解析函数与幂级数理论

准备工作

复导数

设 \(U\subset\mathbb C\)，\(f:U\to\mathbb C\)，\(z\in U\)。若存在 \(\mathbb C\)-线性函数 \(df|_z\in\operatorname{Hom}_{\mathbb C}(\mathbb C,\mathbb C)\) 使得对任意 \(h\in\mathbb C\)，当 \(|h|\to 0\) 时 \(|f(z+h)-f(z)-df|_z(h)|=o(|h|)\)，则称 \(f\) 在 \(z\) 点复可导，\(df|_z(1)\) 称作其复导数，记作 \(f'(z)\)。注意到复导数存在当且仅当存在 \(df|_z\in\operatorname{Hom}_{\mathbb C}(\mathbb C,\mathbb C)\) 使得

\[\lim_{|h|\to 0}\left|\frac{f(z+h)-f(z)-df|_z(h)}{h}\right|=0, \]

即

\[\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)-df|_z(h)}{h}=0, \]

或

\[\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{df|_z(h)}{h}. \]

由于 \(\dim_{\mathbb C}\mathbb C=1\)，\(df|_z(h)=f'(z)h\)，于是

\[f'(z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}. \]

设 \(f(z)=u(\operatorname{Re}z,\operatorname{Im}z)+iv(\operatorname{Re}z,\operatorname{Im}z)\)。设 \(z=x+iy\)，记 \(\widetilde f(x,y):=f(x+iy)\)，下面就不加区分地等同 \(\widetilde f\) 和 \(f\)。如果 \(h\) 从实数趋近 \(z\)，则

\[f'(z)=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}, \]

如果 \(h\) 从纯虚数趋近 \(z\)，则

\[f'(z)=\lim_{s\to 0}\frac{f(z+is)-f(z)}{is}=\frac{\partial u}{i\partial y}+i\frac{\partial v}{i\partial y}=-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}. \]

两式必须相等，这给出复可导的一个必要条件。

对 \(p=x+iy\in\mathbb C\)，形式地定义

\[\frac{\partial f}{\partial z}\bigg|_{p}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x,y)}-i\frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(x,y)}\right),\qquad\frac{\partial f}{\partial\overline z}\bigg|_{p}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x,y)}+i\frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(x,y)}\right), \]

并定义 \(dz=dx+i\,dy,\,d\overline z=dx-i\,dy\)，则

\[\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial z}\,dz+\frac{\partial f}{\partial\overline z}\,d\overline z&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y}\right)(dx+i\,dy)+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y}\right)(dx-i\,dy)\\ &=\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy=df. \end{aligned} \]

定理 1.1 \(\quad\) 设 \(U\subset\mathbb C\) 是开集，\(z\in U\)，则 \(f:U\to\mathbb C\) 在 \(z\) 点可导当且仅当 \(\widetilde f\) 可导且

\[\frac{\partial f}{\partial\overline z}=0 \]

即

\[\frac{\partial f}{\partial x}=-i\frac{\partial f}{\partial y} \]

即

\[\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}. \]

证明 \(\quad\) 显然若 \(f\) 在 \(z\) 点复可导则 \(\widetilde{f}\) 在该点实可导，故上面已经说明了必要性。

反之，假设 \(\widetilde f\) 实可导且满足 Cauchy-Riemann 方程，则对于 \(h\in\mathbb R^2\)，若 \(|h|\to 0\)，则 \(\widetilde f(z+h)-\widetilde{f}=A(h)+o(|h|)\)，其中

\[A=\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}\big|_{z}&\frac{\partial u}{\partial y}\big|_{z}\\ \frac{\partial v}{\partial x}\big|_{z}&\frac{\partial v}{\partial y}\big|_{z} \end{pmatrix}. \]

现在要求 \(A(\cdot)\) 是 \(\mathbb C\)-线性的。注意到 Cauchy-Riemann 方程保证了 \(A\) 形如 \(\begin{pmatrix} a&-b\\b&a \end{pmatrix}\)，因而 \(A(\cdot)\) 就是 \((\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x})(\cdot)\)，从而 \(f\) 在 \(z\) 点复可导。\(\square\)

一个复函数是全纯的，如果它在整个 \(U\) 的每个点复可导。

幂级数

定理 1.2 \(\quad\) 对每个幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\)，存在 \(R\in[0,\infty]\)，称作收敛半径，使得

1. 级数在 \(B(0,R)\) 上绝对收敛；
2. 级数在 \(B(0,R)\) 上内闭一致收敛；
3. 级数在 \(\mathbb C\setminus\overline{B(0,R)}\) 上发散，且项是无界的；
   d. 在 \(B(0,R)\) 上，级数的和解析，其导数为 \(\sum_{n=1}^{\infty}na_nz^{n-1}\)，且具有相同的收敛半径；
4. \(1/R=\lim\limits_{n\to\infty}\sup\sqrt[n]{|a_n|}\)。

证明 \(\quad\) 如果 \(|z|<R\)，则存在 \(\rho\in(|z|,R)\)，于是 \(\rho^{-1}>R^{-1}\)，故 \(\exists N\in\mathbb N\) 使得 \(\forall n\geq N\)，\(|a_n|^{1/n}<\rho^{-1}\)，故 \(|a_n|<\rho^{-n}\)，故 \(|a_nz^n|<(|z|/\rho)^n\)。于是

\[\sum_{n=N}^{\infty}\left|a_n\right||z^n|<\sum_{n=N}^{\infty}\left(\frac{|z|}{\rho}\right)^n<\infty, \]

故幂级数在 \(z\) 处绝对收敛。对于给定的 \(\rho<R\)，存在 \(\rho_0\in(\rho,R)\)，存在 \(N\in\mathbb N\) 使得 \(\forall n\geq N\)，\(|a_n|^{1/n}<\rho_0^{-1}\)，于是同理，对任意 \(|z|\leq\rho\) ，对任意 \(\epsilon>0\)，存在 \(\mathbb N'\geq N\) 使得 \(\forall n,m\geq N'\)，有

\[\sum_{j=n}^{m}\left|a_j\right||z^j|<\sum_{j=n}^{m}\left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)^j<\epsilon, \]

从而幂级数在 \(\overline{B(0,\rho)}\) 上一致收敛，从而它在 \(B(0,R)\)上内闭一致收敛。若 \(|z|>R\)，则可找到 \(\rho\in(R,|z|)\)，故 \(\rho^{-1}<R^{-1}\)，于是对任意 \(N\in\mathbb N\) 都存在 \(n>N\) 使得 \(|a_n|>\rho^{-n}\)，故对无穷多个 \(n\)，\(|a_nz^n|>(|z|/\rho)^n\)，故级数的项是无界的，从而发散。

由于 \(\sqrt[n]{n}\to 1\)，\(\sum-1^{\infty}na_nz^{n-1}\) 有相同的收敛半径。最后，对于 \(|z|<R\)，记

\[\begin{aligned} f(z)&=\sum_0^{\infty}a_nz^n=:s_n(z)+R_n(z),\\ s_n(z)&:=a_0+a_1z+\cdots+a_{n-1}z^{n-1},\qquad R_n(z):=\sum_{n}^{\infty}a_jz^j,\\ f_1(z)&:=\sum_1^{\infty}na_nz^{n-1}=\lim_{n\to\infty}s_n'(z). \end{aligned} \]

现在来证明 \(f'=f_1\)。对任意 \(z_0\in B(0,R)\)，考虑恒等式

\[\begin{aligned} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f_1(z_0)=\left(\frac{s_n(z)-s_n(z_0)}{z-z_0}-s_n'(z_0)\right)+(s_n'(z_0)-f_1(z_0))+\frac{R_n(z)-R_n(z_0)}{z-z_0}, \end{aligned} \]

其中 \(z\neq z_0\) 且 \(|z|,|z_0|<\rho<R\)。注意到

\[\begin{aligned} \frac{R_n(z)-R_n(z_0)}{z-z_0}&=\frac{1}{z-z_0}\sum_{j=n}^{\infty}(a_jz^j-a_jz_0^j)\\ &=\frac{1}{z-z_0}\sum_{j=n}^{\infty}(z-z_0)a_j(z^{j-1}+z^{j-2}z_0+\cdots+zz_0^{j-2}+z_0^{j-1})\\ &=\sum_{j=n}^{\infty}a_j(z^{j-1}+z^{j-2}z_0+\cdots+zz_0^{j-2}+z_0^{j-1}), \end{aligned} \]

于是当 \(n\to\infty\) 时

\[\left|\frac{R_n(z)-R_n(z_0)}{z-z_0}\right|\leq\sum_{j=n}^{\infty}j|a_j|\rho^{j-1}\to 0. \]

另一方面，\(|s_n'(z_0)-f_1(z_0)|\to 0\)，于是存在 \(N\in\mathbb N\) 使得对于 \(n\geq\mathbb N\)，上两项各自小于 \(\epsilon/3\)。任取这样的 \(n\)，由导数的定义，存在 \(\delta>0\) 使得 \(\forall z\in B(z_0,\delta)\) 都有

\[\left|\frac{s_n(z)-s_n(z_0)}{z-z_0}-s_n'(z_0)\right|<\frac{\epsilon}{3}. \]

综合可知

\[\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f_1(z_0)\right|<\epsilon, \]

于是 \(f_1(z_0)=f'(z_0)\)。\(\square\)

柯西积分定理

线积分

设 \(\gamma:[a,b]\to\mathbb C\) 的方程为 \(z(t)\)，定义

\[\int_{\gamma}f\,dz:=\int_a^bf(z(t))z'(t)\,dt \]

以及

\[\int_{\gamma}f\,d\overline{z}:=\overline{\int_{\gamma}\overline f\,dz}=\int_a^bf(z(t))\overline{z'(t)}\,dt. \]

