Codeforces Round 1080 (Div. 3) 笔记

Codeforces Better 的插件不知道为什么不能用了，Edge 自带的翻译跟屎一样，干脆用 DS 翻译好了。

A. Sieve of Erato67henes

询问 \(n\) 个数里面有没有 \(67\)，感觉比上一次 Div.3 简单...

B. Reverse a Permutation

给定一个长度为 \(n\) 的排列 \(a\)。允许进行任意次操作：选择满足 \(1 \leq i \leq \lfloor n/2 \rfloor\) 的 \(i\)，交换 \(a_i\) 和 \(a_{2i}\)。问能否通过若干次操作使整个序列变成严格递增的（即 \(a_i = i\)）。

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已知下标 \(i\) 可以和 \(2i\) 交换，我们易考虑到 \(i\) 可以移到 \(2^k·i\) 下标上。由此，对于下标 \(2^{k_1}·a\) 和 \(2^{k_2}·b\)，若 \(a=b\)，则两个下标可以最后互相交换。

于是对于 \(i\) 和 \(a_i\)，不断除以 \(2\)，直到剩余是一个奇数，判一下两个最后得到的奇数是否相等即可。

C. Dice Roll Sequence

给定一个由 \(1\) 到 \(6\) 的整数组成的序列 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\)。每次操作可以将任意一个位置的数改成 \(1\) 到 \(6\) 中的任意整数。我们称一个序列为骰子滚动序列，如果它的每一对相邻元素在标准骰子上是相邻的面(即两个数不相等且和不为 \(7\))。求最少需要多少次操作才能使原序列变成骰子滚动序列。

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骰子的相对面之和为 \(7\)，因此两个数字可以相邻当且仅当它们既不相等也不互为对面。即对于任意两个数 \(u\)和 \(v\)，它们可以相邻的条件是：\(u≠v\) 且 \(u+v≠7\)

由于每个位置只能取 \(6\) 种值，我们可以用动态规划解决。设 \(dp[i][v]\) 表示处理完前 \(i\) 个位置，且第 \(i\) 个位置的值改为 \(v\) 所需的最小操作次数。转移时，枚举前一个位置的值 \(u\)，如果 \(u\) 和 \(v\) 可以相邻，则

\[dp[i][u]=\min(dp[i-1][u]+[a_i\neq v]) \]

其中 \([a_i≠v]\) 表示若当前值不等于 \(v\) 则需要一次操作，否则为0。

初始化：\(dp[1][1\le v\le 6]=[a_1≠v]\)

最终答案为 \(min_{v=1}^6 dp[n][v]\)。

时间复杂度 \(O(6^2·n)\)。