备冲 \(C\) 题。但是中途想了若干个很有道理的做法，然而全都假了。于是在 \(11:20\) 开始拼暴力分，本来以为能拿 \(75pts\)，然而发现 \(q=1\) 的做法也有一些问题，然后就只写了 \(30pts\)。

比赛结果

100+100+15+0

\(C\) 题并没有注意到 \(n\le 5000\) 的点没有保证 \(q\le 5000\)，于是图省事写了 \(\mathcal O(nq)\) 的东西，但是 \(q\le 10^6\)，于是 \(T\) 了。

总结

一定要看清楚部分分的数据范围，

7.21 图论专题

几道题目都已经补完了，每道题目的质量都很高，其中有一些 Ad-hoc 和技巧，算是学到了很多东西。

7.22 网络流

一直都不太会网络流，今天提到了一些经典的可以用网络流解决的模型。比如划分为两个集合，数与数之间有一些价值，可以使用最小割建图后解决。题目还没有补，不过好像有的题只能写Dinic？不过我ISAP都不会写了。

7.23 测试

三道题目的省选模拟，感觉都不是特别难。但是 \(B,C\) 两题暴力都写挂了，所以只有 \(A\) 题的 \(100pts\)。感觉三道题目都有一些技巧和套路性，见过了基本上都能做出来。
\(A\) 题是一个十分套路的容斥，上界可以直接容斥掉，方案数就是一个经典的组合数。
\(B\) 题比较有技巧性，将直径最中间的那条边设为根，将原来的树分成了两棵子树。而不难发现，如果路径没有经过中间的边，那么它的距离一定是另一棵子树贡献的，所以可以直接处理。而如果跨过中间的边，那么两棵子树里面每个点肯定都是由子树内贡献的最远距离，所以可以直接将其存为一个二元组 \((len,h)\)，计算 \(\max(h_i,h_j)(len_i+len_j+1)\)。
\(C\) 题同样比较有技巧性，可以将原图每条边拆成两条边，也就是说在两个黑点间有一个白点。那么删除一个黑点就可以转换为将其邻域的所有白点合并起来。而计算贡献自己推一下即可，每次撤销并修改就行了。

7.24 数论专题

题目怎么都这么难？其中斯特林数、单位根反演还不会，二次剩余之类的高级算法有所遗忘，下来要记得复习。

7.25 简单多项式+博弈论

多项式只讲了拉格朗日插值和最简单的生成函数，连FFT之类的都没有。
博弈论不太会，正在进行学习。