CF1614D2 Divan and Kostomuksha
题目
给定一个序列 \(a\) ，定义其权值为：
\[\sum_{i=1}^n\gcd(a_1,a_2,...,a_i)
\]
现在你可以重排 \(a\) ，求这个权值的最大值。
本题与同场 D1 的唯一差别在于 \(a_i\) 的范围。
分析
首先容易想到可以 \(dp\) ，并且是按照值域的维度来，因为数组可以重排。
那么容易得到这样的一个 \(dp\) ：
设 \(dp[x]\) 表示以 \(\gcd=x\) 作为开头的，最大可以得到的序列权值。
注意这里我们默认如果当前实际的 \(\gcd\) 不是 \(x\) ，我们仍然将其认为是 \(x\) ，这样是为了方便转移。
于是转移方程也不难写出：
\[dp[x]=\sum_{d\mid x}dp[d]+(x-d)\times num[x]
\]
其中，\(num[x]\) 表示 \(a\) 序列中是 \(x\) 倍数的数的个数，这个需要 \(O(n\ln V)\) 复杂度求出。
时间复杂度 \(O(n\ln V)\) 。
但是这样通过不了 \(D2\) 。
考虑优化，发现预处理 \(num\) 可以直接枚举每一个数然后其因子来做，复杂度 \(O(n\sqrt{V})\) 。
但是其实有更好的办法，那就是埃筛。
可如何能做到不重复计算呢？可以先枚举每一个质数，然后从大到小枚举每一个可能的数，这样就可以做到 \(O(V\log\log V)\) 。
接下来考虑怎么优化 \(dp\) 的复杂度。
可以变成刷表法，先枚举每一个数，然后从小到大枚举这个数的所有质数倍去更新，这样做的正确性显然，时间复杂度 \(O(V\log\log V)\)。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//#ifdef ONLINE_JUDGE
// #define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
// char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
//#endif
template<typename T>
inline void read(T &x){
x=0;bool f=false;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){f|=ch=='-';ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=x*10+(ch^48);ch=getchar();}
x=f?-x:x;
return ;
}
template<typename T>
inline void write(T x){
if(x<0) x=-x,putchar('-');
if(x>9) write(x/10);
putchar(x%10^48);
return ;
}
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ld long double
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define pc putchar
#define PII pair<int,int>
#define rep(i,x,y) for(register int i=(x);i<=(y);i++)
#define dep(i,y,x) for(register int i=(y);i>=(x);i--)
#define repg(i,x) for(int i=head[x];i;i=nex[i])
#define filp(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
#define infilp(s) freopen(s".in","r",stdin)
#define outfilp(s) freopen(s".out","w",stdout)
const int MOD=1e9+7;
inline int inc(int x,int y){x+=y;return x>=MOD?x-MOD:x;}
inline int dec(int x,int y){x-=y;return x<0?x+MOD:x;}
inline void incc(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD) x-=MOD;}
inline void decc(int &x,int y){x-=y;if(x<0) x+=MOD;}
inline void chkmin(int &x,int y){if(y<x) x=y;}
inline void chkmax(ll &x,ll y){if(y>x) x=y;}
const int N=1e5+5,M=2e7+5,INF=1e9+7,V=2e7;
int n,m,num[M],prime[M],cnt;
ll Ans,dp[M];
bool vis[M];
void GetPrimes(int v){
for(int i=2;i<=v;i++){
if(!vis[i]) prime[++cnt]=i;
for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=v;j++){
vis[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j]==0) break;
}
}
return ;
}
signed main(){
// double ST=clock();
// ios::sync_with_stdio(false);
//#ifndef ONLINE_JUDGE
// filp("my");
//#endif
read(n);
rep(i,1,n){
int x;read(x);
num[x]++;
}
GetPrimes(V);
rep(i,1,cnt){
for(int c=V/prime[i];c>=1;c--) num[c]+=num[c*prime[i]];
}
dp[1]=num[1];
rep(i,1,V){
for(int j=1;prime[j]*i<=V;j++){
const int x=prime[j]*i;
chkmax(dp[x],dp[i]+1ll*(x-i)*num[x]);
}
chkmax(Ans,dp[i]);
}
write(Ans);
// cerr<<"\nTime:"<<(clock()-ST)/CLOCKS_PER_SEC<<"s\n";
return 0;
}
/*
*/
