牛客网暑期ACM多校训练营（第三场）
| Rank | Solved | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
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| 37/474 | 5/10 | O | Ø | O | Ø | O | Ø | Ø | O | Ø | O |
O: 当场通过
Ø: 赛后通过
.: 尚未通过
A PACM Team
solved by chelly
chelly's solution
直接背包即可，注意空间的压缩和最后路径的输出
输出路径我们只需要维护一个bool数组path[i][S]表示第i个物品有没有更新状态为S的背包，然后最终从后往前一个一个提取出来即可
B Expected Number of Nodes
upsolved by chelly
chelly's solution
枚举k，对于每一个k计算答案
若要求期望，那么分母一定是C(n,k)，我们主要考虑分子，分子的意义是C(n,k)种选取方式带来的剩余点数的和
我们分开考虑每个点的贡献，可以发现以下的性质：
- 若\(d(x)<=2\)，那么这个点如果要对结果造成1的贡献，那么它必须被选进点集，所以该点对答案的贡献是C(n-1,k-1)
- 若\(d(x)>2\)，这个点如果不作出贡献，那么肯定是选的点集在该点的两个或一个子树中，我们把这种情况减去就行了，可以通过枚举两个子树来完成
这样对于每个k，我们的计数是\(O(n^2)\)的，总共是\(O(n^3)\)的
但是容易注意到，我们每次枚举k，分子一定是一些组合数的和，而这些组合数的下面是不变的，只有上面变，于是我们可以提前预处理出每个C(i,*)的系数即可
最终时间复杂度\(O(n^2)\)
C Shuffle Cards
solved by chelly
chelly's solution
splay模板题
D Encrypted String Matching
upsolved by chelly
chelly's solution
问题可以通过简单的转化变成：有一个字符串S和一个字符串T，|T|<=|S|，问S的所有长度为|T|的子串中，有哪些是与T串相似。两个字符串相似当且仅当每一位上的字符ASCII码差不超过1
首先当"相似"变成“全等”的时候，这就变成了一个经典问题，可以将T倒序，然后T和S卷积
现在是相似，一种naive的想法是枚举字符的映射，转化成全等问题，但这样要做3^26次FFT，显然无法接受
考虑现在有两个长度都为n的字符串X和Y，我们如何说明它们是相似的呢？
其实只要满足\(\sum_{i=0}^{n-1} (X_i-Y_i)^2 [(X_i-Y_i)^2-1] =0\)
然后我们去括号合并同类项之后，发现有4个交叉项，我们用4次FFT求解即可，需要预处理一些东西
时间复杂度\(O(lenloglen)\)
E Sort String
solved by chelly
chelly's solution
用Kmp求一下循环节即可
F Sum Of Digit
upsolved by chelly
chelly's solution
首先需要知道Sum of digits的性质，对于\(SOD(x,base):\)
- if x==0 : return 0
- if x%(base-1)==0 : return base-1
- otherwise return x%(base-1)
所以对于一个询问区间[l,r]，我们想知道里面有多少个子序列的和模15余0,1,2,...15，这显然直接开16个线段树维护答案即可
时间复杂度\(O(16nlogn)\)
G Coloring Tree
upsolved by chelly
chelly's solution
考虑这样一个推广问题：有一个无向图，给每个点染色，有k种颜色，任意两个距离<=d的点不能相同颜色，问有多少种染色方案
这个问题是不好解决的，但我们可以解决一些特殊的拓扑结构
- 如果是个链，那显然从左往右计算每个位置可以染多少种颜色然后乘起来就行了
- 如果是个树，那就是这个题目了，主要是要类比链的情况寻找一个合适的拓扑序进行计算，找这个拓扑序的关键就是轮到某个点x的时候，已经拓扑过的与x距离<=d的点自身也都是距离<=d，对于树的情况按照BFS顺序来即可
于是这个题定义solve(d)表示不存在两个同颜色的点距离<d的方案数
那么答案就是solve(d+1)-solve(d)
时间复杂度\(O(n^2)\)
H Diff-prime Pairs
solved by syf
syf's solution
I Expected Size of Random Convex Hull
upsolved by chelly
chelly's solution
容易发现答案和三角形形状无关，所以可以生成一个方便计算的三角形
然后随机产生点，求凸包上的点的个数，然后取个平均即可
每个答案跑1e7次随机就可以得出准确答案了
当然从论文中也可以找出一个结论
在一个三角形中随机取n个点形成的凸包上的点个数期望\(E(n)=\sum_{i=1}^{n-1} \frac{2}{i}\)
J Distance to Work
solved by chelly
chelly's solution
二分一下圆的半径，然后求圆和凸多边形的面积交即可。
Replay
本场由chelly和syf打的，ch去参加bupt camp了。
日常chelly顺开，syf倒开，chelly发现A题是个裸背包，注意下空间就行了，于是开敲，但是数据有问题，前期一直搞不过，后来rejudge过了。而syf切掉了H题。随后chelly发现E题是个简单的找循环节，就敲了个kmp秒了。随后chelly和syf一起搞C，chelly思考了一会后，发现并不会这个题……于是只能贴个splay板子暴力过了（后来出题人说这题就是个板子题，并没有什么高论）。此时J题数据修好了，rejudge后J题过了一批，于是chelly和syf一起搞J。chelly发现J题十分简单，二分答案之后就是求圆和多边形的面积交，上网一找有现成的板子，于是开敲。但是十分怀疑J题坐标范围不止1000，原先chelly的代码二分上界是3000，改了各种eps和姿势一直不过，最后把上限改大了才通过TAT。之后大概还剩个I题可以搞一搞，chelly粗略看了下题面中提到的论文，并没能找到什么结论，于是就想自己随机生成点然后打表，但是随机的姿势不对，搞了个伪随机，导致精度误差挺大的。于是后来就没出题了。