对于 \(dx=\frac{1}{2}(dz+d\overline{z}),\,dy=\frac{1}{2i}(dz-d\overline{z})\)，定义

\[\begin{aligned} \int_{\gamma}f\,dx:=\frac{1}{2}\left(\int_{\gamma}f\,dz+\int_{\gamma}f\,d\overline{z}\right),\\ \int_{\gamma}f\,dy:=\frac{1}{2i}\left(\int_{\gamma}f\,dz-\int_{\gamma}f\,d\overline{z}\right), \end{aligned} \]

则

\[\begin{aligned} \int_{\gamma}f\,dz=\int_{\gamma}f\,dx+i\int_{\gamma}f\,dy,\qquad\int_{\gamma}f\,d\overline z=\int_{\gamma}f\,dx-i\int_{\gamma}f\,dy. \end{aligned} \]

记 \(x:=\operatorname{Re}z,\,y:=\operatorname{Im}z,\,u:=\operatorname{Re}f,\,v:=\operatorname{Im}f\)，则

\[\begin{aligned} \begin{aligned} \int f\,dx&=\int_a^bf(z(t))x'(t)\,dt=\int_{\gamma}u\,dx+i\int_{\gamma}v\,dx,\\ \int f\,dy&=\int_a^bf(z(t))y'(t)\,dt=\int_{\gamma}u\,dy+i\int_{\gamma}v\,dy,\\ \int f\,dz&=\int_{\gamma}(u\,dx-v\,dy)+i\int_{\gamma}(v\,dx+u\,dy),\\ \int f\,d\overline z&=\int_{\gamma}(u\,dx+v\,dy)+i\int_{\gamma}(v\,dx-u\,dy).\\ \end{aligned} \end{aligned} \]

定义对于弧长的积分为

\[\int_{\gamma}f\,ds=\int_{\gamma}f\,|dz|:=\int_a^bf(z(t))|z'(t)|\,dt. \]

可求长的弧

一段弧的长度定义为

\[l(\gamma):=\sup_{n,a=t_0<\cdots<t_n=b}\sum_{1}^n|z(t_j)-z(t_{j-1})|. \]

如果 \(l(\gamma)<\infty\)，则称 \(\gamma\) 可求长。

定理 2.3 \(\quad\) 弧 \(\gamma:z=z(t)\) 可求长当且仅当其实部和虚部都是有界变差的。

证明 \(\quad\) 注意到 \(|x(t_j)-x(t_{j-1})|\leq|z(t_j)-z(t_{j-1})|\) 且 \(|y(t_j)-y(t_{j-1})|\leq|z(t_j)-z(t_{j-1})|\)，而 \(|z(t_j)-z(t_{j-1})|\leq|x(t_j)-x(t_{j-1})|+|y(t_j)-y(t_{j-1})|\)，
因而如果 \(x(t),y(t)\) 有界变差则 \(l(\gamma)<\infty\)，反之，若 \(l(\gamma)<\infty\) 则 \(x(t),y(t)\) 皆有界变差。\(\square\)

定理 2.4 \(\quad\) 若 \(\gamma:[a,b]\to\mathbb C\xrightarrow{\sim}\mathbb R^2\) 是 \(C^1\) 的，则 \(\gamma\) 可求长，且 \(l(\gamma)=\int_{\gamma}\,ds=\int_a^b|z'(t)|\,dt\)。

证明 \(\quad\) 令 \(P\) 为 \([a,b]\) 的一个划分，则 \(|z(t_{j+1})-z(t_j)|=\left|\int_{t_j}^{t_{j+1}}z'(t)\,dt\right|\leq\int_{t_j}^{t_{j+1}}|z'(t)|\,dt\)，故

\[l_{P}(\gamma)=\sum_{0}^{n-1}|z(t_{j+1})-z(t_j)|\leq\sum_{0}^{n-1}\int_{t_j}^{t_{j+1}}|z'(t)|\,dt=\int_{a}^{b}|z'(t)|\,dt<\infty, \]

从而 \(l(\gamma)<\infty\)，\(\gamma\) 可求长。由于 \(z'(t)\) 在 \([a,b]\) 上连续，故它一致连续，则对于任意 \(\epsilon>0\)，存在 \(\delta>0\) 使得 \(\forall s,t\in[a,b],\,|t-s|<\delta\)，都有 \(|z'(t)-z'(s)|<\epsilon\)。取划分 \(P\) 使得 \(\forall j,\,|t_j-t_{j-1}|<\delta\)。于是对任意 \(t\in[t_j,t_{j+1}]\)，\(|z'(t)-z'(t_{j})|<\epsilon\)。从而

\[\begin{aligned} \int_{t_j}^{t_{j+1}}|z'(t)|\,dt&\leq\int_{t_j}^{t_{j+1}}|z'(t_j)|\,dt+\int_{t_j}^{t_{j+1}}|z'(t)-z'(t_j)|\,dt\\ &<\left|\int_{t_j}^{t_{j+1}}z'(t_j)\,dt\right|+(t_{j+1}-t_j)\epsilon\\ &\leq\left|\int_{t_j}^{t_{j+1}}z'(t)\,dt\right|+\left|\int_{t_j}^{t_{j+1}}(z'(t_j)-z'(t))\,dt\right|+(t_{j+1}-t_j)\epsilon\\ &<\left|\int_{t_j}^{t_{j+1}}z'(t)\,dt\right|+2(t_{j+1}-t_j)\epsilon\\ &=|z(t_{j+1})-z(t_j)|+2(t_{j+1}-t_j)\epsilon. \end{aligned} \]

于是

\[\begin{aligned} \int_{a}^{b}|z'(t)|\,dt&=\sum_0^{n-1}\int_{t_j}^{t_{j+1}}|z'(t)|\,dt\\ &<\sum_0^{n-1}\big(|z(t_{j+1})-z(t_j)|+2(t_{j+1}-t_j)\epsilon\big)\\ &=l_P(\gamma)+2(b-a)\epsilon<l(\gamma)+2(b-a)\epsilon. \end{aligned} \]

由于 \(\epsilon\) 是任意的，取 \(\epsilon\to 0\) 即得 \(l(\gamma)=\int_{\gamma}\,ds=\int_a^b|z'(t)|\,dt\)。\(\square\)

若 \(\gamma\) 是 \(C^1\) 的，\(f(z)\) 在 \(\gamma\) 上连续，则 \(f(z(t))|z'(t)|\) 是一致连续的。

柯西积分定理

将映射拆为实部和虚部后，有关恰当形式、闭形式、曲线积分之间关系的定理都可以直接应用。如果 \(p,q\) 分别是某个复函数 \(U\) 对 \(x\) 和 \(y\) 的偏导，则积分 \(\int_{\gamma}(p\,dx+q\,dy)\) 只与端点有关。事实上，设 \(p=a+ib,q=c+id\)，则

\[p\,dx+q\,dy=(a+ib)\,dx+(c+id)\,dy=(a\,dx+c\,dy)+i(b\,dx+d\,dy), \]

如果分别能找到 \(V,W\) 使得 \(dV=a\,dx+c\,dy,dW=b\,dx+d\,dy\)，则 \(U:=V+iW\) 满足 \(dU=p\,dx+q\,dy\)。反之，若存在复值函数 \(U\) 使得 \(dU=p\,dx+q\,dy\)，那么设 \(U=V+iW\)，则

\[\frac{\partial U}{\partial x}=a\,dx+ib\,dx=\frac{\partial V}{\partial x}+i\frac{\partial W}{\partial x}, \]

得 \(\partial V/\partial x=a,\,\partial W/\partial x=b\)，同理，得 \(\partial V/\partial y=c,\,\partial W/\partial y=c\)，于是 \(a\,dx+c\,dy,\,b\,dx+d\,dy\) 各自是恰当的，所以积分 \(\int_\gamma(p\,dx+q\,dy)\) 与端点无关。

若积分 \(\int_{\gamma}f\,dz\) 与具体路径无关，即 \(f\,dz\) 是恰当的，则存在 \(F(z)\) 使得 \(d\partial F=f\,dx+if\,dy\)，故

\[\frac{\partial F}{\partial x}=f,\qquad\frac{\partial F}{\partial y}=if, \]

故 \(F(z)\) 满足 Cauchy-Riemann 方程。

从上面这些讨论中已经可以得出，由于 \(dz\)，\(z\,dz\) 都是恰当的，或更一般地，\(z^n\,dz\,(n\geq 0)\) 都恰当，所以只要积分是闭的，就都有

\[\oint dz=\oint z\,dz=\oint z^n\,dz=0. \]

其次，如果区域是单连通的，\(f\) 全纯且偏导数连续，则 \(\oint f\,dz=0\)。这是因为由 Cauchy-Riemann 方程，分别有

\[\begin{aligned} d(u\,dx-v\,dy)&=-\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)dx\wedge dy=0,\\ d(v\,dx+u\,dy)&=\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}\right)dx\wedge dy=0, \end{aligned} \]

于是 \(f\,dz\) 是恰当的，这就得到 \(\oint f\,dz=0\)。

上面这就是最开始柯西给出的证明。在庞加莱引理的推论中，如果 \(U\) 单连通，则 \(U\) 上闭与恰当等价，但在庞加莱引理的证明中要求 \(f\) 的各偏导数连续。后来，Goursat 发现偏导数连续这个条件是多余的，于是这就给出了下面这个第一种情况的柯西积分定理。

定理 2.5 (Goursat) \(\quad\) 设 \(R\) 是矩形，\(f\) 在 \(\overline{R}\) 上全纯，则

\[\int_{\partial R}f\,dz=0. \]

证明 \(\quad\) 对于区域 \(H\)，记 \(\eta(H):=\int_{\partial H}f\,dz\)。对于 \(R\)，我们将其分为四个全等的 \(R_1^1,R_2^1,R_3^1,R_4^1\)，则

\[\eta(R)=\eta(R_1)+\eta(R_2)+\eta(R_3)+\eta(R_4). \]

