牛客网暑期ACM多校训练营（第一场）
| Rank | Solved | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 67/338 | 3/10 | O | Ø | Ø | O | Ø | Ø | Ø | Ø | Ø | O |
O: 当场通过
Ø: 赛后通过
.: 尚未通过
A Monotonic Matrix
solved by chelly
chelly's solution
比赛的时候是OEIS找规律过的
我们把n*m的矩阵画出来并建立坐标系，左下角的点是(0,0)，右上角的点是(n,m)；考虑01和12的分界线，是两条从(0,0)走到(n,m)的每次向右向上的折线，但是要求01折线要在12折线左边（但不严格），为了严格，我们把12折线向右向下平移一格，即从(-1,1)移动到(n-1,m+1)。套用行列式容斥定理即可计算出方案数。
B Symmetric Matrix
upsolved by chelly
chelly's solution
还是OEIS找规律过的
非常喵的idea，原来给的矩阵描述其实是一个邻接矩阵的描述，于是问题转化成了：请计算有多少个无向图满足所有点的度数都为2
进一步分析性质，这个图应该是有若干个环组成，我们可以DP计数
设\(dp[i]\)表示有i个点的图的个数，然后可以枚举最后一个点所在环的大小进行转移
C Fluorescent 2
upsolved by chelly
chelly's solution
\(X_i\)表示灯i是否亮，需要求的是\(E(sum(X_i)^3)\)
\(E(sum(X_i)^3)=E(\sum X_i X_j X_k )=\sum P(X_i X_j X_k )\) (因为是01分布)
\(P(X_i X_j X_k )\)表示灯i,j,k同时都亮的概率，我们要怎么求这个概率呢？
我们可以写出一个矩阵\(A_{i,j}\)，表示第i个按钮能否控制第j个灯
我们抽出i,j,k这三列，问题就变成了：有n个数字，每个数字3个bit，随便取子集，问子集里的数字异或结果0的概率。这个显然就是\((\frac{1}{2})^{rank}\)。
但问题是直接枚举是\(O(m^3)\)的，无法通过。
我们可以考虑枚举第i列，然后用它消其它所有列，把所有列消元过的情况丢到一个map里统计，根据rank不同来计数。
D Two Graphs
solved by chelly
chelly's solution
考虑枚举点的映射关系，但是容易发现有重复，于是我们可以把对应的边放入到一个vector里进行hash
E Removal
upsolved by chelly
chelly's solution
\(dp[i][j]\)表示做完了前i个数，已经删除了j个数的不同子序列数目
转移考虑在目前的结果后面装上什么数字，于是\(dp[i][j]\)可以转移到\(dp[next(i,num)][j+next(i,num)-i]\)
其中next(i,j)表示在位置i后面的最近的一个数字j的位置
时间复杂度\(O(nm^2)\)
F Sum of Maximum
upsolved by chelly
chelly's solution
分段讨论贡献，需要计算自然数幂和，用拉格朗日插值，比赛中hls被卡常了，要注意拉格朗日插值的写法是可以去掉log的。
G Steiner Tree
upsolved by chelly
chelly's solution
H Longest Path
upsolved by chelly
chelly's solution
很容易想到做两次树形DP，down[u]和up[u]分别表示从上往下和从下往上做的最优值
注意到求up的时候转移复杂度很高，可以用斜率优化降低复杂度
时间复杂度\(O(n)\)
I Substring
upsolved by chelly
chelly's solution
字符集只有3种，我们可以枚举3!=6种映射方式得到6个字符串
我们发现在这些字符串的子串里，除了个别字符串外，其它所有本质不同的子串都出现了6次
对于那些由单个元素组成的子串，出现了3次
于是问题的关键就是：有若干个母串，问本质不同的子串的个数是多少个
直接建立广义后缀自动机，计算每个节点的\(\sum{maxlen-minlen+1}\)即可
时间复杂度\(O(n)\)
J Different Integers
solved by chelly
chelly's solution
莫队水过，也可以用离线BIT搞
Replay
这场比赛由chelly,syf,ch在线上打的，达成了云训练的成就(雾)
开场chelly跟榜开J题，准备用莫队莽一波，然后被卡了读入，加了快读就过了。syf和ch开场就一直苦思冥想A题，然而未果，syf和ch跟榜读D，但是涉及离散数学并不能看懂题面，于是丢给了chelly，丢给chelly后syf继续搞A，ch搞F。chelly读了D题后，觉得暴力一下点的映射关系就行，但想不到如何去除多余的计数。chelly苦思冥想后，想到了用hash边解决，于是A掉了D题。期间ch发现F可搞，chelly和ch交流了一波之后，hls觉得十分正确，于是推式子去写了。chelly和syf继续攻A，chelly继续想他的组合计数，syf继续想他的DP，但都未果。这时ch发现需要计算自然幂和，但ch不会，于是chelly向ch丢出了拉格朗日插值的解法，ch看懂后一边叫着玄学算法一边把程序码出来了。然而无奈被卡常直到终场……在比赛快结束的时候，chelly不像当老实人了，借助OEIS对A题的小结果进行xjb猜，猜出了结果，交上去A了。于是chelly更不老实了，暴力跑出了B的小结果，继续用OEIS把B题秒了。(但比赛已经结束了5分钟)
chelly
被打自闭了啊TAT
希望队友能多补补题
