爬楼梯

题目要求：
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

这是一道经典的动态规划 / 斐波那契数列问题，核心思路：

• 要爬到第 n 阶台阶，最后一步只有两种选择：

1. 从第 n-1 阶爬 1 阶上来
2. 从第 n-2 阶爬 2 阶上来

• 因此递推公式：dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]

边界条件

• n=1：只有 1 种方法（爬 1 阶）
• n=2：有 2 种方法（1+1 或 2）

方法 1：动态规划（数组存储，易懂）

public class ClimbStairs {
    public int climbStairs(int n) {
        // 边界处理
        if (n == 1) return 1;
        if (n == 2) return 2;
        
        // 创建dp数组，dp[i]表示爬到第i阶的方法数
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        
        // 递推计算
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        
        return dp[n];
    }

    // 测试
    public static void main(String[] args) {
        ClimbStairs solution = new ClimbStairs();
        System.out.println(solution.climbStairs(3)); // 输出3
        System.out.println(solution.climbStairs(5)); // 输出8
    }
}

总结

1. 核心公式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)（斐波那契数列变形）
2. 最优解：迭代优化法（时间 O (n)，空间 O (1)）
3. 适用场景：n 为任意正整数，面试首选优化版实现