是故至少有一个 \(R_{j_1}^1\) 满足 \(|\eta(R_j^1)|\geq 4^{-1}|\eta(R)|\)。对这个 \(R_{j_1}^1\) 继续划分，又有一 \(R_{j_2}^2\) 满足 \(|\eta(R_{j_2}^2)|\geq 4^{-1}|\eta(R_{j_2}^2)|\)。依此类推，可以得到一列递降的矩形 \(\{R_{j_k}^k\}_{k=1}^{\infty}\)，其中 \(|\eta(R_{j_k}^k)|\geq 4^{-k}|\eta(R)|\)。由康托相交定理，\(\bigcap_{k=1}^{\infty}R_{j_k}^k=z_0\in\mathbb R\)。由于 \(R\) 在 \(z_0\) 点复可导，对任意 \(\epsilon>0\)，存在 \(\delta>0\) 使得

\[|f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)|<\epsilon|z-z_0|,\qquad\forall z\in B(z_0,\delta). \]

取充分大的 \(n\) 使得 \(R_{j_n}^n\subset B(z_0,\delta)\)，令 \(R_n:=R_{j_n}^n\)。在前面的讨论中已经知道对 \(\,dz\) 和 \(z\,dz\) 的积分为零，于是

\[\begin{aligned} |\eta(R_n)|&=\left|\int_{\partial R_n}(f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0))\,dz\right|\\ &\leq\int_{\partial R_n}|f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)|\,|dz|<\epsilon\int_{\partial R_n}|z-z_0|\,ds. \end{aligned} \]

设原矩形对角线长为 \(d\)，周长为 \(L\)，则 \(R_n\) 的对角线长 \(d_n=2^{-n}d\)，周长 \(L_n=2^{-n}L\)，于是

\[4^{-n}|\eta(R)|\leq|\eta(R_n)|<\epsilon\int_{\partial R_n}d_n\,ds=\epsilon d_nL_n=4^{-n}\epsilon dL, \]

即 \(|\eta(R)|<\epsilon dL\)。由于 \(\epsilon\) 是任意的，得 \(\int_{\partial R}f\,dz=\eta(R)=0\)。\(\square\)

定理 2.6 \(\quad\) 设 \(R\) 是矩形，其内部有有限个点 \(\{\zeta_j\}_1^n\)，\(f\) 在 \(\overline R\setminus\{\zeta_j\}\) 上全纯。如果

\[\lim_{z\to\zeta_j}(z-\zeta_j)f(z)=0,\qquad\forall j=1,2,\cdots,n, \]

则

\[\int_{\partial R}f\,dz=0. \]

证明 \(\quad\) 可以将 \(R\) 分解为小矩形，使得每个矩形仅包含一个 \(\zeta_j\)。于是问题转化到独点集 \(\{\zeta_j\}=\{\zeta\}\) 的情况。在这样的情况下，我们将 \(R\) 分为九个小矩形，只有中央一个矩形 \(R_0\) 包含 \(\zeta\)。对其余八个矩形应用第一个情况的柯西积分定理，再将积分全部加起来，可以得到

\[\int_{\partial R}f\,dz=\int_{\partial R_0}f\,dz. \]

对任意 \(\epsilon\)，由定理条件知可取充分小的 \(R_0\)，使得在 \(\partial R\) 上 \(|f(z)|<\epsilon/|z-\zeta|\)。由于这样的 \(R_0\) 是任取的，不妨设 \(R_0\) 是正四边形且 \(\zeta\) 在 \(R_0\) 的中心。则

\[\left|\int_{\partial R_0}f\,dz\right|\leq\epsilon\int\frac{|dz|}{|z-\zeta|}. \]

现在来估计右端的积分。这个积分是对称的，故我们只需计算其中一条边。不妨设 \(R_0\) 边长为 \(2s\)，平移后 \(\zeta=0\)，考虑矩形的上边，则 \(|dz|=dx\)，\(|z|\geq s\)。于是对上边的积分小于 \(\int_{-s}^s\frac{dx}{s}=2\)，综合可知

\[\int_{\partial R_0}\frac{|dz|}{|z-\zeta|}<8,\qquad \left|\int_{\partial R_0}f\,dz\right|<8\epsilon. \]

由于 \(\epsilon\) 是任取的，命题得证。\(\square\)

有了矩形的柯西积分定理，就可以在不要求 \(f\) 偏导连续的情况下证明圆盘上的柯西积分定理。

定理 2.7 \(\quad\) 设 \(f\) 在开圆盘 \(D\) 上全纯，则对 \(D\) 中每条闭曲线 \(\gamma\)，都有

\[\int_{\gamma}f\,dz=0. \]

证明 \(\quad\) 设圆心为 \(x_0+iy_0\)。对于 \(x+iy\in D\)，定义 \(\sigma\) 为从 \(x_0+iy_0\) 引水平线到 \(x+iy_0\)，再引垂直线到 \(x+iy\) 的路径。由 Goursat 定理可知，设 \(\tau\) 为先引垂直线，再引水平线的路径，则 \(f\) 沿这两条路的积分相等。令

\[F(z)=\int_{\sigma}f\,dz=\int_{\tau}f\,dz, \]

分别对偏 \(x\) 和偏 \(y\) 考虑 \(\tau\) 和 \(\sigma\) 这两条路径的积分，可知

\[\frac{\partial F}{\partial x}\bigg|_{z}=f(z),\qquad\frac{\partial F}{\partial y}\bigg|_z=if(z), \]

故 \(f\,dz\) 是恰当的，从而 \(f\) 在任意闭曲线上的积分为零。\(\square\)

推论 2.8 \(\quad\) 设 \(D\) 是开源盘，其内部有有限个点 \(\{\zeta_j\}_1^n\)。设 \(f\) 在 \(D\) 上全纯，且

\[\lim_{z\to\zeta_j}(z-\zeta_j)f(z)=0,\qquad\forall j=1,2,\cdots,n, \]

则对 \(D\) 中每条闭曲线 \(\gamma\)，都有

\[\int_{\gamma}f\,dz=0. \]

证明 \(\quad\) 将上一定理证明中运用的 Goursat 定理替换为带挖空点的版本即可。\(\square\)

卷绕数

先来看 \(S^1\) 上的卷绕数。在 3.1 到 3.6 中，我们先假设曲线都是 \(C^1\) 的。

定义 3.1 \(\quad\) 设 \(S^1\subset\mathbb R^2\) 为单位圆而 \(c:I=[0,b]\to S^1,t\mapsto(x(t),y(t))\) 为闭曲线。找到一个 \(\varphi_0\) 使得 \(\cos(\varphi_0)=x(0),\sin(\varphi_0)=y(0)\)。定义

\[\begin{aligned} \varphi:I&\longrightarrow\mathbb R,\\ t&\longmapsto\varphi(t):=\varphi_0+\int_0^t(xy'-yx')\,d\tau, \end{aligned} \]

称作闭曲线 \(c\) 的角度函数。

角度函数的几何意义由以下命题立即给出：

引理 3.2 \(\quad\) 设 \(c:[0,b]\to S^1\) 为闭曲线，\(\varphi\) 为其角度函数，则

\[\begin{cases} \cos(\varphi(t))=x(t),\\ \sin(\varphi(t))=y(t). \end{cases} \]

证明 \(\quad\) 设 \(F(t):=(x(t)-\cos(\varphi(t)))^2+(y(t)-\sin(\varphi(t)))^2\)，则

\[\begin{aligned} F&=(x-\cos\varphi)^2+(y-\sin\varphi)^2\\ &=x^2-2x\cos\varphi+\cos^2\varphi+y^2-2y\sin\varphi+\sin^2\varphi. \end{aligned} \]

注意到 \(\varphi'=xy'-yx'\)，对 \(F\) 求导得

\[\begin{aligned} F'&=2xx'-2(x'\cos\varphi-x\varphi'\sin\varphi)-2\varphi'\cos\varphi\sin\varphi\\ &\quad+2yy'-2(y'\sin\varphi+y\varphi'\cos\varphi)+2\varphi'\cos\varphi\sin\varphi\\ &=2(xx'+yy')+2(-x'-y\varphi')\cos\varphi+2(-y'+x\varphi')\sin\varphi. \end{aligned} \]

由于 \(x(t)^2+y(t)^2=1\)，有 \(2x(t)x'(t)+y(t)y'(t)=0\)，即 \(xx'+yy'=0\)。\(x,y\) 或 \(x',y'\) 显然不能恒为零，唯一可能是存在一个 \(k(t)\) 使得 \(x'=-ky,\,y'=kx\)。如此一来

\[\varphi'(t)=xy'-yx'=k(x^2+y^2)=k(t), \]

于是 \(x'=-\varphi'y,\,y'=\varphi'x\)。代入得

\[F'\equiv 0. \]

这表明 \(F\) 是常数。注意到取 \(t=0\) 则

\[F=F(0)=(x(0)-\cos(\varphi_0))^2+(y(0)-\sin(\varphi_0))^2=0, \]

故 \(F\) 在 \([0,b]\) 上恒为零。这就证明了 \(\cos(\varphi(t))=x(t),\sin(\varphi(t))=y(t)\)。\(\square\)

定义 3.3 \(\quad\) 设 \(c:[0,b]\to S^1\) 为一条闭曲线，\(\varphi\) 为其角度函数。定义

\[n(c):=\frac{1}{2\pi}(\varphi(b)-\varphi(0)), \]

