闲话（中文）
河溢危，禾已萎，鹤依偎。禾异味，鹤已畏，合一，谓何？"异味？"何矣，味何？以萎。何异胃颌已危，何医为？河易为河医。为何？医喂荷以维何一胃。何已维。"颌医未。"何矣，胃颌易维，合一位，荷医为颌，医危颌，"已伟！"何意为贺医位。（好文当赏！）
一些定义
我们定义如下两个函数：
\[\begin{aligned}
\Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}\,\mathrm{d}t\\
\psi^{(n)}(s)=\frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}s^{n+1}}\ln\Gamma(s)
\end{aligned}
\]
第一个就是熟知的 \(\text{Gamma}\) 函数，第二个则是 \(\text{polygamma}\) 函数（一下简称为 \(\text{psi}\) 函数，方便起见，令 \(\psi=\psi^{(0)}\)）。
同时，还有一些之后会用到的常数：
\[\begin{aligned}
&\gamma=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\frac1i-\ln n\\
&e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n
\end{aligned}
\]
\(\Gamma\) 函数
通常，\(\Gamma\) 函数会被写成连乘的形式，如：
\[\Gamma(s)=\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^s}{s(s+1)\cdots(s+n)}
\]
那么显然有：
\[\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)=s!
\]
这个定义是十分方便的，我们用这个来推导一些 \(\Gamma\) 函数的性质。
首先，先把 \(\Gamma\) 函数的另一种连乘的形式写出。
\[\begin{aligned}
\frac1s\prod_{n=1}^\infty\frac{\left(1+\frac1n\right)^s}{1+\frac sn}&=\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^s}{s(s+1)\cdots(s+n)}\\
&=\Gamma(s)
\end{aligned}
\]
同时，注意到：
\[\sin x=x\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)
\]
令 \(s=\pi x\)，则有：
\[\sin s\pi=s\pi\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{s^2}{n^2}\right)
\]
于是就有：
\[\boxed{\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac\pi{\sin s\pi}}
\]
同时，我们可以推导出展开式：
\[e^{\gamma x}\Gamma(x+1)=\prod_{n=0}^\infty\frac{e^\frac xn}{1+\frac xn}
\]
这就是著名的 Weierstrass 公式了。
同时，还有一个叠乘定理：
\[\Gamma(s)\Gamma\left(s+\frac1n\right)\cdots\Gamma\left(1+\frac{n-1}n\right)=\frac{(2\pi)^{\frac{n-1}2}}{n^{ns-\frac12}}\Gamma(ns)
\]
其中，\(n\in\mathbb{N}\)。我个人觉得真很丑。
\(\psi\) 函数
开始正片了。
定理 1
\[-\psi(z)=\frac1z+\gamma+\sum_{i=1}^\infty\frac1i-\frac1{i+z}
\]
这个证明十分简单，只需把上述的 Weierstrass 公式两边取对数即可，留做习题。
根据 定理 1，可以简单的得到两个推论。
- 推论 1.1 \(\psi(z+n)-\psi(z)=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}\frac1{z+i}\)
- 推论 1.2 \(\psi^{(m)}(z+n)-\psi^{(m)}(z)=m!(-1)^m\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}\frac1{(z+i)^{m+1}}\)
这两个结论易由 定理 1 推出，隧在此不做证明。
然后就是余元公式：
\[\psi(1-z)-\psi(z)=\pi\cot \pi z
\]
就是把 \(\Gamma\) 函数余元公式取对数再求导。
我们再求一些特殊值：
\[\psi^{(n)}(1)=
\begin{cases}
-\gamma & \text{ if } n=0. \\
n!(-1)^{n+1}\zeta(n+1) & \text{Otherwise.}
\end{cases}
\]
\[\psi^{(n)}\left(\frac12\right)=
\begin{cases}
-\gamma-2\ln2 & \text{ if } n=0. \\
n!(-1)^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)\zeta(n+1) & \text{Otherwise.}
\end{cases}
\]
\(\psi\) 函数的泰勒展开
现在，我们将 \(\psi\) 函数在 \(1\) 处泰勒展开一下，便得：
\[\psi(x)+\gamma=\sum_{n=1}^\infty\frac{\psi^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n
\]
然后把上面那个式子带入，得：
\[\sum_{n=1}^\infty x^n\zeta(n+1)=-\psi(1-x)-\gamma
\]
然后，你就可以批量生产级数了。
Gauss digamma 定理
这个定理是说：
\[\psi\left(\frac pq\right)=-\gamma-\frac\pi2\cot\frac{\pi p}q-\ln q+\sum_{n=1}^{q-1}cos\frac{2\pi np}q\ln\left(2\sin\frac{\pi n}{q}\right)
\]
证明：
回顾 \(\psi\) 函数的 定理 1：
\[-\psi(z)=\frac1z+\gamma+\sum_{n=1}^\infty\frac1n-\frac1{n+z}
