题解 想想办法，想想办法

想想办法，想想办法

题面描述

求

\[\sum_{n=0}^{r}\sum_{k=0}^{n}k\times \frac{C_{m-k-1}^{m-n-1}}{C_{m}^{n}} \]

答案对\(998244353\)取模

数据范围

对于\(100\%\)的数据，\(r\le 10000000\)，\(m\le 10000000\)

样例输入

114514 1919810

样例输出

996103057

解题思路：

对于里层

\[\sum_{k=0}^{n}k\times \frac{C_{m-k-1}^{m-n-1}}{C_{m}^{n}} \]

我们进行化简

首先对于分母不受\(\sum\)的影响因此我们只用管分子即可，即化简

\[\sum_{k=0}^{n}k\times C_{m-k-1}^{m-n-1} \]

首先对于组合数我们运用\(\begin{aligned}\dbinom{n}{m}=\dbinom{n-1}{m-1}\times \frac{n}{m}\end{aligned}\)可以得到\(\begin{aligned}(m-k)\dbinom{m-k-1}{m-n-1}=(m-n)\dbinom{m-k}{m-n}\end{aligned}\)

随后我们要想运用此公式要提出\((m-k)\)，因此我们将\(k\)写成\(m-(m-k)\)

则有\(\begin{aligned}\sum_{k=0}^{n}k\times \dbinom{m-k-1}{m-n-1}=\sum_{k=0}^{n}(m-(m-k))\times \dbinom{m-k-1}{m-n-1}=m\sum_{k=0}^{n}\dbinom{m-k-1}{m-n-1}-\sum_{k=0}^{n}(m-k)\times \dbinom{m-k-1}{m-n-1}=mA-(m-n)B\end{aligned}\)

对于\(\begin{aligned}A=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{m-k-1}{m-n-1}\end{aligned}\)，\(\begin{aligned}B=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{m-k}{m-n}\end{aligned}\)

到这里就很简单了，对于\(B\)的话我们\(\begin{aligned}B=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{m-k}{m-n}=\sum_{m-k=0}^{n}\dbinom{m-(m-k)}{m-n}=\sum_{k=m-n}^{m}\dbinom{k}{m-n}=\sum_{k=0}^{m}\dbinom{k}{m-n}\end{aligned}\)

然后到这里我们可以得到\(\begin{aligned}B=\sum_{k=0}^{m}\dbinom{k}{m-n}=\dbinom{m+1}{m-n+1}\end{aligned}\)，读者自证不难

对于\(A\)我们的处理方法相同，但用\(m-1\)来代替\(m\)。

因此原柿子继续化简为\(\begin{aligned}mA-(m-n)B=m\dbinom{m}{m-n}-(m-n)\dbinom{m+1}{m-n+1}=(m-(m-n) \frac{m+1}{m-n+1})\dbinom{m}{m-n}=\frac{n}{m-n+1}\dbinom{m}{m-n}\end{aligned}\)

则我们有\(\begin{aligned}\frac{\frac{n}{m-n+1}\dbinom{m}{m-n}}{\dbinom{m}{n}}=\frac{n}{m-n+1}\end{aligned}\)

随后此题就可以\(O(n)\)做了