称作 \(c\) 的卷绕数 (winding number)。由于 \(c\) 是闭曲线，由引理 3.2 知 \(n(c)\in\mathbb Z\)。

现在着手将卷绕数的概念推广到一般闭曲线上。

定义 3.4 \(\quad\) 设 \(p\in\mathbb R^2\)，\(\gamma:[0,b]\to\mathbb R^2\setminus\{p\}\)，记 \(d(t):=\gamma(t)-p,\,\rho(t):=|d(t)|,\,c(t):=d(t)/\rho(t)\)，则 \(d,\rho,c\in C^1\)，且 \(\gamma(t)=p+\rho(t)c(t)\)。定义

\[n(\gamma,p):=n(c) \]

为 \(\gamma\) 在 \(p\) 点的卷绕数。

命题 3.5 \(\quad\) 设 \(\gamma(t):=p+\rho(t)c(t)\) 为一条闭曲线 \([0,b]\to\mathbb R^2\setminus\{p\}\)。记 \((x(t),y(t)):=\gamma(t)-p\)，则

\[n(\gamma,p)=\frac{1}{2\pi}\int_{\gamma}\omega_0,\qquad\omega_0:=-\frac{y}{x^2+y^2}\,dx+\frac{x}{x^2+y^2}\,dy. \]

证明 \(\quad\) 注意到 \(c(t)=(x(t)/\rho(t),y(t)/\rho(t))\)，因而

\[\begin{aligned} n(c)&=\frac{1}{2\pi}\int_0^b\left(\frac{x(t)}{\rho(t)}\left(\frac{y(t)}{\rho(t)}\right)'-\frac{y(t)}{\rho(t)}\left(\frac{x(t)}{\rho(t)}\right)'\right)\,dt\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_0^b\left(\frac{x}{\rho}\frac{y'\rho-y\rho'}{\rho^2}-\frac{y}{\rho}\frac{x'\rho-x\rho'}{\rho^2}\right)\,dt=\frac{1}{2\pi}\int_0^{b}\frac{xy'-yx'}{\rho^2}\,dt. \end{aligned} \]

另一方面

\[\begin{aligned} \frac{1}{2\pi}\int_{\gamma}\omega_0&=\frac{1}{2\pi}\int_{\gamma}\left(-\frac{y}{x^2+y^2}\,dx+\frac{x}{x^2+y^2}\,dy\right)\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_0^b\left(-\frac{yx'}{x^2+y^2}+\frac{xy'}{x^2+y^2}\right)\,dt=\frac{1}{2\pi}\int_0^b\frac{xy'-yx'}{\rho^2}\,dt,\\ \end{aligned} \]

于是 \(n(\gamma,p)=n(c)=\frac{1}{2\pi}\int_{\gamma}\omega_0\)。\(\square\)

定理 3.6 \(\quad\) 设 \(\gamma_0,\gamma_1:[0,b]\to\mathbb R^2\setminus\{p\}\) 为两条闭曲线。则 \(\gamma_0\) 与 \(\gamma_1\) 自由同伦当且仅当 \(n(\gamma_0,p)=n(\gamma_1,p)\)。

证明 \(\quad\) 对命题 3.5 中的 \(1\)-形式 \(\omega_0\) 做一次外微分得

\[\begin{aligned} d\omega_0&=d\left(-\frac{y}{x^2+y^2}\,dx+\frac{x}{x^2+y^2}\,dy\right)\\ &=d\left(\frac{-y}{x^2+y^2}\right)\wedge dx+d\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)\wedge dy\\ &=\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy\wedge dx+\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dx\wedge dy=0, \end{aligned} \]

故 \(\omega_0\) 是闭的。两条自由同伦道路上闭形式的积分永远相等，于是由命题 3.5 可知必要性。

充分性：设 \(\gamma_j=p+\rho_jc_j\)，令 \(\varphi_j\) 为 \(c_j\) 的角度函数，记 \(\varphi(t,\tau):=(1-\tau)\varphi_0(t)+\tau\varphi_1(t)\)，\(H(t,\tau):=p+(\cos(\varphi(t,\tau)),\sin(\varphi(t,\tau)))\)，并记 \(\widehat{\gamma}_j:=p+c_j\) 以及

\[H_j(t,\tau):=p+\frac{\rho_j(t)}{(1-\tau)+\tau\rho_j(t)}c_j(t). \]

显然 \(H_j\) 是 \(\gamma_j\) 到 \(\widehat{\gamma}_j\) 的自由同伦。若 \(n(\gamma_0,p)=n(\gamma_1,p)\)，则 \(\forall\tau\in[0,1]\) 有

\[\begin{aligned} \varphi(b,\tau)-\varphi(0,\tau)&=(1-\tau)\varphi_0(b)+\tau\varphi_1(b)-\big((1-\tau)\varphi_0(0)+\tau\varphi_1(0)\big)\\ &=(1-\tau)(\varphi_0(b)-\varphi_0(0))+\tau(\varphi_1(b)-\varphi_1(0))\\ &=(1-\tau)2\pi n(\gamma_0,p)+\tau 2\pi n(\gamma_1,p)=2\pi n(\gamma_0,p), \end{aligned} \]

故 \(H\) 是 \(\widehat{\gamma}_0\) 到 \(\widehat{\gamma}_1\) 的自由同伦。综上所述

\[\gamma_0\simeq\widehat{\gamma}_0\simeq\widehat{\gamma}_1\simeq\gamma_1, \]

这就证明了充分性。\(\square\)

一般地，设 \(\gamma:[a,b]\to\mathbb C\) 是一条闭的可求长曲线，\(w\notin\operatorname{im}(\gamma)\)，定义

\[\begin{aligned} u:[a,b]&\longrightarrow S^1=\partial\mathbb D\subset\mathbb C\\ t&\longmapsto\frac{\gamma(t)}{|\gamma(t)-w|}, \end{aligned} \]

则由定理 3.6 知若 \(\gamma\) 一次可微则 \(n(\gamma,w)=n(u)\)。现在着手将卷绕数推广到可求长曲线上，并用复积分表示。

引理 3.7 (提升引理的特例) \(\quad\) 设 \(\pi:\mathbb R\to S^1,s\mapsto e^{i2\pi s}\) 为万有覆叠。则存在 \(u\) 的提升 \(\tilde u:[a,b]\to\mathbb R\) 使得 \(\pi\circ\tilde{u}=u\)。

证明 \(\quad\) 若 \(u\) 一次可微则 \(\tilde u\) 可取 \(\varphi(t)/2\pi\)，这连带证明了 \(u\) 分段可微曲线时的存在性。由于可求长曲线能由分段可微曲线逼近，引理得证。\(\square\)

定义 3.8 \(\quad\) 设 \(\gamma:[a,b]\to\mathbb C\)，\(w\notin\operatorname{im}(\gamma)\)，\(u\) 定义如上，\(\tilde u\) 为其提升。定义 \(\gamma\) 对 \(w\) 的卷绕数为 \(n(\gamma,w)=\tilde u(b)-\tilde u(a)\)，这是定义 3.3 的扩张。

定理 3.9 \(\quad\) 卷绕数关于自由同伦的变分连续，即设 \(\gamma_j:[a,b]\to\mathbb C\)，\(w\notin\operatorname{im}(\gamma_j)\) 可求长，\(H(t,\tau)\) 为其 \(\gamma_1\) 到 \(\gamma_2\) 的一个自由同伦，则 \(n(\tau):=n(H(\cdot,\tau),w)\) 连续。特别地，若 \(\gamma_1,\gamma_2\) 自由同伦，则 \(n(\gamma_1,w)=n(\gamma_2,w)\)。

证明 \(\quad\) 对 \(H\) 运用提升引理得 \(\tilde H\)，则 \(n(\tau)=\tilde H(b,\tau)-\tilde H(a,\tau)\)。由于 \(\tilde H\) 连续，\(n(\tau)\) 自然连续。由于 \(n(\tau)\) 取值总是整数，有 \(n(\gamma_1,w)=n(0)=n(1)=n(\gamma_2,w)\)。\(\square\)

定理 3.10 \(\quad\) 设 \(\gamma:[a,b]\to\mathbb C\) 为可求长曲线，\(w\notin\operatorname{im}(\gamma)\)。则

\[n(\gamma,w)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{1}{z-w}\,dz. \]

评说 \(\quad\) 可求长曲线能由分段可微曲线一致逼近，于是只需对 \(C^1\) 的情况证明命题。这里给出两种证法。

证法 1 \(\quad\) 令 \(\zeta(t):=\gamma(t)-w=x(t)+iy(t)\)，则

\[\begin{aligned} \frac{d\zeta}{\zeta}&=\frac{dx+i\,dy}{x+iy}=\frac{(dx+i\,dy)(x-iy)}{(x+iy)(x-iy)}\\ &=\frac{x\,dx+y\,dy}{x^2+y^2}+i\left(\frac{x\,dy-y\,dx}{x^2+y^2}\right)\\ &=\frac{x\,dx+y\,dy}{x^2+y^2}+i\omega_0, \end{aligned} \]

于是

\[\begin{aligned} \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{1}{z-w}\,dz&=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{d\zeta}{\zeta}\\ &=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}i\omega_0+\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{x\,dx+y\,dy}{x^2+y^2}\\ &=n(\gamma,w)+\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{x\,dx+y\,dy}{x^2+y^2}. \end{aligned} \]

留意到

\[\frac{x\,dx+y\,dy}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\frac{d(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}d\log(x^2+y^2) \]

是恰当的，绕 \(\gamma\) 积分为零。故

\[n(\gamma,w)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{1}{z-w}\,dz. \]

证法 2 \(\quad\) 令

\[h(t):=\frac{1}{2\pi i}\int_a^t\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s)-w}\,ds,\qquad g(t):=e^{-2\pi ih(t)}(\gamma(t)-w), \]

则

\[\begin{aligned} h'(t)&=\frac{1}{2\pi i}\frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-w},\qquad g'(t)\equiv 0, \end{aligned} \]