\]
令 \(z=\frac pq,(0<p<q,p,q\in\mathbb{N})\)，利用 Abel 极限定理，则有：
\[\psi\left(\frac pq\right)+\gamma=\lim_{t\to1-0}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac1{n+1}-\frac{q}{p+nq}\right)t^{p+nq}
\]
进一步，
\[\begin{aligned}
\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{q}{p+nq} \right) t^{p+nq} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{p+nq}}{n+1} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{qt^{p+nq}}{p+nq}\\
&= t^{p-q} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{(n+1)q}}{n+1} - q \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{p+nq}}{p+nq}\\
&= -t^{p-q} \ln (1-t^q) + \sum_{n=0}^{q-1} \omega^{-np} \ln (1-\omega^n t)\\
&= -t^{p-q} \ln \frac{1-t^q}{1-t} - (t^{p-q}-1) \ln (1-t) + \sum_{n=1}^{q-1} \omega^{-np} \ln (1-\omega^n t)\\
\end{aligned}
\]
其中 \(\omega = e^{\frac{2\pi}qi}\), 令 \(t \to 1-0\) 得：
\[\psi \left( \frac{p}{q} \right) = -\gamma - \ln q + \sum_{n=1}^{q-1} \omega^{-nq} \ln (1-\omega^n)
\]
这样我们易得：
\[\psi \left( \frac{p}{q} \right) + \psi \left( \frac{q-p}{q} \right) = -2\gamma - 2 \ln q + 2 \sum_{n=1}^{q-1} \cos \left( \frac{2\pi np}{q} \right) \ln (1-\omega^n)\tag{1}
\]
上式左端为实数，右端需取实部，且
\[\begin{aligned}
\Re(\ln(1-\omega^n)) &= \ln|1-\omega^n|\\
&= \ln\left| \left( 1 - \cos\frac{2\pi n}{q} \right)^2 + \sin^2\frac{2\pi n}{q} \right|^{\frac12}\\
&= \frac{1}{2}\ln\left( 2-2\cos\frac{2\pi n}{q} \right)\\
&= \ln\left( 2\sin\frac{\pi n}{q} \right)
\end{aligned}
\]
由余元公式
\[\Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin s}
\]
对 \(s\) 取对数微分，即得
\[\psi(s) - \psi(1-s) = \frac{d}{ds}\ln(\Gamma(s)\Gamma(1-s)) = -\pi\cot s
\]
这样
\[\psi\left(\frac{p}{q}\right) - \psi\left(\frac{q-p}{q}\right) = -\pi\cot\frac{\pi p}{q}\tag{2}
\]
最后，将 \((1)+(2)\)，则有：
\[\psi\left(\frac pq\right)=-\gamma-\frac\pi2\cot\frac{\pi p}q-\ln q+\sum_{n=1}^{q-1}cos\frac{2\pi np}q\ln\left(2\sin\frac{\pi n}{q}\right)
\]
这绝对是我写过最乱的 \(\KaTeX\) 排版，没办法，markdown 支持的 \(\KaTeX\) 版本低的离谱。
一些结论
\[\gamma=\int_0^\infty e^{-t}\left(\frac1{1-e^{-t}}-\frac1t\right)\,\mathrm{d}t
\]
证明：
这并不是这个定理的真正形式，只是我觉得 \(\gamma\) 简直是这个世界上最好看的常数，所以把它改成这样了。原命题是证明：
\[\psi(z)=\int_0^\infty\left(\frac{e^{-t}}t-\frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\right)\,\mathrm{d}t
\]
那我们还是证明这个。
首先是把 \(\psi\) 函数稍微变一下型。具体地，把 \(\gamma\) 的定义带进 定理 1，便可得到：
\[\psi(z)=-\frac1z+\lim_{n\to\infty}\left(\ln n-\sum_{i=1}^n\frac1{z+i}\right)
\]
然后，我们有：
\[\frac1n=\int_0^\infty e^{-nt}\,\mathrm{d}t\\
\ln n=\int_1^n\mathrm{d}u\int_0^\infty e^{-ut}\,\mathrm{d}t
\]
然后把他们超级打组合在一起，于是就有：
\[\psi(z)=-\frac1z+\lim_{n\to\infty}\left(\ln n-\sum_{i=1}^n\frac1{z+i}\right)
\]
然后把 \(z=1\) 代入，于是命题得证。
定理 4
\[\sum_{n=1}^\infty\frac{\zeta(n+1)}{2^n}=2\ln 2
\]
这个用到了 \(\psi\) 的泰勒展开，留作习题读者自证不难。
再顺便给一系列的级数：
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n\zeta(n+1)}{2^n}=2\ln2-2\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{4^{-n-1}\zeta(n+1)}{n+1}=-\frac\gamma4-\ln\Gamma\left(\frac14\right)\)
参考资料
浙公网安备 33010602011771号