动态规划之二维0-1背包问题（思考分析、解决、算法模板）

一、问题描述

二维费用的背包问题是指对于每件物品，具有两种不同的费用，选择这件物品必须同时付出这两种代价，对于每种代价都有一个可付出的最大值（背包容量），求选择物品可以得到最大的价值。

设第i件物品所需的两种代价分别为v[i]和u[i]，两种代价可付出的最大值（两种背包容量）分别为V和U，物品的价值为w[i]。

二、问题分析

与0-1背包问题一样，同样是选择或者不选择0-1的情况，区别在于多了一个维度来限制0-1的取值仅此而已。

拓展，倘若又多加了限定条件呢？同理，再加一维用来存放限定即可。

三、问题解决

设s[i][j][k]表示将前i件物品放入两种容量分别为j和k的背包时所能获得的最大价值，
则状态转移方程为s[i][j][k]=max{s[i-1][j][k], s[i-1][j-v[i]][k-u[i]]+w[i]}，
递推边界为当i=0时    s[i][j][k]=0。
for (int i=0; i<=V; i++)
{
    for (int j=0; j<=U; j++) s[i][j]=0;  // 边界
}
for (int i=1; i<=N; i++)
{
    for (int j=V; j>=v[i]; j--)
    {
       for (int k=U; k>=u[i]; k--) 
　　　　　　s[j][k]=max(s[j][k], s[j-v[i]][k-u[i]]+w[i]);
    }
}