于是 \(g(t)\) 为常数；进一步有 \(g=g(a)=(\gamma(a)-w)\)。于是

\[e^{2\pi ih(t)}=\frac{\gamma(t)-w}{\gamma(a)-w}. \]

另一方面

\[e^{2\pi i\tilde u(t)}=\frac{\gamma(t)-w}{|\gamma(t)-w|}, \]

令 \(v(t):=\log|\gamma(t)-w|\)，则 \(v(b)=v(a)\) 且

\[e^{2\pi i\tilde u(t)+v(t)}=\gamma(t)-w, \]

于是存在常数 \(\alpha\in\mathbb C\) 使得

\[2\pi ih(t)=2\pi i\tilde u(t)+v(t)+\alpha, \]

是故

\[n(\gamma,w)=\tilde u(b)-\tilde u(a)=h(b)-h(a)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{1}{z-w}\,dz. \]

\(\square\)

柯西积分公式

这一节我们来证明全纯函数是光滑的，并连带地得到一些重要定理，譬如代数基本定理。

基本陈述

设 \(f(z)\) 在开圆盘上全纯，\(\gamma\) 为其中的闭曲线，对于 \(\gamma\) 外的点 \(a\in\Delta\)，考虑函数

\[F(z):=\frac{f(z)-f(a)}{z-a}, \]

这个函数在 \(D\setminus\{a\}\) 上全纯，故当 \(z\to a\) 时 \((z-a)F(z)=f(z)-f(a)\to 0\)。则运用柯西积分定理得

\[\int_{\gamma}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\,dz=0, \]

即

\[\int_{\gamma}\frac{f(z)}{z-a}\,dz=f(a)\int_{\gamma}\frac{dz}{z-a}. \]

注意到右端的积分无非是 \(2\pi i\cdot n(\gamma,a)\)。一般地，我们有如下定理。

定理 4.1 \(\quad\) 设 \(f\) 在开圆盘 \(D\) 上全纯，\(\gamma\) 是 \(D\) 中的一条闭曲线，\(a\in\mathbb C\setminus\operatorname{im}(\gamma)\)，则

\[n(\gamma,a)f(a)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(z)}{z-a}\,dz. \]

证明 \(\quad\) 上面已经论证了 \(a\in D\) 的情况。如果 \(a\notin D\)，则卷绕数 \(n(\gamma,a)\) 和右端积分也为零，因而该式亦成立。\(\square\)

对于一条固定的闭曲线 \(\gamma\)，对于那些卷绕数 \(n(\gamma,z)=1\) 的点 \(z\)，有

\[f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(w)}{w-z}\,dw,\qquad n(\gamma,z)=1. \]

这就是柯西积分公式。特别地，对于开圆盘 \(D\subset\mathbb C\)，令 \(f:\overline{D}\to\mathbb C\) 为全纯函数，则只需取一个稍大的开圆盘使得 \(f\) 在其上也全纯，就能得到

\[f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(w)}{w-z}\,dw. \]

高阶导数

引理 4.2 \(\quad\) 设 \(\phi(w)\) 是弧 \(\gamma\) 上的连续函数，则函数

\[\Phi_n(z):=\int_{\gamma}\frac{\phi(w)}{(w-z)^n}\,dw \]

在 \(\mathbb C\setminus\operatorname{im}(\gamma)\) 上解析，且 \(\Phi_n'(z)=n\Phi_{n+1}(z)\)。

证明 \(\quad\) 先证 \(\Phi_1\) 连续。设 \(z_0\) 为不在 \(\gamma\) 上的一点，取不与 \(\gamma\) 相交的 \(B(z_0,\delta)\)，则对所有 \(z\in B(z_0,\delta/2),\,w\in\gamma\)，有 \(|w-z|>\delta/2\)。于是由

\[\frac{1}{w-z}-\frac{1}{w-z_0}=\frac{z-z_0}{(w-z)(w-z_0)} \]

得

\[\begin{aligned} |\Phi_1(z)-\Phi_1(z_0)|&=\left|(z-z_0)\int_{\gamma}\frac{\phi(w)\,dw}{(w-z)(w-z_0)}\right|\\ &<\left|z-z_0\right|\frac{4}{\delta^2}\int_{\gamma}|\phi(w)|\,|dw|=:C\left|z-z_0\right|, \end{aligned} \]

其中 \(C\) 为常数。这就证明了 \(\Phi_1\) 在任意不在 \(\gamma\) 上的点 \(z_0\) 处都是连续的。一般地，由

\[\frac{1}{(w-z)^n}-\frac{1}{(w-z_0)^n}=\frac{1}{(w-z)^{n-1}(w-z_0)}+\frac{(z-z_0)}{(w-z)^n(w-z_0)}-\frac{1}{(w-z_0)^n} \]

可得

\[\begin{aligned} \Phi_n(z)-\Phi_n(z_0)&=\left[\int_{\gamma}\frac{\phi(w)\,dw}{(w-z)^{n-1}(w-z_0)}-\int_{\gamma}\frac{\phi(w)\,dw}{(w-z_0)^n}\right]\\ &\quad+(z-z_0)\int_{\gamma}\frac{\phi(w)\,dw}{(w-z)^n(w-z_0)}. \end{aligned} \]

下面归纳地证明 \(\Phi_n\) 是连续的。设已经证明了命题对 \(n-1\) 为真，则取 \(\psi:=\phi(w)/(w-z_0)\) 应用该归纳假设可知函数

\[\Psi_{n-1}(z_0;z):=\int_{\gamma}\frac{\phi(w)\,dw}{(w-z)^{n-1}(w-z_0)} \]

连续，因而当 \(z\to z_0\) 时有

\[\int_{\gamma}\frac{\phi(w)\,dw}{(w-z)^{n-1}(w-z_0)}-\int_{\gamma}\frac{\phi(w)\,dw}{(w-z_0)^n}\;\to\;\int_{\gamma}\frac{\phi(w)\,dw}{(w-z_0)^n}-\int_{\gamma}\frac{\phi(w)\,dw}{(w-z_0)^n}=0, \]

而剩下一项以同样方法取 \(\delta/2\) 亦得在 \(z\to z_0\) 时为零。这就证明了 \(F_n\) 是连续的。

对于 \(n=1\) 的情况，注意到

\[\frac{\Phi_1(z)-\Phi_1(z_0)}{z-z_0}=\int_{\gamma}\frac{\phi(w)\,dw}{(w-z)(w-z_0)}, \]

在上一部分中我们已经证明右端积分对 \(z\) 是连续的，于是当 \(z\to z_0\) 时得

\[\Phi_1'(z_0)=\int_{\gamma}\frac{\phi(w)\,dw}{(w-z_0)^2}=F_2(z_0),\qquad\forall z_0\notin\operatorname{im}(\gamma). \]

下面归纳地证明 \(\Phi_n'(z)=n\Phi_{n+1}(z)\)。假设命题对 \(n-1\) 成立，则

\[\begin{aligned} \frac{\Phi_n(z)-\Phi_n(z_0)}{z-z_0}&=\frac{1}{z-z_0}\left[\int_{\gamma}\frac{\phi(w)\,dw}{(w-z)^{n-1}(w-z_0)}-\int_{\gamma}\frac{\phi(w)\,dw}{(w-z_0)^n}\right]\\ &\quad+\int_{\gamma}\frac{\phi(w)\,dw}{(w-z)^n(w-z_0)}\\ &=\frac{\Psi_{n-1}(z_0;z)-\Psi_{n-1}(z_0;z_0)}{z-z_0}+\int_{\gamma}\frac{\phi(w)\,dw}{(w-z)^n(w-z_0)}, \end{aligned} \]

取 \(z\to z_0\) 运用归纳假设得

\[\Phi_n'(z_0)=(n-1)\Psi_{n}(z_0;z_0)+\Phi_{n+1}(z_0). \]

但 \(\Psi_k(z_0;z_0)=\Phi_{k+1}(z_0)\)，于是

\[\Phi_n'(z_0)=n\Phi_{n+1}(z_0),\qquad\forall z_0\notin\operatorname{im}(\gamma). \]

\(\square\)

命题 4.3 \(\quad\) 设 \(D\subset\mathbb C\) 为开圆盘，\(f\) 在 \(\overline D\) 上全纯，则对任意 \(z\in\mathbb D\)，\(f\) 在点 \(z\) 是 \(C^{\infty}\) 的，且

\[f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)\,d\zeta}{(\zeta-z)^{n+1}}. \]

证明 \(\quad\) 运用柯西积分定理。\(\square\)

柯西积分定理的一般形式

定义 5.1 (链, 圈) \(\quad\) 设开集 \(U\subset\mathbb C\) ， \(\mathcal R\) 是 \(U\) 上所有可求长曲线构成的集合，记 \(C_0(U):=\mathbb Z^{\oplus U},C_1(U):=\mathbb Z^{\oplus\mathcal R}\) ，简记为 \(C_0,C_1\) 。一个 1-链指一个形式和 \(\gamma=\sum_{j=1}^na_j\gamma_j\in C_1\) 。记 \(\operatorname{im}(\gamma):=\bigcup_1^n\operatorname{im}(\gamma_j)\) 。对于任意 \(f\in C(\operatorname{im}(\gamma))\) ，定义

\[\int_{\gamma}f\,dz:=\sum_{j=1}^na_j\int_{\gamma_j}f\,dz. \]

记 \(\iota:U\to C_0\) 为典范包含映射。定义

\[\begin{aligned} \partial:C_1&\longrightarrow C_0\\ \sum_1^na_j\gamma_j&\longmapsto\sum_1^na_j(\iota(\gamma_j(\beta_j))-\iota(\gamma_j(\alpha_j))), \end{aligned} \]

