随笔分类 - 数学--杜教筛
摘要：题目 求 \[ \large \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nf(\gcd(i,j))f(lcm(i,j)) \] 其中，\(\large f(x)=\sum\limits_{d\vert x}\mu(d)d\) 51nod2026 Gcd and Lcm
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摘要：题目 求： \[ \large A=\sum_{i=1}^n\mu(i^2),B=\sum_{i=1}^n\varphi(i^2) \] BSOJ5655【BZOJ4916】神犇和蒟蒻 分析 首先第一问显然是 \(1\) 。 第二问很容易由结论转化： \[ \large \varphi(nm)=\v
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摘要：题目 求有多少种选数方案使得这些数的 \(\gcd\) 为 \(1\) ，值域 \([1,n]\)。 P5218 无聊的水题 II 分析 设 \(f(x)\) 表示选出来的数的 \(\gcd=x\) 的方案数。 那么我们要求的就是 \(f(1)\) ，考虑反演回来求，于是设 \(\large g(x
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摘要：题目 求 \(\varphi\) 函数的前缀和。 分析 这么大范围直接杜教筛，考虑具体怎么做，经典套路： 考虑到有 \(\varphi*I=id\) ，于是设 \(g=I\) ，发现剩下的都非常好求： \(id\) 的前缀和就是等差数列求和，\(I\) 的前缀和就是区间长度。 代码 #include
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摘要：问题 \[ \large \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j) \] BSOJ4129【BZOJ2693】jzptab 结论 结论一： \[ \large \sum_{d=1}^nd\cdot \sum_{k=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\mu(
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摘要：前置知识 顺序有先后，但是不是完全的次序，建议确认全部都会再食用本篇。 线性筛 详见线性筛 整除分块 详见整除分块 狄利克雷卷积 详见数论函数&狄利克雷卷积 欧拉函数 详见欧拉函数 莫比乌斯函数 详见莫比乌斯函数&莫比乌斯反演 杜教筛 详见杜教筛 基础应用 最基础的一些题目。 基础知识 \(求\su
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摘要：简介 狄利克雷卷积是数论函数的重要运算之一，它可以方便我们来描述数论函数之间的关系。 定义 我们这样定义狄利克雷卷积： 如果函数 \(h,f,g\) 满足： \[ h(n)=\sum\limits_{d\mid n}f(d)g(\dfrac nd) \] 那么我们称 \(h\) 是 \(f\) 和
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摘要：前置知识 线性筛 详见线性筛 数论函数&狄利克雷卷积 详见数论函数&狄利克雷卷积 欧拉函数 详见欧拉函数 莫比乌斯函数 详见莫比乌斯函数 杜教筛 杜教筛的作用 首先我们要知道，杜教筛是拿来干什么的，其实并没有很高深，就是可以在低于线性时间的复杂度求出积性函数的前缀和。 常见的有很多，比如最常见最简单
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摘要：前置知识 带*表示如果只是学会可以不会这个知识点，但是较难的题目里面需要用到。 狄利克雷卷积 详见数论函数&狄利克雷卷积。 线性筛 详见线性筛 整除分块 详见整除分块 *杜教筛 详见杜教筛 莫比乌斯函数 莫比乌斯函数的定义 \[ \large \mu(n)=\begin{cases} 1,n=1\\
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