『笔记』矩阵入门

\(矩阵\) \(\mathcal{Matrix}\)

定义

一个按照长方阵列排列的复数或实数集合（来自百度百科）
没明白对吧？很正常
人话一点的解释就是一堆数按矩形排列形成的集合
显然，我们需要记录的就是他的长，宽，元素
特殊的

• 长宽相等的矩阵称为方阵
• 两个矩阵的长宽相等时，我们认为这两个矩阵为同型矩形
• 左上角到右下角的对角线上元素皆为1，其他皆为0的矩阵称为单位矩阵

基本运算

矩阵加法

• 前提：两个矩阵为同型矩阵
  运算法则：只需要将对应位置相加即可

\( A= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 5 & 6 & 3 \end{bmatrix} \ ; \ B= \begin{bmatrix} 5 & 7 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix} \ ; \ A+B = \begin{bmatrix} 1+5 & 1+7 & 1+1 \\ 2+2 & 4+2 & 2+2 \\ 4+5 & 1+6 & 3+5 \\ \end{bmatrix} \ = \ \begin{bmatrix} 6 & 8 & 2 \\ 4 & 6 & 4 \\ 9 & 7 & 8 \\ \end{bmatrix} \)

矩阵加法满足交换律和结合律，即：$$A+B=B+A$$ $$(A+B)+C=A+(B+C)$$

矩阵减法

即加法的逆运算，看完加法后，相信大家肯定都会

数乘

\( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ \end{bmatrix} \ , \ 2 \times A =\begin{bmatrix} \ 2\times0 & 2\times1 \\ \ 2\times2 & 2\times3 \\ \ 2\times4 & 2\times5 \\ \end{bmatrix} \ = \ \begin{bmatrix} \ 0 & 2 \\ \ 4 & 6 \\ \ 8 & 10 \\ \end{bmatrix} \)

矩阵乘法

• 前提：前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数

\[(N \times M) \times (M \times K) = N \times K \]

\( \begin{array}{l} A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 2 & 4 \\ 2 & 1 \end{array}\right] \\ A B=\left[\begin{array}{ll} 1 \times 3+2 \times 2+1 \times 2 \ & \ 1 \times 1+2 \times 4+1 \times 1 \\ 0 \times 3+1 \times 2+1 \times 2 \ & \ 0 \times 1+1 \times 4+1 \times 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 9 & 10 \\ 4 & 5 \end{array}\right] \end{array} \)

矩阵乘法满足一下几种运算律：$$A(BC)=(AB)C$$ $$A(B+C)=AB+AC$$ $$(B+C)A=BA+CA$$

注意，矩阵乘法不满足交换律，即$$A\times B \neq B \times A$$
一道例题

P3390 矩阵快速幂

未完待续。。。