其中 \(\gamma_j:[\alpha_j,\beta_j]\to\mathbb C\) 。 \(\ker(\partial)\) 中的元素称作闭链 (圈)。对于一个圈 \(\gamma\) 和 \(z\notin\operatorname{im}(\gamma)\) ，定义

\[n(\gamma,z):=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{dw}{w-z}. \]

定义 5.2 \(\quad\) 设 \(U\subset\mathbb C\) 为开集， \(\gamma\in C_1(U)\) 为一个闭链。称 \(\gamma\) 在 \(U\) 中同调于 \(0\) ，如果 \(\forall z\in\mathbb C\setminus U\) ， \(n(\gamma,z)=0\) 。

下文不妨就设闭链 \(\gamma\) 是一系列闭曲线的形式和。

引理 5.3 \(\quad\) 设 \(U\subset\mathbb C\) 是单连通开集，则 \(U\) 上的任意圈同调于 \(0\) 。

证明 \(\quad\) 每个 \(\gamma_j\) 同伦于单点，且同伦保持卷绕数不变。 \(\square\)

定理 5.4 (柯西积分定理的一般形式) \(\quad\) 设 \(U\subset\mathbb C\) 为开集， \(\gamma\) 为 \(U\) 上同调于 \(0\) 的闭链。设 \(f\) 是 \(U\) 上的全纯函数。则

\[\int_{\gamma}f\,dz=0. \]

证明 \(\quad\) 首先设 \(U\) 是有界的。对任意 \(\delta>0\) ，取 \(n\in\mathbb Z\) 使 \(2^{-n}<\delta\) ，考虑复平面上边长为 \(2^{-n}\) 的闭方体族 \(\mathcal Q_n\) 。设 \(\{Q_j\}_{j\in J}\subset\mathcal Q_n\) 为那些全包含在 \(U\) 中的闭方体，由于 \(U\) 有界，它确实是有限集。取充分小的 \(\delta\) 使得 \(\{Q_j\}\) 非空。考虑闭链

\[\Gamma_{n}:=\sum_{j\in J}\partial Q_j.\\ \]

令

\[U_n:=\operatorname{int}\Bigl(\bigcup_{j\in J}Q_j\Bigr),\qquad\Gamma_n':=\partial U_n,\qquad V_n:=\bigcup_{j\in J}(\operatorname{int}Q_j).\\ \]

设 \(\gamma\) 是 \(U\) 上同调于 \(0\) 的闭链。取充分小的 \(\delta\) 使得 \(\operatorname{im}(\gamma)\subset U_n\) 。设 \(\xi\in U\setminus U_n\) ，则存在 \(Q\in\mathcal Q\setminus\{Q_j\}\) 使得 \(\xi\in Q\) 且 \(Q\notin U\) 。取 \(\xi_0\in Q\setminus U\) 。由于 \(\gamma\) 同调于 \(0\) ， \(n(\gamma,\xi_0)=0\) 。我们可以用一条直线 \(L\subset Q\) 将 \(\xi\) 与 \(\xi_0\) 相连，使得 \(L\cap U_{n}=\varnothing\) ，此时 \(L\subset\mathbb C\setminus\operatorname{im}(\gamma)\) ，这说明 \(\xi_0,\xi\) 在 \(\mathbb C\setminus\operatorname{im}(\gamma)\) 的一个相同连通分支中。由于卷绕数关于点是连续的，有 \(n(\gamma,\xi)=n(\gamma,\xi_0)=0\) 。由于 \(\Gamma_n'\subset U\setminus U_n\) ，对任意 \(\xi\in\Gamma_n'\) ， \(n(\gamma,\xi)=0\) 。

设 \(z\in V_n\) ，则存在唯一 \(j_0\in J\) 使得 \(z\in Q_{j_0}\) 。由矩形上的柯西积分公式，我们有

\[\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma_{n}}\frac{f(w)}{w-z}\,dw=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial Q_{j_0}}\frac{f(w)}{w-z}\,dw=f(z).\\ \]

容易看出沿 \(\Gamma_{n}\) 的积分与沿 \(\Gamma_n'\) 的积分总是相等的，于是

\[\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma_n'}\frac{f(w)}{w-z}\,dw=f(z).\\ \]

以上等式在 \(V_n\) 上成立。由于等式两端皆连续，上式对所有 \(z\in U_n\) 成立。特别地，我们有

\[\int_{\gamma}f\,dz=\int_{\gamma}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma_n}\frac{f(w)}{w-z}\,dw\right)\,dz.\\ \]

由于 \(\Gamma_n'\cap\gamma=\varnothing\) ，被积项关于两个变元都连续，故

\[\begin{aligned} \int_{\gamma}f\,dz&=\int_{\Gamma_n'}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(w)}{w-z}\,dz\right)\,dw\\ &=\int_{\Gamma_{n}'}(-n(\gamma,w)f(w))\,dw=0. \end{aligned}\\ \]

若 \(U\) 无界，则取充分大的 \(R\) 使得 \(\operatorname{im}(\gamma)\subset D(0,R)\) 并令 \(U':=U\cap D(0,R)\) 即可。 \(\square\)

推论 5.5 \(\quad\) 设 \(U\subset\mathbb C\) 为单连通的开集， \(\gamma\) 为 \(U\) 中一个闭链， \(f\) 为 \(U\) 上的全纯函数。则

\[\int_{\gamma}f\,dz=0.\\ \]

定理 5.6 (柯西积分公式的一般形式) \(\quad\) 设 \(U\subset\mathbb C\) 为开集， \(\gamma\) 为 \(U\) 上同调于 \(0\) 的闭链。设 \(f\) 是 \(U\) 上的全纯函数， \(a\in U\setminus\operatorname{im}(\gamma)\) 。则

\[\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(z)}{z-a}\,dz=n(\gamma,a)f(a).\\ \]

证明 \(\quad\) 令

\[g(z):=\frac{f(z)-f(a)}{z-a},\\ \]

则 \(g\) 在 \(U\) 上全纯，故 \(\int_{\gamma}g\,dz=0\) 。于是

\[\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(z)}{z-a}\,dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(a)\,dz}{z-a}=n(\gamma,a)f(a).\\ \]

\(\square\)

解析函数

解析性, Taylor 展开

定理 6.1 \(\quad\) 令 \(\gamma\) 为 \(\mathbb C\) 中一条可求长曲线，\(\phi:\operatorname{im}(\gamma)\to\mathbb C\) 为连续函数。对于 \(z\in\mathbb C\setminus\operatorname{im}(\gamma)\) ，定义

\[f(z):=\int_{\gamma}\frac{\phi(w)}{w-z}\,dw,\\ \]

则对任意 \(z_0\in\mathbb C\setminus\operatorname{im}(\gamma)\) ，令 \(r:=\operatorname{dist}(z_0,\operatorname{im}(\gamma))\) ，\(f\) 在 \(B(z_0,r)\) 中可展开为幂级数

\[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\int_{\gamma}\frac{\phi(w)\,dw}{(w-z_0)^{n+1}}\right)(z-z_0)^n.\\ \]

证明 \(\quad\) 取 \(w\in\operatorname{im}(\gamma)\) ，注意到

\[\frac{\phi(w)}{w-z}=\frac{\phi(w)}{w-z_0}\frac{w-z_0}{w-z}=\frac{\phi(w)}{w-z_0}\frac{1}{1-(z-z_0)/(w-z_0)},\\ \]

因而对于 \(\left|\frac{z-z_0}{w-z_0}\right|\leq 1\) ，特别地对 \(z\in B(z_0,r)\) 有

\[\frac{\phi(w)}{w-z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\phi(w)}{(w-z_0)^{n+1}}(z-z_0)^n.\\ \]

令 \(g_n(w):=\sum_0^{n}\phi(w)(w-z_0)^{-j-1}(z-z_0)^j\) ，我们将证明 \(g_n\to\phi(w)/(w-z)\) 在 \(\operatorname{im}(\gamma)\) 上一致。事实上，令 \(M:=\|\phi\|_u\) 和 \(r':=|z-z_0|<r\) ，则

\[\begin{aligned} \left|g_n(w)-\frac{\phi(w)}{w-z}\right|&=\left|\sum_{n}^{\infty}\frac{\phi(w)}{(w-z_0)^{j+1}}(z-z_0)^j\right|\\ &\leq M\sum_{n}^{\infty}\left|\frac{(z-z_0)^j}{(w-z_0)^{j+1}}\right|\leq M\sum_n^{\infty}\left(\frac{r'}{r}\right)^j\frac{1}{r}=\frac{M}{r-r'}\left(\frac{r'}{r}\right)^n, \end{aligned}\\ \]

故 \(\|g_n-\phi/(w-z)\|_u\to 0\) ，这就证明了一致收敛性。于是

\[\int_{\gamma}\frac{\phi(w)}{w-z}\,dw=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\int_{\gamma}\frac{\phi(w)\,dw}{(w-z_0)^{n+1}}\right)(z-z_0)^n.\\ \]

\(\square\)

推论 6.2 (Taylor 展开) \(\quad\) 设 \(D:=D(z_0,r)\subset C\) 为圆盘，\(f:\overline D\to\mathbb C\) 全纯，则 \(f\) 等于一个 \(D\) 上的幂级数，特别地有

\[f(z)=\frac{1}{2\pi i}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\int_{\partial D}\frac{f(w)\,dw}{(w-z_0)^{n+1}}\right)(z-z_0)^n.\\ \]

由定理 6.1 和柯西积分公式对比 Taylor 级数的系数也能得到导数公式

\[f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)\,d\zeta}{(\zeta-z)^{n+1}},\\ \]

并且这个方法比我们在第四节中使用的方法来得简便。

定理 6.3 (Morera) \(\quad\) 设 \(U\subset\mathbb C\) 为开集，\(f:U\to\mathbb C\) 连续。如果对任意 \(U\) 中的可求长闭曲线都有 \(\int_{\gamma}f\,dz=0\) ，则 \(f\) 全纯。

