动态规划之轮船租用问题（思考分析、解决、算法模板）

一、问题描述：

　　长江游艇俱乐部在长江上设置了n个游艇出租站1,2,3…，n。

　　游客可以在这些游艇出租站用游艇，并在下游的任何一个游艇出租站归还游艇。

　　游艇出租站i到游艇出租站j之间的租金为r（i，j），1<=i<j=n。

　　试设计一个算法，计算从游艇出租站1到出租站n所需的最少租金。

数据输入：

　　第一行表示有n个站点。　

　　接下来n-1行是r（ i ,  j）。

　　输入示例（有3个站点，从 1 到 2 要 5，从 1 到 3 要 15，从 2 到 3 要 7）：

　　　　3

　　　　5　　15

　　　　7

数据输出：

　　输出最从游艇出租站1到出租站n所需的最少租金。

二、问题分析：

1、首先因为它是贪心算法无法解决的最优问题，因此可以判断为动态规划求解。为什么贪心算法不行？假设在第i个出租站能选择的下一个出租站有n-i个，当我们要走到第n个出租站的时候，用贪心智能选出当前情况下的最优值，但是在该方案（当前最优）选择后，可能后续的花费更高，因此就导致该方案不是最优解。

2、子问题分析

最优子结构证明：对于最有方案T（1 ... i ... j ... n）而言，其中i->j 必定是i到j码头的最优解，为什么呢？因为假设该i->j（记Z1）不是最优解，那么就存在一个是i->j的最优解（Z2），让该解Z2来替换Z1，那么最终的方案T'必定比T花费的更少。

3、通项、出口、起调、转移

首先：m=2的情况，即只有两个出租站。A-B则是直接直达。

考虑m=3的情况，即有A B C 三个出租站，那么A到C的最优是什么情况？枚举方案（1）A-B + B-C（2）A-C，此时发现子问题即是A-B的距离加上B-C的距离。

考虑m=4的情况，即A B C D四个出租站，那么A到D的最优是什么情况？枚举方案（1）A-B + B-C + C-D（2）A-B + B-D （3）....

此时，子问题变成了A-B B-C C-D；A-B B-D的最短路径情况，因为是最优子结构，故这些自问题应该也是最优的！

那么开始考虑“重叠子问题”对于方案（2）B-D的距离即是方案（1）B-C C-D方案（2）B-D的最优情况。即对于A-D的求解包括了B-D的求解。因此可以将其保存下来。

由此变成了dp【B】【D】的距离。

三、问题解决：

核心代码   
 for(int l=2;l<=n;l++){
        //出租站间的长度
        for(int i=1;i<=n-l+1;i++){
            int j=i+l-1;
            for(int k=i+1;k<j;k++){
                int temp=r[i][k]+r[k][j];
                if(temp<r[i][j])
                    r[i][j]=temp;
            }
        }
    }