证明 \(\quad\) 条件表明 \(f\,dz\) 是恰当的。 \(\square\)

定理 6.4 \(\quad\) 设 \(U\subset\mathbb C\) 为开集，\(\{f_n\}\) 为 \(U\) 上一列全纯函数，且在 \(U\) 的每个紧集上 \(f_n\) 一致收敛到 \(f\) 。则 \(f\) 也是 \(U\) 上的全纯函数。

证明 \(\quad\) 对任意 \(\overline D\subset U\) ，对 \(z\in D\) 有 \(f_n(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f_n(w)}{w-z}\,dw\) ，令 \(n\to\infty\) 得 \(f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(w)}{w-z}\,dw\) 。由定理 6.1，\(f\) 在 \(D\) 上全纯。因而 \(f\) 在整个 \(U\) 上全纯。 \(\square\)

柯西估计, Liouville 定理, 代数基本定理

定理 6.5 (Cauchy's estimate) \(\quad\) 令 \(D:=B(z_0,r)\subset\mathbb C\) 为圆盘，\(f:\overline{D}\to\mathbb C\) 全纯。令 \(M:=\max_{z\in\partial D}|f(z)|\) 。则

\[|f^{(n)}(z_0)|\leq Mn!r^{-n}.\\ \]

证明 \(\quad\)

\[\begin{aligned} |f^{(n)}(z_0)|&=\left|\frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)\,d\zeta}{(\zeta-z)^{n+1}}\right|\leq\left|\int_{\partial D}Mr^{-n-1}\,ds\right|=Mn!r^{-n}. \end{aligned}\\ \]

\(\square\)

定理 6.6 (Liouville) \(\quad\) 设 \(f:\mathbb C\to\mathbb C\) 是有界的全纯函数，则 \(f\) 是常值函数。

证明 \(\quad\) 设 \(|f|\leq M\) ，令 \(z_0\in\mathbb C\) ，对任意 \(R\in\mathbb R\) 在 \(B(z_0,R)\) 上应用柯西估计得 \(|f'(z_0)|\leq MR^{-n}\) ，由于 \(R\) 是任取的，\(f'(z_0)=0\) ，故 \(f'\equiv 0\) 。从而 \(f\) 是常值函数。 \(\square\)

定义 6.7 \(\quad\) 如果函数 \(f\) 在整个复平面上全纯，则称 \(f\) 是整函数。

推论 6.8 \(\quad\) 如果整函数 \(f\) 的实部或虚部是有界的，则 \(f\) 是常数。

证明 \(\quad\) 设 \(f=u+iv\) 。不妨设 \(u\) 是有界的。考虑 \(g:=\exp(f)\) ，有 \(|g|=|e^u|\) 。由于 \(u\) 有界，\(g\) 亦然，故由刘维尔定理得 \(g=\exp(f)\) 是常数，于是 \(f\) 是常数。 \(\square\)

定理 6.9 (代数基本定理) \(\quad\) \(\mathbb C\) 是代数闭域：设 \(f\in\mathbb C[X]\) ，\(\deg f\geq 1\) 。则 \(f\) 在 \(\mathbb C\) 中至少有一根。

证明 \(\quad\) 假设 \(f\) 在 \(\mathbb C\) 中没有根，则 \(1/f\) 在整个 \(\mathbb C\) 上全纯。由于 \(\deg\geq 1\) ，在 \(|z|\to\infty\) 时 \(|f|\to\infty\) ，从而 \(1/f\to 0\) ，故 \(1/f\) 有界。由 Liouville 定理，\(1/f\) 为常值，故 \(f\) 亦然，这与 \(\deg f\geq 1\) 矛盾。故 \(f\) 在 \(\mathbb C\) 中至少有一根。 \(\square\)

零点和唯一性

引理 6.10 \(\quad\) 设 \(U\subset\mathbb C\) 是连通开集，\(f\) 是 \(U\) 上的全纯函数，\(z_0\in U\) 。设对任意 \(n\geq 1\) ，\(f^{(n)}(z_0)=0\) 。则在 \(U\) 上 \(f\equiv f(z_0)\) 。

证明 \(\quad\) 记

\[V:=\{z\in U:f(z)=f(z_0),\,f^{(n)}(z)=0,\,\forall n\geq 1\}.\\ \]

由于 \(z_0\in V\) ，\(V\) 非空。显然 \(V\) 是闭的。设 \(z\in V\) ，则存在 \(\overline{D(z,\epsilon)}\subset U\) 使得 \(f\) 在 \(\overline{D(z,\epsilon)}\) 上全纯，于是 \(f\) 在 \(D\) 上可展开为幂级数且各非零次项系数皆为零，于是 \(f\) 在 \(D\) 上恒为 \(f(z_0)\) ，故在 \(D\) 上 \(f\) 各阶导数皆为零，于是 \(D\subset V\) 。这表明 \(V\) 为开。由于 \(U\) 连通，\(V=U\) 。 \(\square\)

引理 6.11 \(\quad\) 全纯函数的零点是孤立的：设 \(U\subset\mathbb C\) 为连通开集，\(f\) 为 \(U\) 上非常值的全纯函数，\(z_0\in U\) ，则存在 \(r>0\) 使得 \(z_0\) 是 \(f-f(z_0)\) 在 \(D(z_0,r)\) 中的唯一零点。

证明 \(\quad\) 由引理 6.10，存在 \(r_0>0\) 和 \(m\in\mathbb N_{\geq 1}\) 使得在 \(D':=D(z_0,r_0)\) 上

\[f(z)=f(z_0)+a_m(z-z_0)^m+\cdots,\quad a_m\neq 0,\\ \]

则在 \(D'\) 上 \(f-f(z_0)=(z-z_0)^mg(z)\) ，其中全纯函数 \(g\) 满足 \(g(z_0)=a_m\geq 0\) 。由于 \(g\) 连续，存在 \(0<r<r_0\) 使得在 \(D:=D(z_0,r)\) 上 \(g(z)\neq 0\) 。于是 \(z_0\) 是 \(D\) 上 \(f-f(z_0)\) 的唯一零点。 \(\square\)

推论 6.12 \(\quad\) 设 \(U\subset\mathbb C\) 是连通开集，\(f,g\) 是 \(U\) 上的全纯函数。如果存在一列点 \(\{z_n\}\) 使得 \(z_n\to z\in U\) 且 \(f(z_j)=g(z_j),\quad\forall j\in\mathbb N\) ，则在 \(U\) 上 \(f\equiv g\) 。

证明 \(\quad\) 由连续性知 \(f(z_0)=g(z_0)\) ，然后运用引理 6.11。 \(\square\)

对数和开根

定理 6.13 (对数) \(\quad\) 设 \(U\subset\mathbb C\) 为单连通的开集，\(f\) 为 \(U\) 上的全纯函数，逐点 \(f\neq 0\) 。则存在 \(U\) 上的全纯函数使得 \(e^g=f\) 。

证明 \(\quad\) \(f'/f\) 在 \(U\) 上全纯。对于 \(a\in U\) ，取 \(\alpha\in\mathbb C\) 使得 \(e^{\alpha}=f(a)\) 。对任意 \(z\in U\) ，令 \(\gamma\) 是一条连接 \(a\) 和 \(z\) 的可求长曲线，定义

\[g(z):=\alpha+\int_{\gamma}\frac{f'}{f}\,dz,\\ \]

则 \(g\) 的定义与 \(\gamma\) 的选取无关，故 \(g\) 全纯且 \(g'=f'/f\) 。令 \(h:=\exp(-g)f\) ，则 \(h(a)=1\) 。进一步

\[h'(z)=-e^{-g(z)}g'(z)f(z)+f'(z)e^{-g(z)}=0,\qquad\forall z\in U.\\ \]

于是 \(h\equiv 1\) 。是故在 \(U\) 上 \(e^g=f\) 。 \(\square\)

定理 6.14 (开根) \(\quad\) 设 \(U\subset\mathbb C\) 为单连通的开集，\(f\) 为 \(U\) 上的全纯函数，逐点 \(f\neq 0\) 。则存在 \(U\) 上的全纯函数使得 \(g^n=f\) 。

证明 \(\quad\) 存在全纯函数 \(h\) 使得 \(e^h=f\) 。令 \(g:=e^{h/n}\) ，则 \(g^n=f\) 。 \(\square\)

开映射定理, 双全纯映射, 局部标准型

定义 6.15 (双全纯函数) \(\quad\) 设 \(U,V\) 是 \(\mathbb C\) 的两个开集，全纯函数 \(f:U\to V\) 称作双全纯函数，如果 \(f\) 是双射且 \(f^{-1}V\to U\) 全纯。

由反函数定理，如果 \(f:U\to\mathbb C\) 是全纯函数，\(z_0\in U\) ，且 \(f'(z_0)\neq 0\) ，则 \(f\) 在 \(z_0\) 局部是双全纯的。

定理 6.16 (全纯函数的局部标准型) \(\quad\) 设 \(f\) 在开集 \(U\subset\mathbb C\) 上全纯，\(z_0\in U\) ，\(f^{(m)}(z_0)\neq 0\) 且 \(\forall j\leq m-1,\,f^{(j)}(z_0)=0\) 。则存在 \(D:=D(z_0,r)\subset U\) 和 \(D\) 上的双全纯函数 \(h\) 使得在 \(D\) 上 \(f-f(z_0)=h^m\) 。

证明 \(\quad\) 在局部 \(D':=D'(z_0,r)\) 上我们可写 \(f-f(z_0)=(z-z_0)^mg(z)\) ，其中 \(g\) 全纯，\(g(z_0)=a_m\neq 0\) 。设 \(\tilde h\) 是 \(D'\) 上满足 \(\tilde h^m=g\) 的全纯函数，\(h:=(z-z_0)\tilde h\) ，则 \(h\) 在 \(D'\) 上全纯且 \(f-f(z_0)=h^m\) 。注意到 \(h'(z_0)=\tilde h(z_0)\neq 0\) ，于是由反函数定理，存在 \(D\subset D'\) 使得 \(h\) 在 \(D\) 上双全纯。 \(\square\)

引理 6.17 \(\quad\) \(g_m(z):\mathbb C\to\mathbb C\,,z\mapsto z^m\) 是真且开的映射；进一步，如果 \(z\neq 0\) ，则 \(g_m^{-1}(z)\) 恰包含 \(m\) 个点。

证明 \(\quad\) 容易看出 \(g_m(z)\) 是真映射。设 \(z=re^{i\theta}\) ，考虑方程 \(w^n=z\) 。设 \(w=\rho e^{i\psi}\) ，则 \(\rho^m=r\) ，\(m\psi=\theta+2k\pi\) 。其中实数 \(\rho=r^{1/m}\) 是唯一的，而 \(\phi\) 在模 \(2\pi\) 意义下共有 \(m\) 个解。这就证明了 \(g_m^{-1}(z)\) 有 \(m\) 个点。 \(\square\)

定理 6.18 (开映射定理) \(\quad\) 设 \(f\) 是连通开集 \(U\subset\mathbb C\) 上非常值全纯函数，则 \(f\) 是开映射。

证明 \(\quad\) 只需证明对任意 \(z_0\in U\) ，存在 \(r>0\) 使得对任意 \(r'<r\) ，\(D'=D(z_0,r')\) ，\(f(D')\) 为开。事实上，由定理 6.14，存在 \(m\geq 1\) ，双全纯函数 \(h\) 和圆盘 \(D=:D(z_0,r)\) 使得在 \(D\) 上 \(f-f(z_0)=h^m\) 。由引理 6.15 知 \(z\mapsto z^m\) 是开的，因而这样的 \(D\) 即为所求。 \(\square\)

定理 6.19 \(\quad\) 设 \(f\) 是 \(\mathbb U\) 上的全纯函数。如果 \(f\) 是单的，那么 \(f:U\to f(U)\) 是双全纯函数。

证明 \(\quad\) 只需对 \(U\) 的每个连通分支证明命题。下面不妨设 \(U\) 是连通的。\(f(U)\) 是开集。\(\forall z_0\in U\) ，\(f'(z_0)\neq 0\) ，否则由定理 6.14，\(f\) 在 \(z_0\) 周围至少是 \(m\,(m\geq 2)\) 对一的，于是由反函数定理，\(f^{-1}\) 在 \(f(z_0)\) 局部是全纯的。由于 \(z_0\) 是任意的，\(f\) 双全纯。 \(\square\)

最大模原理

定理 6.20 (最大模原理) \(\quad\) 设 \(U\subset\mathbb C\) 是连通开集，\(f\) 是 \(U\) 上的非常值全纯函数。则不存在 \(z_0\in U\) 使得 \(|f(z_0)|=\sup_{z\in U}|f(z)|\) 。

证明 \(\quad\) 这是因为 \(f(U)\) 是开集。 \(\square\)

在最大模原理中对任意 \(z_0\in U\) 考虑邻域 \(U'\subset U\) ，进一步可知 \(f\) 在任何 \(z_0\in U\) 都取不到局部极大值。同理，我们有对偶的“最小模原理”。

命题 6.21 \(\quad\) 设 \(U\subset\mathbb C\) 是连通开集，\(f\) 是 \(U\) 上的非常值全纯函数，逐点 \(f\neq 0\) 。则不存在 \(z_0\in U\) 使得 \(|f(z_0)|=\inf_{z\in U}|f(z)|\) 。

推论 6.22 \(\quad\) 设 \(U\subset\mathbb C\) 是有界连通开集，\(f\) 是 \(\overline U\) 上的非常值全纯函数。则 \(|f|\) 在 \(\overline U\) 上的最大值在 \(\partial U\) 上取到。如果进一步 \(f\) 逐点非零，则 \(|f|\) 在 \(\partial U\) 上取到最小值。

Laurent 级数

设 \(z_0\in\mathbb C\) 。以 \(z_0\) 为中心的 Laurent 级数是以下形式的级数：

\[\sum_{n=1}^{\infty}b_n(z-z_0)^{-n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n, \]

其中 \(a_n,b_n\in\mathbb C\) 。 \(\sum_1^{\infty}b_n(z-z_0)^{-n}\) 称作主要部分， \(\sum_0^{\infty}a_n(z-z_0)^n\) 称作正则部分。

设 \(f:=\sum_{n=1}^{\infty}b_n(z-z_0)^{-n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\) ， \(R\) 为其正则部分的收敛半径。对于主要部分，也可以定义“发散半径” \(r\) 。事实上，设 \(S:=\sum_0^{\infty}b_jz^j\) ，考虑 \(S\) 的收敛半径 \(R'\) ，则主要部分收敛当且仅当 \(S\big((z-z_0)^{-1}\big)\) 收敛。因而如果 \(|(z-z_0)^{-1}|>R'\) 即 \(|z-z_0|<1/R'\) ，则主要部分不收敛，反之，如果 \(|z-z_0|>1/R'\) ，则主要部分收敛。因而可以置 \(r=1/R'\) 。定义开圆盘

\[D(z_0,r,R):=\{z\in\mathbb C:r<|z-z_0|<R\}, \]

则 \(f\) 在 \(D(z_0,r,R)\) 上内闭一致收敛。由于每个部分和都是全纯的， \(f\) 在 \(D(z_0,r,R)\) 全纯。

引理 7.1 \(\quad\) 设 \(g\) 是 \(D(z_0,r,R)\) 上的全纯函数， \(r<r_1<r_2<R\) 。则

\[\int_{\partial D(z_0,r_1)}g(z)\,dz=\int_{\partial D(z_0,r_2)}g(z)\,dz. \]

证明 \(\quad\) 令 \(\gamma:=\partial D(z_0,r_1)-\partial D(z_0,r_2)\) 。由于 \(\partial D(z_0,r_j)\) 同伦， \(\gamma\) 在 \(D(z_0,r,R)\) 中同调于 \(0\) ，故由柯西积分定理的一般形式得 \(\int_{\gamma}g\,dz=0\) ，这就证明了引理。 \(\square\)

定理 7.2 \(\quad\) 设 \(f=\sum_{-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\) 为在 \(D(z_0,r,R)\) 上收敛的 Laurent 级数， \(r<\rho<R\) 。则

\[a_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D(z_0,\rho)}\frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\,dw. \]

证明 \(\quad\) 由一致收敛性知

\[\int_{\partial D(z_0,\rho)}\frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\,dw=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{\partial D(z_0,\rho)}\frac{a_k\,dw}{(w-z_0)^{n+1-k}}. \]

如果 \(k\neq n\) 则 \(a_k(w-z_0)^{k-n-1}\) 是恰当的，积分为零。故

\[\begin{aligned} \int_{\partial D(z_0,\rho)}\frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\,dw=\int_{\partial D(z_0,\rho)}\frac{a_n\,dw}{w-z_0}=2\pi i\cdot a_n. \end{aligned} \]

\(\square\)

定理 7.3 (Laurent 展开) \(\quad\) 设 \(f\) 是 \(D(z_0,r,R)\) 上的全纯函数，则 \(f\) 可被表示为以 \(z_0\) 为中心的 \(D(z_0,r,R)\) 上的 Laurent 级数。

证明 \(\quad\) 由定理 7.2 知 Laurent 级数的系数若存在则是唯一的。只需证明 \(f\) 在每个 \(D(z_0,r',R'),\,r<r'<R'<R\) 上能被展开为 Laurent 级数即可。对每个 \(z\in D(z_0,r',R')\) ， \(n(\partial D(z_0,R')-\partial D(z_0,r'),z)\equiv 1\) 。于是由柯西积分定理的一般形式得

\[f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D(z_0,R')}\frac{f(w)}{w-z}\,dw-\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D(z_0,r')}\frac{f(w)}{w-z}\,dw, \]

对固定的 \(z\in D(z_0,r',R')\) ，考虑级数

\[\frac{w-z_0}{w-z}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z-z_0}{w-z_0}\right)^n, \]

它对于 \(w\in D(z_0,R')\) 收敛，于是

\[\int_{\partial D(z_0,R')}\frac{f(w)}{w-z}\,dw=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\int_{\partial D(z_0,R')}\frac{f(w)\,dw}{(w-z_0)^{n+1}}\right)(z-z_0)^n. \]

对固定的 \(z\in D(z_0,r',R')\) ，考虑级数

\[\frac{z-z_0}{z-w}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{w-z_0}{z-z_0}\right)^n, \]

它对于 \(w\in D(z_0,r')\) 收敛，于是

\[\begin{aligned} \int_{\partial D(z_0,r')}\frac{f(w)}{w-z}\,dw&=-\sum_{n=0}^{\infty}\left(\int_{\partial D(z_0,r')}(w-z_0)^nf(w)\,dw\right)(z-z_0)^{-n-1}\\ &=-\sum_{n=-1}^{-\infty}\left(\int_{\partial D(z_0,r')}\frac{f(w)\,dw}{(w-z_0)^{n+1}}\right)(z-z_0)^n. \end{aligned} \]

综合以上两个部分即证明命题。 \(\square\)

由定理 7.2 和定理 7.3 可知，若 \(f\) 在 \(D(z_0,r,R)\) 上全纯，则 \(f\) 可展开为

\[f(z)=\frac{1}{2\pi i}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\int_{\partial D(z_0,\rho)}\frac{f(\zeta)\,d\zeta}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\right)(z-z_0)^n. \]